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二次函数
第1课时二次函数的概念
一、二次函数的概念
一般地，经历了去括号，去数字分母，移项，合并同类项后，得到形如y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数。
例1下列函数中，哪些是二次函数？
并口述理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
即时练习1：
下列函数中，哪些是二次函数？
是二次函数的指出其中的a、b、c。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
二、对二次函数定义的深刻理解及运用
例2若函数
是二次函数，求k的值。
即时练习2：
1 若函数
是二次函数，则k的值为。
2 若函数
是二次函数，求k的值。
3
是二次函数，求k的值。
注意：
二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的几种不同表示形式：
（1）y=ax²（a≠0）；
（2）y=ax²+c（a≠0且c≠0）；（3）y=ax²+bx（a≠0且b≠0）。
【星级达标】
*1．下列函数不属于二次函数的是（）
A．y=（x－1）（x+2）B．y=
（x+1）2C．y=2（x+3）2－2x2D．y=1－
x2
*2．在边长为6cm的正方形中间剪去一个边长为xcm（x<6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，则y与x之间
的函数关系是。
**3．用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S（m²）与矩形一边长a（m）之间的关系式是它是函数。
**4．正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，则y与x之间的函数表达式为。
*5．当m=时，
是二次函数；若函数
是二次函数，则m=。
第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质（探究+合作）
二、解读教材
3．试作出二次函数y＝x2的图象。
（1）画出图象：
①列表：
（注意选择适当的x值，并计算出相应的y值）
x
……
……
y＝x2
……
……
②描点：
（在右图坐标系中描点）③连线：
（应注意用光滑的曲线连接各点）
（2）根据图像，进行小结：
①y＝x2的图像是一条抛物线，且开口方向是。
②它是对称图像，对称轴是轴。
在对称轴的左侧（x>0）,y随x的增大而；在对称轴的右侧（x<0），y随x的增大而。
③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点，从图中可以看出也是图像的最低点，此时，坐标为（，）。
④因为图像有最低点，所以函数有最值，当x=0时，y最小=。
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y＝-x2
y＝2x2
y＝
x2
变式训练1试作出下列函数图象。
观察以上图像，从下面几个角度考虑：
①a对开口方向及开口大小的影响
②对称轴及两边的增减性
③顶点位置及最值
4.y=ax2的图像及性质
根据上面的图象，从图象的开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标、最值等五个方面进行归纳。
表达式
草图
开口
对称轴
顶点
最值
增减性
x>0
x<0
y=ax2（a>0）
y=ax2（a<0）
同时，a决定图象在同一直角坐标系中的开口方向，|a|越小图象开口。
三、拓展教材
例1已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8），
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
例2已知：
抛物线
，当x>0时，y随x的增大而增大，求m的值。
【星级达标】
*1．抛物线y=2x2的顶点坐标是，对称轴是，在侧，y随着x的增大而增大；在侧,y随着x的增大而减小。
当x=时，函数y的值最小,最小值是。
抛物线y=2x2的图象在方（除顶点外）。
*2．函数y＝x2的顶点坐标为，若点（a，4）在其图象上，则a的值是。
**3．函数y＝x2与y＝-x2的图象关于对称，也可以认为y＝-x2是函数y＝x2的图象绕旋转得到的。
**4．求出函数y=x+2与函数y＝x2的图象的交点坐标。
第3课时二次函数y＝ax2+k的图象与性质（自主+探究）
2．用描点法作出二次函数y＝x2+1的图像。
x
……
0
……
y＝x2+1
……
……
小结：
①y＝x2+1的图像是，且开口向。
②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：
在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而。
③顶点是：
（，），且从图像看它有最点，则函数y有最值，即当x=时y有最值是。
可将y＝x2+1看作是y＝x2向平移个单位所形成的图像。
3．在同一直角坐标系中，作出二次函数y＝-x2，y＝-x2+2，y＝-x2-2的图像。
x
……
0
……
y＝-x2
……
……
y＝-x2+2
……
……
y＝-x2-2
……
……
小结：
观察以上三个图像，从下列几方面思考：
抛物线
开口方向
对称轴
增减性
顶点坐标
最值
平移方向及单位
y＝-x2
y＝-x2+2
y＝-x2-2
3、拓展教材
例1函数y＝-2x2的图像向下平移3个单位，就得到函数；函数y=-4+
x2的图像可以看作函数y=
x2
的图像向平移个单位而得到。
例3已知y=ax2+k过（0,2），（1,5）两点，求二次函数的解析式；判断（-2,9）是否在抛物线上。
1填表
函数
草图
开口方向
对称轴
增减性
顶点坐标
最值
y=ax2+k（a>0,k.>0）
y=ax2+k
（a>0）,k<0）
y=ax2+k
（a<0,k.>0）
y=ax2+k
（a<0,k<0）
【星级达标】
*1．抛物线y=-x2-5可以看作是抛物线经过向平移个单位得到。
*2．抛物线y=x2+4的开口向，对称轴是，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；顶点坐标是，当x=时，y有最值为。
*3．抛物线y=-3x2上有两点A（x，-27），B（2，y），则x=，y=。
*4．抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2，b），则k=，b=。
第4课时二次函数y=a（x-h）2的图象与性质（自主+探究）
一、学习准备
1、抛物线y=2x2怎样平移得到抛物线y=2x2-2的？
_______________________________________
2、抛物线y=2x2-2怎样平移得到抛物线y=2x2+3的？
_______________________________________
3、y=ax2+k的图象平移规律是：
上、下平移改变____值，具体是___________。
4、抛物线y=-4x2的开口方向是__________，对称轴是________，顶点坐标是（ ）。
5、抛物线y=x2-3的开口方向是________，对称轴是____________，顶点坐标是（ ），当x_______时，y最____值=_______，当x_______时，y随x的增大而增大，当x_______时，y随x的增大
y
6．在同一直角坐标系中作y=3x²，y=3（x-1）2和
的图像，并结合图像完成下表。
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
O
x
抛物线y=ax2与抛物线y=a（x–h）2（a、h是常数，a≠0）的关系：
（1）h＞0时,将抛物线y=ax2向平移个单位得到抛物线y=a（x–h）2它的对称轴为；
（2）h＜0时,将抛物线y=ax2向平移个单位得到抛物线y=a（x–h）2它的对称轴为。
7、二次函数y=a（x-h）2图象的性质：
（1）、抛物线y=2（x+1）2 的开口方向是______，顶点坐标（ ），对称轴是_____________，当x_______时，y最____值=_______，当x_______时，y随x的增大而增大，当x_______时，y随x的增大而减小。
（2）、抛物线y=-3（x-3）2 的开口方向是______，顶点坐标（ ），对称轴是_____________，当x_______时，y最____值=_______，当x_______时，y随x的增大而增大，当x_______时，y随x的增大而减小。
y=a（x-h）2
（a≠0）
开口方向
对称轴
顶点标
增减性
a﹥0
a﹤0
例1已知函数y=–4x2+4x–1,求出函数图像的对称轴和顶点坐标；
例2若抛物线y=3x2–6x+c的顶点在x轴上,你能否求出该顶点的坐标?
并求出c的值。
【星级达标】
*1.将抛物线y=-3x2向右平移1个单位，则所得抛物线的关系式为_________________,平移之后的抛物线的开口__________,对称轴是_____________，顶点坐标是_____________,当x_______时，y最_________值=___________，当x_________时，y随x的增大而增大，当x__________时，y随x的增大而减小。
**2、将抛物线y=x2+1向右平移2个单位，所得抛物线是________.
**3、抛物线y=
x2先向左平移1个单位，再向右平移4个单位，则平移后的抛物线的解析式为_____________________。
**6.点A（2，y1）和点B（3，y2）是抛物线y=-（x-1）2的两点，试比较y1，y2的大小。
第5课时二次函数y＝a（x-h）2+k的图象与性质
一、学习准备
1．说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况。
（1）y=2x²
（2）y=-2x²+1
2在同一直角坐标系中作y=3x²，y=3（x-1）2，y=3（x-1）2+2的图像，并结合图像完成下表。
y
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
x
O
3．抛物线的顶点式y＝a（x-h）2+k
y=a（x-h）2+k
大致图像
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
a＞0
a＜0
例1直接说出抛物线y=-0.5x²，y=-0.5x²-1，y=-0.5（x+1）²，y=-0.5（x+1）²-1的开口方向、对称轴、顶点坐标。
例2请说出
如何平移得到的。
例3已知抛物线y＝a（x-h）2+k的形状及开口方向与y=-2x2+1相同，当x=2时，函数有最大值3，求a,h,k的值。
【星级达标】
*1．指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。
（1）y=2（x-3）2-5
（2）y=-0.5（x+1）2（3）y=-0.75x2-1
（4）y=2（x-2）2+5（5）y=-0.5（x+4）2+2（6）y=-0.75（x-3）2
2．函数y=x2的图象向平移个单位得到y=x2+3的图象；再向平移个单位得到y＝（x-1）2+3的图象。
3.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线，再向上平移3个单位得到抛物线；若向左平移2个单位得到抛物线，若向右平移2个单位得到抛物线；若同时向左平移3个单位、向上平移2个单位得到抛物线。
第6课时二次函数
的图象与性质
1．二次函数
的顶点坐标是，对称轴是。
2．公式推导——二次函数
图象的顶点坐标，对称轴公式。
例1求二次函数
图象的顶点坐标，对称轴。
二次函数
的顶点坐标是（），对称轴是直线x=。
例2确定下列二次函数的顶点坐标，对称轴。
①
②
3．抛物线
（
）通过配方可变形为y=
（1）开口方向：
当
时，开口向；当
时，开口向。
（2）对称轴是直线；顶点坐标是。
（3）最大（小）值：
当
，
时，ymin=
；
当
，
时，ymax=。
（4）增减性：
当
时，对称轴左侧（
），y随x增大而；对称轴右侧（
），y随x增大而；
当
时，对称轴左侧（
），y随x增大而；对称轴右侧（
），y随x增大而；
【星级达标】
*根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标，对称轴、最值和增减性。
①
②
③
④
第7课时求二次函数的解析式
（一）
一、学习准备：
1．已知一次函数经过点（1，2），（-1，0），则一次函数的解析式为。
2．二次函数的一般式为，二次函数的顶点式，二次函数的两根式（或交点式）为。
求二次函数的解析式
（一）一般式求二次函数的解析式：
已知三点，用一般式求函数的表达式
例1二次函数的图象经过（0，2），（1，1），（3，5）三点，求二次函数的解析式。
即时练习1：
已知抛物线经过A（-1，0），B（1，0），C（0，1）三点，求二次函数的解析式。
（二）顶点式：
已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。
例2已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，7），求函数的解析式。
即时练习2：
（1）抛物线经过点（0，－8），当
时，函数有最小值为－9，求抛物线的解析式。
（2）已知二次函数
，当
时，函数有最大值2，其过点（0，-2），求这个二次函数的解析式。
方法三：
交点式：
已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求出函数的解析式。
例3已知抛物线经过（－1，0），（3，0），且过（2，6）三点，求二次函数的表达式。
即时练习3：
已知抛物线经过A（-2，0），B（4，0），C（0，3），求二次函数的解析式。
【星级达标】求下列二次函数的解析式：
*1．图象过点（1，0）、（0，-2）和（2，3）。
*2．当x=2时，y
=3，且过点（1，-3）。
*3．图象与x轴交点的横坐标分别为2和-4，且过点（1，-10）
*4．已知二次函数图象的顶点坐标为C（1,9），该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点的坐标为（4,0）。
（1）求B点的坐标
（2）求这个二次函数的关系式；
第8课时利用二次函数求最大利润
例1某商经营T恤衫，已知成批购买时的单价是5元。
根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：
在一段时间内，单价是15元时，销售量是400件，而单价每降低1元，就可以多售200件。
问销售价是多少时，可以获利最多？
例3某商店如果将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件。
后来店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，销量就增加10件，你能帮店主设计一种方案，使每天的利润为最大值吗？
例4某商场销售某种冰箱，每台盈利400元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天能多卖出4台。
商场想要使这种冰箱利润平均每天达到最大值，每天冰箱的定价应为多少元？
例5利达经销商为某工厂代销一种建筑材料。
当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，为提高利润准备采取降价方式促销，经调查发现，每吨下降10元时，月销售量会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出一吨共需付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x元，该店的月利润为y元。
（1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）
（3）该经销店要获得最大利润，售价应定位每吨多少元？
（4）小静说：
“当月利润最大时，月销售额也最大”。
你认为对吗？
请说明理由。
例6．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．
（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？
球会不会出界？
请说明理由．
（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？
17．如图，二次函数y=
x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．
（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=
S△BCD？
若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．
20．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．
（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．
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