4．已知合力和两个不平行分力大小，许多同学认为只有如下两种分解。
事实上，以F为轴在空间将该平行四边形转动一周，每一个平面分力方向均有变化都是一个解，因此，此情景应有无数组解。
例2 如图所示，质量为m的小球置于倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在小球上，另一端固定在墙上的P点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则弹簧的伸长量为（ ）
A.
B.
C.
D.
（1）小球受几个力？
提示：
重力，弹簧弹力F，斜面支持力FN。
（2）解答本题有几种方法？
提示：
①力的合成法；②力的效果分解法；③正交分解法。
尝试解答 选C。
解法一：
（力的合成法）
小球受mg、FN、F三个力作用而静止。
其中FN、F的合力与mg等大反向，即2Fcos30°＝mg
F＝kx，所以x＝
，故C正确。
解法二：
（力的效果分解法）
将mg沿垂直斜面方向和沿弹簧方向进行分解。
两个分力分别为F1、F2，其中F1大小等于弹簧弹力F。
则2Fcos30°＝mg,F＝kx，所以x＝
，故C正确。
解法三：
（正交分解法）
将FN、F沿x、y轴进行分解。
Fsin30°＝FNsin30°，Fcos30°＋FNcos30°＝mg，F＝kx，联立得x＝
，故C正确。
总结升华
力的合成与分解方法的选择
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法。
一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定。
[2018·洛阳模拟]（多选）如图所示为缓慢关门时（图中箭头方向）门锁的示意图，锁舌尖角为37°，此时弹簧弹力为24N，锁舌表面较光滑，摩擦不计（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），下列说法正确的是（ ）
A．此时锁壳碰锁舌的弹力为40N
B．此时锁壳碰锁舌的弹力为30N
C．关门时锁壳碰锁舌的弹力逐渐增大
D．关门时锁壳碰锁舌的弹力保持不变
答案 AC
解析锁壳碰锁舌的弹力分解如图所示，其中F1＝FNsin37°，且此时F1大小等于弹簧的弹力24N，解得锁壳碰锁舌的弹力为40N，A正确，B错误；关门时，弹簧的压缩量增大，弹簧的弹力增大，故锁壳碰锁舌的弹力逐渐增大，C正确，D错误。
考点3“死结”和“活结”模型[方法模型]
1．“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。
“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
2．“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。
“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。
绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。
例3 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
（1）细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
（2）轻杆BC对C端的支持力；
（3）轻杆HG对G端的支持力。
（1）图中杆上的力一定沿杆吗？
提示：
甲图杆上的力不沿杆，乙图杆上的力沿杆。
（2）两图中分别以谁为研究对象？
提示：
C点、G点。
尝试解答
（1）
（2）M1g，方向与水平方向成30°指向右上方 （3）
M2g，方向水平向右。
题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图甲和乙所示，根据平衡规律可求解。
（1）图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g
图乙中由FTEGsin30°＝M2g，得FTEG＝2M2g。
所以
＝
。
（2）图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°，指向右上方。
（3）图乙中，根据平衡方程有FTEGsin30°＝M2g，
FTEGcos30°＝FNG，所以FNG＝M2gcot30°＝
M2g，方向水平向右。
总结升华
绳上的“死结”与“活结”模型的答题技巧
（1）无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。
（2）如果题目搭配杆出现，一般情况是“死结”搭配有转轴的杆，“活结”搭配无转轴的杆。
如图所示，一轻绳的两端分别固定在不等高的A、B两点，现用另一轻绳将一物体系于O点，设轻绳AO、BO相互垂直，α>β，且两绳中的拉力分别为FA、FB，物体受到的重力为G，下列表述正确的是（ ）
A．FA一定大于G
B．FA一定大于FB
C．FA一定小于FB
D．FA与FB大小之和一定等于G
答案 B
解析 分析O点受力如图所示，由平衡条件可知，FA与FB的合力与G等大反向，因FA⊥FB，故FA、FB均小于G；因α>β，故FA>FB，B正确，A、C错误；由三角形两边之和大于第三边可知，|FA|＋|FB|>G，D错误。
1．方法概述
在分析力的合成与分解问题的动态变化时，用公式法讨论有时很繁琐，而用作图法解决就比较直观、简单，但学生往往没有领会作图法的实质和技巧，或平时对作图法不够重视，导致解题时存在诸多问题。
用图解法来探究力的合成与分解问题的动态变化有时可起到事半功倍的效果。
2．常见类型
（1）两个分力的夹角不变，当其中一个力的大小和方向不变，另一个力增大时，判断合力F合的变化情况。
（2）把一个力分解为两个分力时，一个分力的大小不变，方向可变；而另一个分力的大小和方向都可变。
（3）把一个力分解为两个分力时，一个分力的方向不变，大小可变；而另一个分力的大小和方向都可变。
3．解题思路
（1）平行四边形定则是基本方法，但也要根据实际情况采用不同的方法：
①若出现直角三角形，常用三角函数表示合力与分力的关系；
②若给定条件中有长度条件，常用力组成的三角形（矢量三角形）与长度组成的三角形（几何三角形）的相似比求解。
（2）用力的矢量三角形分析力的最小值问题的规律：
①若已知F合的方向、大小及一个分力F1的方向，则另一分力F2的最小值的条件为F1⊥F2；
②若已知F合的方向及一个分力F1的大小、方向，则另一分力F2的最小值的条件为F2⊥F合。
如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。
设墙面对球的压力大小为N1，球对木板的压力大小为N2。
以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。
不计摩擦，在此过程中（ ）
A．N1始终减小，N2始终增大
B．N1始终减小，N2始终减小
C．N1先增大后减小，N2始终减小
D．N1先增大后减小，N2先减小后增大
[答案] B
[解析] 解法一：
（平行四边形法）
将小球的重力沿垂直于墙和垂直于木板两个方向进行分解，画出平行四边形，两个分力分别为N1、N2；当木板顺时针转动时，N2的方向随之发生变化，由图可知N1、N2均减小，B正确。
解法二：
（三角形法）
以小球为研究对象，画出小球受力的矢量三角形，木板对球的弹力大小为N2′，由力的矢量三角形很直观地可看出：
N1始终减小，N2′始终减小。
故B正确。
名师点睛
图解法解决力的合成和分解问题的极值的判断技巧
（1）两分力的夹角为α，当α<90°时，F合随着其中一个力的增大而增大。
当α>90°时，F合的变化情况比较复杂，其中F合和增大的那个力的方向垂直时，F合有最小值。
（2）合力一定时，大小和方向都可变的分力（F2）的大小往往存在极值，且F2⊥F1时，F2有极小值；而方向不变、大小可变的力（F1）是单调变化的。
[2013·天津高考]如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点。
现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是（ ）
A．FN保持不变，FT不断增大
B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小
D．FN不断增大，FT先减小后增大
答案 D
解析 由于缓慢地推动斜面体，小球处于动态平衡，小球受到大小方向不变的重力，方向不变的斜面的支持力，还有绳的拉力，三力构成封闭三角形，如图所示，开始时绳的拉力与支持力的夹角为锐角，随着绳的拉力FT按顺时针转动，其大小先减小后增大，而支持力FN一直增大，D正确。
板块三 限时规范特训
时间：
45分钟
满分：
100分
一、选择题（本题共10小题，每小题7分，共70分。
其中1～7为单选，8～10为多选）
1．两个共点力F1与F2的合力大小为6N，则F1与F2的大小可能是（ ）
A．F1＝2N，F2＝9NB．F1＝4N，F2＝8N
C．F1＝1N，F2＝8ND．F1＝2N，F2＝1N
答案 B
解析 由于合力大小范围为：
|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，可知B正确。
2．如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知F1＝10N，则这5个力的合力大小为（ ）
A．50NB．30N
C．20ND．10N
答案 B
解析 由力的平行四边形定则可知，图中F2与F4的合力等于F1，F3与F5的合力也等于F1，故这5个力的合力为3F1＝30N。
3．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是（ ）
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案 C
解析 合力不一定大于分力，B错误；三个共点力的合力的最小值能否为零，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为零，A错误；当三个力的大小分别为3a、6a、8a，其中任何一个力都在其余两个力的合力范围内，故C正确；当三个力的大小分别为3a、6a、2a时，不满足上述情况，故D错误。
4.如图所示，在绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向α的夹角，且保持其平衡。
保持α角不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角β应是（ ）
A．0B.
C．αD．2α
答案 C
解析 物体处于平衡状态，合力为零，重力和拉力的合力与细绳的张力FT等大反向，如图所示，由“三角形”法可以知道当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角β应等于α，C正确。
5.[2018·江西红色七校联考]如图所示，三个相同的轻质弹簧连接在O点，弹簧1的另一端固定在天花板上，且与竖直方向的夹角为30°，弹簧2水平且右端固定在竖直墙壁上，弹簧3的另一端悬挂质量为m的物体且处于静止状态，此时弹簧1、2、3的形变量分别为x1、x2、x3，则（ ）
A．x1∶x2∶x3＝
∶1∶2
B．x1∶x2∶x3＝
∶2∶1
C．x1∶x2∶x3＝1∶2∶
D．x1∶x2∶x3＝2∶1∶
答案 D
解析 以结点O为研究对象受力分析，运用合成法，如图：
由几何知识知：
T1＝
T2＝mgtan30°
T3＝mg
故T1∶T2∶T3＝2∶1∶
根据胡克定律：
T＝kx
则x1∶x2∶x3＝2∶1∶
，故选D。
6．[2018·贵阳监测]如图所示是轿车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。
当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°。
下列判断正确的是（ ）
A．此时千斤顶每臂受到的压力大小均为5.0×104N
B．此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×104N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将减小
答案 D
解析 车轮刚被顶起时，千斤顶两臂支持力的合力为千斤顶对汽车的支持力，等于汽车对千斤顶的压力，大小为1.0×105N，B错误；两臂夹角为120°，由力的合成可知千斤顶每臂受到的压力为1.0×105N，A错误；继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶两臂夹角减小，每臂受到的压力减小，D正确，C错误。
7．[2018·石家庄模拟]如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮（长度不计）做成裹片。
若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L（弹性限度内），则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为（ ）
A．kLB．2kL
C.
kLD.
kL
答案 D
解析 发射弹丸瞬间两橡皮条间的夹角为2θ，则sinθ＝
＝
，cosθ＝
＝
。
发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为F合＝2Fcosθ，F＝kx＝kL，故F合＝2kL·
＝
kL，D正确。
8．[2018·衢州质检]如图所示，质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速直线运动，已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为（ ）
A．μmgB．μ（mg＋Fsinθ）
C．μ（mg－Fsinθ）D．Fcosθ
答案 BD
解析 对木块进行受力分析如图所示，将F进行正交分解，由于木块做匀速直线运动，所以在x轴和y轴均受力平衡，即Fcosθ＝Ff，FN＝mg＋Fsinθ，又由于Ff＝μFN，故Ff＝μ（mg＋Fsinθ），B、D正确。
9．[2018·大连模拟]如图所示，作用于O点的三个力F1、F2、F3合力为零。
F1沿－y方向，大小已知。
F2与＋x方向夹角为θ（θ<90°），大小未知。
下列说法正确的是（ ）
A．F3可能指向第二象限
B．F3一定指向第三象限
C．F3与F2的夹角越小，则F3与F2的合力越小
D．F3的最小可能值为F1cosθ
答案 AD
解析 因F1、F2、F3的合力为零，故F3应与F2、F1的合力等大反向，故F3可能在第二象限，也可能在第三象限，A正确、B错误；F3、F2的合力与F1等大反向，而F1大小、方向均已知，故F3与F2的合力与其夹角大小无关，C错误；当F3与F2垂直时，F3最小，其最小值为F1cosθ，D正确。
10．如图所示，质量为m的木块A放在水平面上的质量为M的斜面体B上，现用大小相等方向相反的两个水平推力F分别作用在A、B上，A、B均保持静止不动。
则（ ）
A．A与B之间不一定存在摩擦力
B．B与地面之间一定存在摩擦力
C．B对A的支持力一定等于mg
D．地面对B的支持力大小一定等于（m＋M）g
答案 AD
解析 A在斜面上处于静止状态，对A受力分析如图甲所示，若Fx＝Gx，则f＝0；若Fx>Gx，则f≠0且方向斜向下，则A正确；由图甲知N＝Fy＋Gy，则N与G的大小关系不确定，C错误；对A、B整体受力分析如图乙，水平方向上与地面间无摩擦力，竖直方向上N地＝GA＋GB＝（m＋M）g，则B错误，D正确。
二、非选择题（本题共2小题，共30分）
11．（14分）有些人，比如电梯修理员、牵引专家和赛艇运动员，常需要知道绳或金属线中的张力，可又不可能到那些绳、线的自由端去测量。
一个英国公司制造出一种夹在绳子上的仪表，用一个杠杆使绳子的某中点有一个微小偏移量，如图所示。
仪表很容易测出垂直于绳的恢复力，推导一个能计算绳中张力的公式。
如果偏移量为12mm，恢复力为300N，计算绳中张力。
答案 1563N
解析 如图所示，将力F沿着拉伸的方向分解成FT1和FT2，显然FT1＝FT2＝FT，sinθ＝
；而由于θ角很小，所以sinθ约等于tanθ，而tanθ＝
，因此FT＝
＝
≈1563N。
12.（16分）压榨机结构如图所示，B为固定铰链，A为活动铰链，若在A处作用一水平力F，轻质活塞C就以比F大得多的力压D，若BC间距为2L，AC水平距离为h，C与左壁接触处光滑，则D受到的压力为多少？
答案
F
解析 力F的作用效果是对杆AC、AB产生沿杆方向的压力F1、F2，如图甲所示；而F1的作用效果是对D产生水平的推力F′和竖直向下的压力N，如图乙所示，由图得tanα＝
，F1＝F2＝
，N＝F1sinα，
则N＝
·sinα＝
tanα＝
F。
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