高三数学第一轮复习阶段性测试题9.docx
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高三数学第一轮复习阶段性测试题9
阶段性测试题九（立体几何）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
）
1．（2018·北京朝阳区期末）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥mB．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α.
[答案] C
[解析] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若取平面ABCD为β，平面ADD1A1为α，则交线AD为m，取BB1为l，由此可知A错；若取平面ADD1A1为α，BB1、BC分别为l，m，可知B与D都错误，故选C.
2．（文）（2018·宁波期末）设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是（ ）
A．x，y，z为直线 B．x，y，z为平面
C．x，y为直线，z为平面D．x为直线，y，z为平面
[答案] C
[解析] 由正方体交于同一顶点的三条直线（或三个平面）知，x、y、z都是直线（或都是平面）时，该命题都是假命题；当x为直线，y、z为平面时，可能有x在平面y内，故D错，因此选C.
（理）（2018·山东淄博一中期末）已知三条直线a，b，c和平面β，则下列推理中正确的是（ ）
A．若a∥b，b⊂β，则a∥β
B．若a，b与β所成角相等，则a∥b
C．若a⊂β，b∥β，a，b共面，则a∥b
D．若a⊥c，b⊥c，则a∥b
[答案] C
[解析] A中直线a可能在β内；如图可知B错误；由正方体中交于同一顶点的三条棱所在直线知D错误；C中，∵b∥β，∴b与β无公共点，∵a⊂β，∴b与a无公共点，∵a，b共面，∴a∥b，故选C.
3．（文）（2018·日照调研）已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出四个命题：
①若α∥β，则l⊥m； ②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m;④若l∥m，则α⊥β.
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] C
[解析]
⇒l⊥m，故①真；
⇒β⊥α，故④真；如图α∩β＝a，m⊂β，m∥a，l⊥α可知l⊥m，因此②假；上图中当α⊥β时，可知③假．
（理）（2018·合肥质检）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b
B．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥β
C．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b
D．若a∥α，a∥β，则α∥β
[答案] D
[解析] 由线面平行的性质和线面垂直的性质知A正确；∵a⊥α，b∥a，∴b⊥α，又b⊂β，∴α⊥β，故B正确；∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，又b⊥β，∴a∥b，故C正确，故选D.
4．（文）（2018·合肥市质检）下图是一个几何体的三视图，其中正（主）视图和侧（左）视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（ ）
A．6πB．12π
C．18πD．24π
[答案] B
[解析] 由三视图知，该几何体是两底半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积S＝π（1＋2）×4＝12π.
（理）（2018·北京西城区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝
，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（ ）
A．A′C⊥BD
B．∠BA′C＝90°
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
D．四面体A′－BCD的体积为
[答案] B
[解析] ∵AB＝AD＝1，BD＝
，∴AB⊥AD，
∴A′B⊥A′D，∵平面A′BD⊥平面BCD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，∴A′B⊥平面A′CD，
∴A′B⊥A′C，即∠BA′C＝90°，∴选B.
5．（2018·北京丰台区期末）若一个螺栓的底面是正六边形，它的正（主）视图和俯视图如图所示，则它的体积是（ ）
A.
＋
πB．3
＋
π
C．9
＋
πD．9
＋
π
[答案] C
[解析] 由三视图知，该螺栓的上部是一个底半径为0.8，高为2的圆柱，下部是底面为边长为2，高为1.5的正六棱柱，故体积V＝π×0.82×2＋6×
×22×1.5＝9
＋
，故选C.
6．（2018·北京朝阳区期末）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（ ）
A．有无数条B．有2条
C．有1条D．不存在
[答案] A
[解析] ∵平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1且不重合，∴两平面有条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条．
7．（文）（2018·山西太原调研）已知平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项正确的是（ ）
A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线
C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α
[答案] C
[解析] 如图
（1）可知A错；如图
（2）可知B错；如图（3），m⊥α，n是α内的任意直线，都有n⊥m，故D错．
∵n∥α，∴n与α无公共点，
∵m⊂α，∴n与m无公共点，
又m、n共面，∴m∥n，故选C.
（理）（2018·辽宁丹东四校联考）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝
，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] A
[解析] ∵AB＝1，AC＝2，BC＝
，
∴AC2＝BC2＋AB2，∴AB⊥BC，
又三棱柱为直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，
以B为原点，BC、BA、BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0,1,0），C（
，0,0），设B1（0,0，a），则
C1（
，0，a），∴D
，E
，
∴
＝
，平面BB1C1C的法向量
＝（0,1,0），
设直线DE与平面BB1C1C所成的角为α，则
sinα＝
＝
＝
，∴α＝
.
8．（2018·沈阳二中阶段检测）已知长方体ABCD－A′B′C′D′，对角线AC′与平面A′BD相交于点G，则G是△A′BD的（ ）
A．垂心B．外心
C．内心D．重心
[答案] D
[解析] 设AB′与A′B相交于点E，则在平面AB′C′D中，DE与AC′必相交，则交点为G，∴G点在△A′BD的中线DE上，同理可知G点在BD边的中线上，∴G为△A′BD的重心．
9．（2018·宁夏银川一中检测）如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（ ）
[答案] B
[分析] 可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断．
[解析] 容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象上就是其切线的斜率逐渐减小，故选B.
[点评] 本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制，重点是对函数变化率的考查，这种在知识交汇处命制题目考查对基本概念的理解与运用的命题方式值得重视．
10．（2018·宁夏银川一中检测）设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）
①若l⊥α，则l与α相交
②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[分析] 根据空间线面位置关系的有关定理逐个进行判断．
[解析] 由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于②中不能确定直线m，n是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性．∵l∥m，m∥n，∴l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α，故③正确；又∵l∥m，m⊥α，∴l⊥α，又n⊥α，∴l∥n，∴④正确，故选C.
[点评] 把空间平行关系和垂直关系的相关定理中抽掉一些条件或添加限制条件来考查考生对空间点线面位置关系概念、定理掌握的熟练程度是常见命题方式．解答这类题的关键是对比定理逐个条件进行检查．解答方法常常是直接推证或特例反驳．
11．（2018·江西南昌调研）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱A1D1始终与水面EFGH平行；
④当E∈AA1时，AE＋BF是定值．
其中正确说法是（ ）
A．①②③B．①②④
C．②③④D．①③④
[答案] D
[解析] 由于容器一边BC固定于水平地面上，所以随着容器倾斜度的变化，水面四边形EFGH的一组对边EH和FG始终与BC平行且相等，而另一对边EF与GH是变化的，因此A1D1与水面平行，且水的部分是一个棱柱（BC为垂直于两底的侧棱），由于水的体积不变，故棱柱的底面面积不变，因此AE＋BF为定值．
12．（文）（2018·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考）一个体积为12
的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧（左）视图的面积为（ ）
A．12B．8
C．8
D．6
[答案] D
[解析] 设此三棱柱底面边长为a，高为h，则由图示知
a＝2
，∴a＝4，∴12
＝
×42×h，∴h＝3，
∴侧（左）视图面积为2
×3＝6
.
（理）（2018·黑龙江哈六中期末）棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则过E，F两点的直线被球O截得的线段长为（ ）
A.
aB．2a
C.
aD.
a
[答案] C
[解析] 过直线EF与球心作截面，则截面圆半径r＝
a，球心到EF的距离为
，∴过E、F两点的直线被球O截得的线段长为2
＝
a.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）
13．（2018·黑龙江哈六中期末）已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．
[答案] 2
[解析] ①将α，β换作直线a，b，命题为“a∥b且a⊥γ⇒b⊥γ”，显然这是一个真命题；②将α，γ换作直线a，c，命题为“a∥β，且a⊥c⇒c⊥β”，这是一个假命题；③将β，γ换成直线b，c，命题为“b∥α，且c⊥α⇒b⊥c”，这是一个真命题，故填2.
14．（2018·黑龙江哈六中期末）点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A－D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确命题的序号是________．
[答案] ①②④
[解析] ①∵BC1∥AD1，∴BC1∥平面AD1C，
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