二次函数讲义二次函数的概念.docx
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二次函数讲义二次函数的概念
二次函数讲义-二次函数的概念
龙泉驿区初中数学讲义——二次函数
一、复习提问
1．什么叫函数？
它有几种表示方法？
2．什么叫一次函数？
（y=kx+b）自变量是什么？
函数是什么？
常量是什么？
为什么要有k?
0的条件？
k值对函数性质有什么影响？
（复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函
数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k?
0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．）
二、由实际问题引入新课
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数
和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系．（出示小黑板）
例1正方形的边长是x（cm），面积y（cm2）与边长x之间的函数关系如何表示？
例2农机厂第一个月水泵的产量为50（台）第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？
由以上两例，启发学生归纳出
（1）函数解析式均为整式（这表明这种函数与一次函数有共
同的特征）．
（2）自变量的最高次数是2（这与一次函数不同）．
三、讲解新课
二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c（a?
0，a、b、c为常数）的函数叫做二次函数．
巩固对二次函数概念的理解：
1．强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．
22．在y=ax＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变
量的取值范围是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．
23．在y=50x＋100x＋50中，a=50，b=100，c=50．
24．为什么二次函数定义中要求a?
0？
（若a=0，ax＋bx+c就不是关于x的二次多项式了）
5．b和c是否可以为零？
由例1可知，b和c均可为零．
2若b=0，则y=ax＋c；
2若c=0，则y=ax＋bx；
2若b=c=0，则y=ax．
2以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax+bx+c是二次函数的一般形式．
四、巩固新课
例1下列函数中哪些是二次函数？
哪些不是二次函数？
若是二次函数，指出a、b、c．
2
（1）y=1-3x；
（2）y=x（x-5）；
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龙泉驿区初中数学讲义——二次函数
2（5）y=3x（2-x）＋3x；（6）y＝（x＋2）（2-x）；
42（8）y=x＋2x＋1．
3例2设圆柱的高h（cm）是常量，写出圆柱的体积V（cm）与底面周长c（cm）之间的函数关系式．
2例3篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y（m）与长x之间的函数关系式，
并指出自变量的取值范围．
2例4已知二次函数y=ax＋bx＋c，当x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．
五、布置作业
1．在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余
2下木板的面积y（cm）与正方形边长x（cm）之间的函数关系，并注明自变量的取值范围．
22．已知二次函数y=4x＋5x＋1，求当y=0时的x的值．
23．已知二次函数y=x-kx-15，当x=5时，y=0，求k．
24．已知二次函数y=ax＋bx＋c中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a、b、c的值．
2y=ax（）
复习提问
2．在下列函数中，哪些是一次函数？
哪些是正比例函数？
2．什么是一元二次方程？
3．怎样用描点法画函数的图象？
新课
2．由具体问题引出二次函数的定义．
（2）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出这个圆的面积S与半径R之间的函数关系式．
2
（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是lm，写出这个矩形的面积S（m）与这个矩形
的一边长l之间的函数关系式．
（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间
的函数关系如何表示？
我们说三个式子都表示的是二次函数．
2一般地，如果y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a?
0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a?
0．
22．画二次函数y=x的图象．
按照描点法分三步画图：
（2）列表?
x可取任意实数，?
以0为中心选取x值，以2为间距取值，且取整数值，
便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；
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龙泉驿区初中数学讲义——二次函数
（2）描点按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；
2（3）连线用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x的图象．
注意两点：
（2）由于我们只描出了7个点，但自变量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的
一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分．而图象在x＞3或x＜-3的区间是无限延伸的．
（2）所画的图象是近似的．
23．在原点附近较精确地研究二次函数y=x的图象．
2在原点附近，y=x的图象形状到底如何？
2为了说明函数y=x图象的形状，我们把原点附近的部分再画细一些．在-2与2之间，每隔0.2取一个x的值，列出下表：
描点、连线，就得到原点附近部分比较精确的图象：
4．引入抛物线的概念．
关于抛物线的顶点应从两方面分析：
一是从图象上看，y=x2图象的顶点是最低点；一
222是从解析式y=x看，当x=0时，y=x取得最小值0，故抛物线y=x的顶点是（0，0）．
小结
2．二次函数的定义．
（2）函数解析式关于自变量是整式；
（2）函数自变量的最高次数是2．
22．二次函数y=x的图象．
2
（2）其图象叫抛物线；
（2）抛物线y=x的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点．
补充例题
下列函数中，哪些是二次函数？
哪些不是二次函数？
若是二次函数，指出a，b，c？
2
（2）y=2-3x；
（2）y=x（x-4）；
2（5）y=7x（2-x）+4x；
（6）y=（x-6）（6+x）．
作业：
P中A组2，2，3．122
四、教学注意问题
2．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点．
22．注意培养学生观察分析问题的能力．比如，结合所画二次函数y=x的图象，要求学生思考：
2
（2）y=x的图象有什么特点．（答：
具有对称性．）
2
（2）如何判断y=x的图象有上面所说的特点？
（答：
由观察图象看出来；或由列表求值得
2出来；或由解析式y=x看出来．）
3第3页，共12页
龙泉驿区初中数学讲义——二次函数
2y=ax（）
复习提问
1．在下列函数中，哪些是一次函数？
哪些是二次函数？
（1）y=12x+7；
222（3）y=（x-2）-x；（4）y=4（x+3）+2x．
22．抛物线y=x的对称轴是什么？
顶点是什么？
23．在y=ax+bx+c（a?
0）中，若b=0，或c=0，或b，c同时为0，解析式是什么？
4．请同学们回忆，前面我们在学习了正比例函数、一次函数后，是如何进一步研究这
些函数的？
（答：
先用描点法画出函数图象，再结合图象研究性质．）
新课
观察所列的表，对于y=2x22中所得对应值（-4，32）很大，故还可以把y=2x另取点列表
来处理．
观察由描点所画出的图象，我们可得到结论：
22在y=ax（a＞0）中，x的系数越大，抛物线开口越小．
结合图象，师生一道归纳得到结论．
（1）
（2）y
（3）
22．运用对比的方法讲解例2．画出函数y=-x的图象．
22仍把y=-x与y=x的图象对比．
引导同学得到结论：
（1）从函数的解析式上看：
两个函数式仅相差一个符号．
22
（2）从列表中的y值看：
y=x的表中，y?
0，y=-x的表中y?
0．
22（3）从图象上看：
在同一坐标系中抛物线y=-x与y=x关于x轴对称．（联想：
在
2（4）抛物线y=-x的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点．
小结
4第4页，共12页
龙泉驿区初中数学讲义——二次函数
21．抛物线y=ax（a?
0）的对称轴是y轴，顶点是原点．
22．a＞0时，抛物线y=ax的开口向上．
23．a＜0时，抛物线y=ax的开口向下．
练习：
选用课本练习
作业：
选用课本习题
补充例题
1．在同一平面直角坐标系内画出下列函数的图象：
22y=6x，y=-6x．
22．已知点M（k，2）在抛物线y=x上，
（1）求k的值．
2
（2）点N（k，4）在抛物线y=x上吗？
2（3）点H（-k，2）在抛物线y=x上吗？
23．已知点A（3，a）在抛物线y=x上，
（1）求a的值．
2
（2）点B（3，-a）在抛物线y=x上吗？
四、教学注意问题
221．注意渗透分类讨论思想．比如在y=ax中a＞0时，y=ax的图象开口向上；当a＜0
2时，y=ax的图象开口向下，等等．
2．注意训练学生对比联想的思维方法．
2y=ax+bx+c（）
复习提问
21．用描点法画出函数y=x的图象，并根据图象回答下列问题：
2
（1）抛物线y=x的开口方向、对称轴与顶点坐标；
（2）当x=-2时，y的值；
（3）当y=9时，x的值．
（2）当x=-3时，y的值（精确到0.1）；
（3）当y=-9时，x的值（精确到0.1）．
新课
1．用和抛物线y=x222对比的方法讲解例1．画出函数y=x+1与y=x-1的图象．
（1）列表：
（2）在同一平面直角坐标系中画出图象；
（3）引导同学结合图象分析研究以下问题：
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龙泉驿区初中数学讲义——二次函数
2221?
．抛物线y=x+1，y=x-1与y=x的相同点与不同点是什么？
（答：
形状相同；位置不同．）
22?
．抛物线y=x+1的开口方向是____，对称轴是____，顶点坐标是____；（答：
向上；y轴；（0，1）．）
23?
．抛物线y=x-1的开口方向是____，对称轴是____，顶点坐标是____．（答：
向上；y轴；（0，-1）．）
（1）列表：
（2）在同一平面直角坐标系中
画出图象；
（3）引导同学结合图象分析研
究以下问题：
什
么？
（答：
形状相同；位置不同．）
（答：
向下；x=-1；（-1，0）．）
____．（答：
向下；x=1；（1，0）．）
小结
用填空或列表的方法总结抛物线y=ax
2222，y=ax+k，y=a（x-h），y=a（x+h）的开口方向、对称轴、顶点坐标．
1．当a＞0时，抛物线
2y=ax的开口方向是____，对称轴是____，顶点坐标是____；
2y=ax+k的开口方向是____，对称轴是____，顶点坐标是____；
2y=a（x-h）的开口方向是____，对称轴是____，顶点坐标是____；
2y=a（x+h）的开口方向是____，对称轴是____，顶点坐标是____．
2．当a＜0时，抛物线
2y=ax的开口方向是____，对称轴是____，顶点坐标是____；
2y=ax+k的开口方向是____，对称轴是____，顶点坐标是____；
2y=a（x-h）的开口方向是____，对称轴是____，顶点坐标是____；
2y=a（x+h）的开口方向是____，对称轴是____，顶点坐标是____．
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