代数结构同态的方法及应用.docx
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代数结构同态的方法及应用
代数结构同态的方法及应用
摘要
本文简要介绍了群论的相关概念，其中主要介绍了群的概念、子群的概念、和不变子群的概念以及子群的判别方法和不变子群的判别方法。
重点介绍了群同态概念、群同态的基本定理以及群同态基本定理的运用。
利用子群、不变子群以及群同态基本定理推出一系列与同态基本定理相关定理。
是同态基本定理的延伸和运用，对群论和群同态的后续研究起到了非常重要的作用。
最后通过一系列典型例子进一步讨论了群同态基本定理的运用。
关键字：
群；子群；不变子群；群同态
Algebraicstructureanditsapplicationwiththestate
Abstract
Thispaperintroducestheconceptsofgrouptheorywhichintroducesthegroupconcept,theconceptofsubgroups,andtheconceptofinvariantsubgroupsandsub-groupdiscriminationmethodandthesamesub-groupdiscriminationmethod.Focusesontheconceptofgrouphomomorphisms,groups,andthefundamentaltheoremofhomomorphismsofthefundamentalgroupoftheapplication.Useofsubgroups,invariantsubgroup,andthefundamentaltheoremofgroupslaunchedaseriesofcorrelationofthefundamentaltheorems.Isthefundamentaltheoremoftheextensionandapplicationofgrouptheoryandgroupfollow-upstudywiththestateplayedaveryimportantrole.Finally,atypicalexampleofagrouptofurtherdiscusstheapplicationofthefundamental.
Keywords：
group;subgroup;invariantsubgroup;grouphomomorphism
目录
第一章绪论4
1.1引言4
第二章群论的基本概念5
2.1群的概念5
2.2子群、不变子群的判别方法7
2.3同态的概念及基本定理8
第三章同态基本定理的运用9
3.1同态的相关定理9
3.2同态同态基本定理的运用13
结论19
致谢20
参考文献21
附录X译文22
附录Y外文原文25
第一章绪论
1.1引言
代数结构主要有群、环、域、模等。
这些概念大多都是在十九世纪产生的，如群的概念是19世纪30年代由法国青年数学家Galois首先提出的，他在解决用根式求解五次方程时发现了群。
他不仅彻底地解决了一元n次方程用根式求解是否可能的问题，而且也使人们认识到除了数集外，在其他集合上也可能存在着代数结构，即满足一定规则的运算，而这种代数结构正是群论。
群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。
同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段。
同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构。
代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类。
而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系。
特别重要的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构（G1/kerf≌G2）！
在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态。
保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的去研究它们。
第二章群论的基本概念
2.1群的概念
定义一：
设G是一个非空集合，
是它的一个代数运算，如果满足以下条件：
1.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有（a
b）
c
=a
（b
c）；
2.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e
a=a；
3.对G中每个元素a在G中都有元素
啊a
，叫做a的左逆元，使a
a=e；
则称G对代数运算
做成一个群。
定义二：
一个有单位元的半群（G
）叫做一个群，如果G的每个元皆为正则元。
定义三：
如果一个半群（G
）有一个左单位元e使ea=a,存在并且，对每一有左逆元，则是一个群
定义四：
如果（G
）是一个半群，若对于G中任意a，b，方程ax=b,ya=b在G中都有解，则G是一个群
定义五：
一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如
1．G对于这个乘法来说是封闭的；
2．结合律成立：
a（bc）=（ab）c对于的任意三个元a,b,c都对；
3.对于的G任意两个元来说a,b，方程ax=b和ya=b都在G里面有解
定义六：
一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如
1．G对于这个惩罚来说是封闭的；
2．结合律成立：
a（bc）=（ab）c对于的任意三个元a,b,c都对；
3．G里至少存在一个左单位元e，能让ea=e对于的G任何元a都成立；
4．对于G的每个元a，在G里至少存在一个左逆元a
，能让a
a=e
注：
群的定义是多种的，需要根据具体情况而定选择哪一种定义方式，例如验证非空集合
关于一个乘法运算是否作成群，一般必须检验乘法的封闭性、结合律、单位元的存在以及逆元的存在。
2.2子群、不变子群的判别方法
一、子群的概念：
一个群G的一个子集H叫做的一个子群，假如H对于G的乘法来说做成一个群。
二、子群的判别方法
定理一：
一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：
1．a,b
H
ab
H
2.a
H
a
H
定理二：
一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：
3.a,b
H
ab
H
定理三：
一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：
a,b
H
ab
H
三、不变子群的定义：
一个群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个元a来说都有Na=aN一个不变子群N的一个左（或右）陪集叫做N的一个陪集。
四、不变子群的判别方法
定理一：
一个群G的一个子群N是一个不变子群的充分而且必要条件是：
aNa
=N对于G的任意一个元a都对。
定理二：
一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：
a
G,n
N
a
N
2.3同态的概念及基本定理
一、同态的概念：
设
，
是两个群，
到
的一个映射f是
到
的一个同态映射，如果对于任意的a,b
，均有f（ab）=f（a）f（b）。
注：
（1）若
到
的同态映射f是
到
的满射，则说f是
到
的满同态，记为
～
，这是称
为在f（作用）下
的同态象。
（2）若
到
的同态映射f是
到
的单射，则说f是
到
的单一同态。
（3）f既是
到
的满同态又是
到
的单一同态，则说f是
到
的同构映射，记为
。
二、同态的基本定理：
设
是一个群，则
的一个商群
/N与
同态；反之，若
和
是两个群，并且
和
同态，那么这个同态满射的核N是
的一个不变子群，并且
/N
。
注：
定理前一部分告诉我们，一个群
和它的每一个商群同态；定理后面部分告诉我们，抽象的来看，
只能和它的商群同态，所以我们可以说定理后面部分是定理前一部分的反面。
我们知道，当群
和
同态的时候，
的性质并不同
的完全一样，但定理后面部分告诉我们，这时我们一定找得到
的一个不变子群N，使得
的性质和商群
/N的完全一样。
从这里我们可以看出不变子群和商群的重要意义。
第三章同态基本定理的运用
3.1同态的相关定理
定理一（同态的基本定理）：
设
是一个群，则
的一个商群
/N与
同态；反之，若
和
是两个群，并且
和
同态，那么这个同态满射的核N是
的一个不变子群，并且
/N
。
证明：
（1）我们规定一个法则
（
）
这显然是
到
/N的一个满射，对于
的任意两个元
和b来说，
b
=（
）（
）
所以它是一个同态映射。
（2）我们用f来表示给的同态满射，假定
和
是
的任意两个元，那么在f之下
，
因此，
=
这就是说，
，
是
的一个子群，假定
，而且在f之下，
那么在f之下
，
n
=
这就是说，
n
是
的一个子群。
现在规定一个法则
g:
=g（
）（
）
我们说，这是一个
/N与
间同构映射。
因为：
（1）
=
=
=
这就是说，在g之下
/N的一个元素只有一个唯一的象；
（2）给了
的一个任意元
，在
里至少有一个元满足条件g（a）=
由g的定义
给的
这就是说，g是
/N到
的满射。
（3）
（4）在g之下，
=
=
这样
/N
定理二：
若
和
是两个群，并且
和
同态。
那么在这个同态满射之下的
（1）
的一个子群
的象
是
的一个子群；
（2）
的一个不变子群
的象
是
的一个不变子群。
证明：
我们用f来表示给定的同态满射
（1）假定
和
是
的任意两个元，并且在f之下，
，
（
）
那么在f之下
但由于
是子群，
，因此由于
是
在f之下的象，
。
这样，
，
是
的一个子群。
（2）
既是
一个不变子群，由
（1）知，我们知道
是
一个子群。
假定
是
的任意元，
是
的任意元，而且在f之下，
，
（
）
那么在f之下
但由于
是
一个不变子群，
n
，因此由于
是
在f之下的象，
。
这样，
，
是
的一个不变子群，证完。
定理三：
若
和
是两个群，并且
和
同态。
那么在这个
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