信息安全数学基础习题集一.docx

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信息安全数学基础习题集一

信息安全数学基础----习题集一

一、填空题

1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]=.

2、求欧拉函数

=.

3、设

，则模

的最小非负简化剩余系

{}.

4、设

，则模

的所有平方剩余=.

5、设

，则模

的所有原根个数=.

6.设m，n是互素的两个正整数，则φ（mn）=________________。

7.设m是正整数，a是满足

的整数，则一次同余式：

ax≡b（modm）有解的充分必要条件是_________________。

8.设m是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m，使得aa’≡1（modm）。

9.设

如果同余方程

__________,则

叫做模

的平方剩余.

10.设

则使得

成立的最小正整数

叫做

对模

的__________.

二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“

”，错的画“

”）

1、若

是任意正整数,则

.（）

2、设

是

个不全为零的整数，则

与

|

|,|

|,…,|

|的公因数相同（）

3、设

是正整数,若

则

或

.（）

4、设

为正整数,

为整数,

且

则

.（）

5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系.（）

6、设

是素数,模

的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等.（）

7、设

为奇素数,模

的平方剩余和平方非剩余的数量各为8.（）

8、一次同余方程

有解.（）

9、设

是素数,

是模

的原根,若

则

是

的整数倍.（）

10、设

则

…,

构成模

的简化剩余系.（）

11.

则

.（）

12.设

是两个互素正整数,那么

则

.（）

13.设m是一个正整数,a,b,d都不为0，若ad≡bd（modm）。

则a≡b（modm）。

（）

14.设

为正整数,a是满足

的整数，b为整数.若

为模

的一个简化剩余系,则

也为模

的一个简化剩余系.（）

15.p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余.（）

16.设

为正整数,设

则

是模

的平方剩余的充要条件是:

.（）

17.3是模7的原根。

（）

18.设

为正整数,若

，则

.（）

19.整数集关于整数的乘法构成群。

（）

20.适当定义加法和乘法，集合{0,1}可以构成一个有限域。

（）

三、单项选择题（把答案写在题目后面的括号中）

1.设

与

是两个整数,则存在整数

使得

，下面关于

与

线性组合描述错误的是：

（）

A.整数

的取值仅有一组唯一的值；

B.整数

的线性和所能表示的最小的正整数是

最大公因数，即

；

C.

的倍数也可以用

的线性和表示；

D.整数

，可以使用辗转相除法（欧几里得算法）反推得到。

2、下面关于整除的描述错误的是：

（）

A.±1是任何整数的因子；

B.设

（整数集合）,

则

；

C.0是任何整数的倍数；

D.设

若

，则

3、下面的说法正确的是：

（）

A.给定一个正整数

和两个整数

，若

，则

B.设

为整数,若

，则

；

C.设

是两个正整数,若

分别遍历

的完全剩余系,则

遍历模

的完全剩余系；

D.设

为素数,

为任意正整数,则

4.下面哪个集合是模12的简化剩余系？

（）。

A.1,3,5,7B.1,5,7,9,

C.1,5,7,11D.3,5,7,11。

5.一次同余方程

的解数是（）

A.3B.2C.1D.0

6、下面的说法正确的是：

（）

A.

有解；

B、一次同余方程

，等价于求解一次同余方程组:

的解；

C、一次同余方程组

有且仅有唯一的解；

D.设

是正整数,对于一次同余方程组

若

则同余方程组一定有解。

7、设

是奇素数,

则下列说法错误的是:

（）

A.如果

是模

的平方剩余,

是模

的平方非剩余,则

是模

的平方剩余.

B.如果

是模

的平方剩余,

是模

的平方非剩余,则

是模

的平方非剩余.

C.如果

都是模

的平方剩余,则

是模

的平方剩余.

D.如果

都是模

的平方非剩余,则

是模

的平方剩余.

8、下面说法，错误的是（）

A、设p为奇素数，设

若

，方程

方程肯定无解；

B、设

是奇素数,整数

两两互素.若

既是模

的平方剩余也是模

的平方剩余，则

不是模

的平方剩余；

C、设

是奇素数,整数

两两互素.若

既是模

的平方剩余也是模

的平方剩余,

既不是模

的平方剩余也不是模

的平方剩余，则

不是模

的平方剩余；

D、设

是奇素数,

只有

）和

同时有解，对于二次方程

才有解。

9、已知5对模17的阶为16,5×5≡8（mod17）,求

的值是（）

A、2B、4C、6D、8

10、下面说法错误的是（）

A、设

是一个正合数,

则集合

对于乘法:

构成一个交换群；

B、设

是一个正整数,令

即

是所有整数的集合.对于通常意义的加法（+），

是一个交换群；

C、设

是一个素数,

是模

的最小非负简化剩余系.则集合

对于乘法:

构成一个交换群；

D、设

是一个奇素数,

则集合

对于乘法:

构成一个有限域。

11．设a,b,c是三个整数，c≠0且c|a，c|b，如果存在整数s,t,使得sa＋tb＝1，则（）。

A.（a,b）=cB.c＝1

C.c＝sa＋tbD.c＝±1

12.设a,b,c是三个不全为零的整数。

如果a=bq+c,其中q是整数，则有（）。

A.（a,b）=（q,c）B.（a,b）=（b,c）

C.（a,b）=cD.（a,b）=（a,c）

13.下面哪个集合不是模5的一个完全剩余系？

（）。

A.1,3,5,7,9B.2,4,6,8,10

C.0,1,2,11,13D.0,1,2,13,19。

14.下面哪个集合是模18的简化剩余系？

（）。

A.-1,5,7,11,13,17

B.-1,5,9,11,13,15,17

C.-5,1,5,7,11,17

D.1,3,5,7,9.11,13,17。

15.满足56≡18（modm）的正整数m（m>2）的个数是（）。

A.1B.2

C.4D.5

16.30模23的逆元是（）。

A.23B.19

C.10D.4

17.下列一次同余式无解的是（）。

A.12x≡3（mod16）

B.8x≡9（mod19），

C.78x≡30（mod98）

D.111x≡6（mod51）。

18.下面哪个是模13的平方剩余?

（）。

A.5B.10

C.11D.7

19．下面各组数中，均为模14的原根的是（）。

A.2,3,4,5B.3,6,8,10

C.9,11,13D.3,5

20.定义运算

：

下面哪个集合构成一个群.（）

A.{1,2,3,4}B.{1,3,5,7}

C.{1,,5,7,9}D.{1,5,7,11}

四、简答题

1.设

求整数

使得

.（给出具体求解过程）

2.设

为正整数,则

的充分必要条件是

.给出充分性的证明.

3.计算71005（mod15）。

（给出具体求解过程，提示：

可用欧拉定理或也可中国剩余定理进行求解）

4.求7模26的阶ord26（7），并给出所有模26的阶为ord26（7）的整数g（1

（给出具体求解过程）

5.判断同余方程x2≡3（mod11）的解的情况。

（给出具体求解过程）

6.设

是一个正合数,

令

也即模

的最小非负简化剩余系.则集合

对于乘法:

是否构成一个交换群？

（请给出详细求解判断过程）

7.a＝42，b＝164，求a和b的最大公因子（a，b）及整数x和y，使

（a,b）＝ax＋by.

8.证明：

设

为正整数,

为整数,

.若

则

.

9.结合欧拉定理和模重复平方算法（或者平方乘算法）计算62025（mod41）

10.写出模17的所有平方剩余。

11.计算5模19的指数ord19（5）。

12.设不可约多项式

，集合G={

}.若定义乘法

:

，根据群的定义，判断{G,

}是否构成一个群。

五、综合题（备注，每题必须给出具体求解过程）

1.解一次同余方程175x≡41081×7（mod133）.

2.由GF

（2）上的4次不可约多项式

构成有限域

，

中16个域元素，0除外，其余元素可用

的幂次方来表示:

（1）完成上面的填空（4分）。

.

（2）已知

是

中的多项式并根据上面的结果计算

（1）求

（2）求

（3）求

（4）求

3、求解一次同余方程84x+1≡64（mod371）.

信息安全数学基础----习题集一答案

第一题　填空

1、1082、8003、{1,2,4,5,7,8}4、{1,3,4,5,9}5、4

6、φ（m）φ（n）7、（a,m）|b8、（a,m）=19、有解10、阶

二、判断题

1—5：

×√××√6-10：

×√×√×

11—15：

√√××√16-20：

×√√×√

三、单项选择题

1-5：

ACBCD6-10：

CABDA

11-15：

DBCCB16-20：

CABDD

四、简答题

1、101=15

6+1115=11+411=4

2+34=3

1+1

因此（a,b）=（101,15）=1

1=4-3=4-（11-4

2）=4

-11=（15-11）

-11=15

=15

因此s=27，t=-4

备注：

s=27t=-4不是唯一答案，只要满足

都正确

2、证明:

充分性.由条件

，证明

设

则存在整数

使得

从而

.

3、解：

71005（mod15），

已知（7,15）=1，由欧拉定理

，

因此71005

（mod15）

（mod15）

（mod15）

（mod15）

因此71005

mod15）