小升初数学专题数论模块最大公因数和最小公倍数.docx
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小升初数学专题数论模块最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数
【教学目标】
1.掌握最大公因数和最小公倍数的基本概念，并能利用分解质因数或短除法求解；
2.熟练掌握与最大公因数和最小公倍数相关的计算公式。
1.公因数和最大公因数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
a和b的最大公因数是c，记作（a，b）=c。
2.公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
a和b的最小公倍数是d，记作【a，b】=d。
3.互质数
如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
4.常用公式：
①（a，b）×[a，b]=a×b；②（
，
）=
；③[
，
]=
例题1、把一个长45厘米、宽30厘米的长方形，剪成边长是整数厘米、没有剩余面积的正方形，最多剪________块。
例题2、某体育代表团在运动场上列队，只知道人数在90～110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，这个体育代表团共有运动员____________人。
例题3、甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是__________月__________日。
例题4、一个数除150余6，除250余10，除350余14，这个数最大是________。
例题5、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是72，这两个数分别是________或________。
例题6、有甲、乙、丙三个齿轮，甲、乙互相啮合，乙、丙互相啮合，甲齿轮有84人齿，乙齿轮有48个齿，丙齿轮有36个齿。
问在转动过程中原同时啮合的各个齿到下次再次三个齿轮同时啮合时，甲齿轮最少转动________圈。
例题7、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳
米,黄鼠狼每次跳6
米，它们每秒都只跳一次，在比赛途中，从起点开始,每间隔3
米有一个陷阱，它们之中________先掉进陷阱,它掉进陷阱时另一个跳了________米。
例题8、如图所示的四个圆形跑道，每个跑道的长都是1千米。
A、B、C、D四位运动员同时从交点O出发，分别沿四个跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每小时6千米，每小时8千米，每小时12千米。
问从出发到四人再次相遇，四人共跑了___________千米。
【练习1】用一个数除96余6，除134余8，除243余9，这个数最大是________。
【练习2】把一块42厘米宽，90厘米长的长方形铁片，剪成边长为整厘米数，且面积相等的小正方形铁片（不能有剩余），至少可以剪成________块铁皮。
【练习3】小明、小王、小李三人经常到图书馆去，小明每4天去一次，小王每5天去一次，小李每2天去一次．他们8月5日在图书馆相遇时，那么他们再在__________月__________日图书馆相遇。
【练习4】甲、乙、丙三班同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班42人，把各班同学分别分成小组，分乘若干条小船，使每条船上人数相等，最少要有___________条船。
【练习5】塑料袋里有一些奶糖，如果每次取3粒，最后剩1粒，如果每次取5粒或7粒，最后都剩4粒，这袋糖最少有___________粒。
【练习6】A、B两只青蛙玩跳跃游戏，A每次跳10厘米，B每次跳15厘米，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始．在比赛途中，每隔12厘米有一陷阱，当它们中第一只掉进陷阱时，另一只距离最近的陷阱有___________厘米。
【练习7】如图②，三条圆形跑道，每条跑道的长都是0.5千米，A、B、C三位运动员同时从交点O出发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每小时8千米，每小时6千米．问：
从出发到三人第一次相遇，他们共跑了___________千米。
【练习1】有两个数的最小公倍数是144，最大公约数是12，这两个数分别是________或________。
【练习2】a=2
3
m,b=3
5
m（m是自然数且不为0）,如果a和b的最大公约数是21，则m是___________，a和b的最小公倍数是___________。
【练习3】有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，中午12时整，电子钟响铃又亮灯，问下一次既响铃又亮灯是___________时。
【练习4】有三根木棒，分别长12厘米，20厘米，44厘米，把它们都截成同样长的小棒（整厘米），不许有剩余，每根小棒最长能有__________厘米。
【练习5】分一堆苹果，每份3个，最后还剩一个；每份5个，最后还剩3个，每份7个最后还剩下5个，这堆苹果最少有___________个。
【练习6】甲、乙、丙三学生绕圆形跑道赛跑，甲跑一圈要1分钟，乙跑一圈要1分30秒，丙跑一圈要1分15秒。
现三人同时从同地出发，________分钟后，三人又在原地相会。
【练习1】两个两位自然数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个自然数的和是___________。
【练习2】操场上做操的人数在400～450人之间，4人一排、6人一排或7人一排都正好多2人，操场上共有____________人在做操。
【练习3】大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个圆形花园的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，小明的平均步长54厘米，爸爸的平均步长72厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后又回到了起点，这时雪地上只留下60个脚印。
这个花园的周长是________米。
【练习4】如图①，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转6圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，乙齿轮齿数最少应有________个齿。
【练习5】在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备红旗__________面，黄旗__________面。
参考答案
例1.解析：
【分析】根据题意，剪成边长是整数厘米、没有剩余面积的正方形，最多剪多少块，其本质是求45和30的最大公因数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积，据此解答即可。
【解答】解：
∵
∴
（张）
故裁出的正方形的边长最大是15厘米，最多可以裁出6张正方形纸片。
例2.解析：
【分析】首先根据3的倍数特征，求出在90～110之间3的倍数有：
93，96，99，102，105，108；再根据排成五列不足2人，排成七列不足4人，对3的这些倍数进行排除，问题就得到解决。
【解答】解：
∵排成三列无余
∴这个体育代表团的人数是3的倍数
∵体育代表团的人数在90～110之间
∴体育代表团的人数可能是93、96、99、102、105、108；
又∵排成五列不足2人
∴体育代表团的人数增加2人应当是5的倍数
∴体育代表团的人数只可能是93、108；
又∵排成七列不足四人，经检验93不符合条件，108符合条件
∴这个体育代表团共有108人
故这个体育代表团共有运动员108人。
例3.解析：
【分析】由甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书的天数是6、8、9的最小公倍数，根据年月日的知识可知：
3月是大月有31天，4月是小月有30天，5月是大月有31天，然后用它们的最小公倍数减去3月里剩下的天数，再减去4月里的30天，最后剩下的天数就到了五月，剩下的天数小于31日，说明同去的日子就在五月里，是几就是5月几日，据此解答。
【解答】解：
∵3月还有：
31-5=26（天）
∴72-26-30=16（天），16＜31
∴下一次都到图书馆的时间是5月16日
例4.解析：
【分析】把这三个数分别去掉各自的余数，能被要求的数整除，然后把这三个数分解质因数，那么求出剩下的三个数的最大公因数就是要求的数，据此解答。
【解答】解：
∵
∴
∴这个数最大是48。
例5.解析：
【分析】首先要知道最大公约数和最小公倍数是如何求得的，最大公约数是两个数的公有质因数的积，最小公倍数是两个数的公有质因数和独有因数的积，所以用最小公倍数除以最大公约数就得到了两个数的独有因数的积，进而组合成要求的数即可。
【解答】解：
∵72÷12=6，6=1×6=2×3
∴这两个数有两种情况：
①12×1=12与12×6=72
②12×2=24与12×3=36，
∴这两个数分别是12和72或者24和36。
例6.解析：
【分析】根据题意，求在转动过程中原同时啮合的各个齿到下次再次三个齿轮同时啮合时，甲齿轮最少转动多少圈，其本质上是求84、48、36的最小公倍数，然后用最小公倍数分别处以各自的齿数即可求出各自转动的圈数。
【解答】解：
∵
∴①甲齿轮转动的圈数为：
1008÷84=12（圈）
②乙齿轮转动的圈数为：
1008÷48=21（圈）
③丙齿轮转动的圈数为：
1008÷36=48（圈）
故甲齿轮最少转动12圈。
例7.解析：
【分析】狐狸掉进陷阱时与起点的距离应是
和3
的最小整数倍，同理黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离应是6
和3
的最小整数倍，分别求出这两个数，再进行比较，可确定谁先掉进陷阱，然后可求出另一个跳的距离。
【解答】解：
∵
，
∴
∴黄鼠狼先掉进陷阱
∴
（次）
∴
（米）
故黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了
米。
例8.解析：
【分析】四位运动员同时从交点0出发，分别沿四个跑道跑步，从出发到四人再次相遇，那么他们相遇的地点应该就是起点即O点，先表示出他们四人跑一圈需要的时间，再求出四人各跑一圈需要时间的公倍数，即四人再次相遇时经过的时间，最后根据“路程=速度×时间”，分别求出四人行驶的路程，把他们相加即可解答。
【解答】解：
由已知条件可知，
∴
∴
（千米），
故四人共跑了15千米。
【练习1】这个数应是96-6=90、134-8=126、243-9=234这三个数的最大公约数，
90=2×3×3×5，126=2×3×3×7，234=2×3×3×13，
所以90、126、234这三个数的最大公因数是2×3×3=18；
答：
这个数最大是18．
【练习2】90和42的最大公约数是6，也就是剪成的小正方形的边长是6厘米，
那么长可剪的块数：
90÷6=15（块），
宽可剪的排数：
42÷6=7（排），
一共剪的块数：
15×7=105（块）；
答：
至少要剪105块．
【练习3】4=2×2，
4、5、2的最小公倍数是：
2×2×5=20，他们20天后再相遇；
8月5日再过20天是8月25日．
答：
他们再在8月25日图书馆相遇；
故答案为：
8，25．
【练习4】解:
49、56、42的最大公约数是7，也就是船数;
每一条船上的人数:
49÷7+56÷7+42÷7=7+8+6=21（人）.
答:
最少要有7条船.
【练习5】分析：
因为每次取3粒余一粒，每次取5或7余4，恰好4被3取会余1，所以得最少为3、5、7的公倍数加4．
解答：
解：
3、5和7的最小公倍数是3×5×7=105，105+4=109；
故答案为：
109．
【练习6】分析：
10 15 12的最小公倍数是60 B青蛙跳4次就到陷阱了 距离是15*4=60厘米 第五个陷阱的距离是12*5=60厘米 A青蛙调到第四次的时候的距离是10*4=40厘米 所以当它们中第一只掉进陷阱时，另一只距离最近的陷阱有60-40=20厘米
【练习7】三人的速度比是4：
8：
6=2：
4：
3，
则在相同的是间内，
他们所行的路程比为：
2：
4：
3，
所以当A跑了2圈，B跑了4圈，C跑了3圈时，三人第一次相遇；
相遇时，三人一共跑了：
（2+4+3）×0.5=9×0.5=4.5（千米）．
答：
从出发到三人第一次相遇，他们共跑了4.5千米．
故答案为：
4.5．
【练习1】144÷12=12，12=2×2×3，所以12=3×4，12×3=36，12×4=48，
答：
这两个数是36和48；故答案为：
36，48．
【练习2】a=2×3×m，b=3×5×m，
a和b的最大公约数是21=3×7=3×m，所以m=7；
所以a和b的最小公倍数是3×7×2×5=210；
故答案为：
210．
【练习3】1小时=60分钟．9和60的最小公倍数为180，
即再过180分钟就是既响铃又亮灯时间，180=3小时．
所以下次响铃的时间应是下午3时．
故答案为：
3．
【练习4】12=2×2×3，44=2×2×11，20=2×2×5，每根小棒最长：
2×2=4（厘米），
（12+44+20）÷4=76÷4=19（根）．
答：
每根小棒最长是4厘米，能截成19根这样的小棒．
【练习5】3、5、7的最小公倍数是105，这堆苹果最少有105-2=103（个）．
答：
这堆苹果最少有103个．
【练习6】先看到起点的时间：
甲：
1分，2分，3分...
乙:
1分30,3分,4分30,6分...
丙:
1分15,2分30,3分45,5分...
甲和乙相遇在起点:
3分,6分,9分...（3的倍数）
甲和丙相遇在起点:
5分,10分,15分...（5的倍数）
3和5的最小公倍数那就是15分了
甲跑了15圈乙跑了10圈丙跑了12圈
所以答案是15分的时候
【练习1】解：
96÷8＝12
12＝1×12＝3×4
1×8＝8，12×8＝96
3×8＝24，4×8＝32
∴这两个数可能是：
8和96；或24和32。
【练习2】4.6.7的最小公倍数是84，
84×5=420，420+2=422；
答：
操场上有422人在做操．
故答案为：
422．
【练习3】54和72的最小公倍数是216，从起点到第一次脚印重合时止：
小明的脚印数为216÷54=4（个），爸爸的脚印数为216÷72=3（个）．因为他们俩有一个脚印是重合的，所以在216厘米长的这段路程内共有脚印（4+3-1）=6（个）。
又因为60÷6=10， 216×10=2160（厘米）
所以这个花圃的周长为21.6米。
【练习4】6、7、2的最小公倍数是：
2×3×7=42，即三个齿轮转过的总齿数是42，
甲为：
42÷6=7（齿）；
乙为：
42÷7=6（齿）；
丙为：
42÷2=21（齿）；
答：
甲、乙、丙三个齿轮齿数最少应分别是7齿，6齿，21齿．
【练习5】因环形跑道即封闭环形每隔8米插面红旗分段数即栽红旗面数;又知每隔2米插面黄旗400米分成每隔2米能分多少段即栽黄旗数量;黄旗栽相邻两面红旗之间即红、黄旗重复栽-红旗面数即.
解答:
解:
40O÷8=50（面）
400÷2-50=200-50=150（面）;
答:
应准备红旗50面黄旗150面.
故答案:
50150.
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