高考数学文全国通用版大一轮复习检测第二篇 函数导数及其应用 第9节 函数模型及其应用 Wor.docx

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第节　函数模型及其应用

【选题明细表】

知识点、方法

题号

利用函数图象刻画实际问题

二次函数模型

指对函数模型

分段函数模型

模型的选取与求解

基础对点练（时间分钟）

.（·江西九江二模）一个游泳池长,甲、乙两人分别在游泳池相对两边同时朝对面游泳,甲的速度是,乙的速度是,若不计转向时间,则从开始起到止,他们相遇的次数为（　　）

（）（）（）（）

解析:

设距离为甲、乙所在位置与乙岸的距离,实线为甲函数（）的图象,虚线为乙函数（）的图象,如图所示,两曲线共有个交点.

.（·长沙模拟）如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于轴的直线（≤≤）经过原点向右平行移动在移动过程中扫过平面图形的面积为（图中阴影部分）,若函数（）的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是（　　）

解析:

由函数的图象可知,几何体具有对称性,选项在移动过程中扫过平面图形的面积为,在中线位置前,增长的先慢后快,再快.选项,后面是匀速增加,函数图象呈直线.故选.

.（·辽宁抚顺期末）一批材料可以建成长的围墙,现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间隔成个面积相等的矩形（如图）,则围成的矩形最大总面积为（　　）

（）（）

（）（）

解析:

设每个小矩形的高为,

则长为（）,记面积为,

则·（）（<<）,

所以当时（）,

所以所围矩形面积的最大值为.故选.

.某种动物繁殖量（只）与时间（年）的关系为（）,设这种动物第年有只,则到第年它们有（　　）

（）只（）只（）只（）只

解析:

由已知得（）,

得,所以（）,

则当时（）（只）.

.（·江西吉安期末）某实验小组通过实验产生的一组数据（如表）,现欲从理论上对这些数据进行分析并预测后期实验结果的最佳模拟函数的模型是（　　）

（）（）

（）（）

解析:

通过所给数据可知随着的增大而增大,且其增长速度越来越快,而中的函数增长速度越来越慢中的函数增长速度保持不变,且即中的函数不满足题意,于是选项满足题意,故

选.

.（·辽宁锦州期末）国家规定个人稿费纳税办法是:

不超过元的不纳税;超过元而不超过元的按超过元部分的纳税;超过元的按全部稿酬的纳税,已知某人出版一本书,共纳税元,则这个人应得稿费（扣税前）为（　　）

（）元（）元

（）元（）元

解析:

由题意,纳税额与稿费函数关系为

由于此人纳税元,令（）×,

解得.

令,得（舍去）,

故可得这个人应得稿费（扣税前）为元.故选.

.（·江苏南通模拟）用长度为的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为. 

解析:

如图所示,

设矩形场地的宽为,

则长为,

其面积为

·（）

（）.

当时有最大值,为;所以隔墙的长度应为.

答案

.导学号为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:

明文密文密文明文

已知加密为（为明文为密文）,如果明文“”通过加密后得到密文为,再发送,接收方通过解密得到明文“”,若接收方接到密文为“”,则原发的明文是. 

解析:

依题意中,当时,

故,解得,

所以加密为.

因此,当时,由,

解得.

答案

.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:

驾驶员血液中的酒精含量不得超过,那么,此人至少经过小时后才能开车.（精确到小时） 

解析:

设经过小时才能开车,

由题意得（）≤,

所以≤≥≈.

所以此人至少经过小时后才能开车.

答案

.（·湖北黄冈自主招生）某农机租赁公司共有台收割机,其中甲型台,乙型台,现将这台联合收割机派往两地区收割水稻,其中台派往地区台派往地区,两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表:

每台甲型收割机的租金

每台乙型收割机的租金

地区

元

元

地区

元

元

（）设派往地区台乙型联合收割机,租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元,求关于的函数关系式;

（）若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元,试写出满足条件的所有分派方案;

（）农机租赁公司拟出一个分派方案,使该公司台收割机每天获得租金最高,并说明理由.

解:

（）由于派往地的乙型收割机台,则派往地的乙型收割机为（）台,派往地区的甲型收割机分别为（）台和（）台.

所以（）（）（）

（≤≤）.

（）由题意,得≥,解得≥,

因为≤≤是正整数,所以,

所以有种不同分派方案:

①当时,派往地区的甲型收割机台,乙型收割机台,余者全部派往地区;

②当时,派往地区的甲型收割机台,乙型收割机台,余者全部派往地区;

③当时,派往地区的甲型收割机台,乙型收割机台,余者全部派往地区.

（）因为中,

所以随的增大而增大,所以当时取得最大值,

此时×,建议农机租赁公司将台乙型收割机全部派往地区台甲型收割机全部派往地区,这样公司每天获得租金最高,最高租金为元.

.（·武汉期末）为了美化校园环境,学校打算在兰蕙广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园,中间有三个完全一样的矩形花坛,每个花坛面积均为平方米,花坛四周的过道均为米,如图所示,设矩形花坛的长为,宽为,整个矩形花园面积为.

（）试用表示;

（）为了节约用地,当矩形花坛的长为多少米时,新建矩形花园占地最少,占地多少平方米?

解:

（）（）（）.

（）由得×××∈（∞）≥·×××,

当且仅当,即时,等号成立.

此时,矩形花园面积为平方米.

能力提升练（时间分钟）

.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长应为（　　）

（）（）

（）（）

解析:

由三角形相似得,

得（）,

所以（）,

所以当时有最大值,此时.

.（·广东佛山期末）某地区今年月月月月月患某种传染病的人数分别是.若用下列四个函数模型预测以后各月的患该种传染病的人数,哪个最不合理?

（　）

（）（）（）（）

（）（）（）（）

解析（）,则所以,

所以（）（）>（）>（）>;

（）,

由题意得

解得,

所以（）,

所以（）×<,

（）×<,

（）·,

由题意得

解得,

所以（）·（）,

所以（）≈（）≈,

（）,

所以,

所以（）,

所以（）<,

（）<,

（）<,故选.

.（·上海普陀区二模）某企业参加项目生产的工人为人,平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要,从项目中调出人参与项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润（）万元（>）项目余下的工人每年创造利润需要提高.

（）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润,则最多调出多少人参加项目从事售后服务

工作?

（）在（）的条件下,当从项目调出的人数不能超过总人数的时,才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润,求实数的取值范围.

解:

设调出人参加项目从事售后服务工作.

（）由题意得（）（）≥×,

即≤,又>,所以<≤.即最多调整名员工从事售后服务工作.

（）由题知<≤,

从事售后服务工作的员工创造的年总利润为（）万元,

从事原来产业的员工的年总利润为（）（）万元,

则（）≤（）（）,

所以≤,

所以≤,

即≤恒成立,

因为<≤,

所以≥,

所以≤,

又>,所以<≤,

即的取值范围为（].

.（·江苏宿迁三模）经市场调查,某商品每吨的价格为

（<<）百元时,该商品的月供给量为万吨（>）;月需求量为万吨.当该商品的需求量大于供给量时,销售量等于供给量;当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.

（）若,问商品的价格为多少时,该商品的月销售额最大?

（）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格,若该商品的均衡价格不低于每吨百元,求实数的取值范围.

解:

（）若,

>,即>,

因为<<,所以<<,月销售量为,

商品的月销售额等于（）,在（）上单调递增,（）<;

≤,即≤,

因为<<,所以≤<,月销售量为,

商品的月销售额（）,

′（）（）,

所以函数在（）上单调递增,（）上单调递减时,取得最大值>,

所以商品的价格为百元时,该商品的月销售额最大.

（）设（）（）（）,

因为>,所以（）在区间（）上是增函数,

若该商品的均衡价格不低于百元,即函数（）在区间）上有

零点,

所以（）≤（）>,

所以<≤.

好题天天练

.（·青岛质检）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数,若牛奶在℃的冰箱中,保鲜时间约为,在℃的冰箱中,保鲜时间约为,那么在℃时保鲜时间约为（　　）

（）（）（）（）

解题关键:

根据已知条件求得,然后再进行计算.

解析:

由得,

当℃时,保鲜时间为··（）.

.（·龙岩高三模拟）某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙

壁,当砌新墙所用材料最省时,堆料场的长和宽的比为（　　）

（）（）（）（）

解题关键:

本题利用数形结合求解.

解析:

设宽为,长为,则,

用料为（）（）（）≥（当且仅当时取“”）,

所以.