信息安全数学基础习题集一.docx

1、信息安全数学基础习题集一 信息安全数学基础-习题集一一、 填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数a,b,c= .2、求欧拉函数= .3、设，则模的最小非负简化剩余系 .4、设，则模的所有平方剩余= .5、设 ，则模的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，则(mn)=_。7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：axb (mod m)有解的充分必要条件是_ 。8. 设 m 是一个正整数，a是满足_的整数，则存在整数a，1am ，使得aa1 (mod m)。9. 设, 如果同余方程_, 则叫做模的平方剩余.10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对

2、模的_.二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”）1、若是任意正整数, 则. （ ） 2、设是个不全为零的整数，则与, |, |, |的公因数相同 （ ） 3、设是正整数, 若, 则或. （ ）4、设为正整数, 为整数, , 且, 则 . （ ）5、1,-3,8,4,-10是模5的一个完全剩余系. （ ）6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （ ）7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （ ）8、一次同余方程有解. （ ）9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍. （ ）10、设, 则, , 构成模的简化剩余系. （

3、 ）11. , 则. （ ）12. 设是两个互素正整数, 那么, 则 . （ ）13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若adbd(modm)。则ab(mod m)。（ ）14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （ ）15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （ ）16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条件是: . （ ）17. 3是模7的原根。 （ ）18. 设为正整数, 若，则. （ ）19. 整数集关于整数的乘法构成群。 （ ）20. 适当定义加法和乘法，集合0,1可以构成一个有限域

4、。 （ ）三、单项选择题（把答案写在题目后面的括号中）1. 设与是两个整数, 则存在整数, 使得，下面关于与线性组合描述错误的是：（ ）A. 整数的取值仅有一组唯一的值；B. 整数的线性和所能表示的最小的正整数是最大公因数，即；C. 的倍数也可以用的线性和表示；D. 整数，可以使用辗转相除法(欧几里得算法)反推得到。2、下面关于整除的描述错误的是：（ ）A. 1是任何整数的因子；B. 设（整数集合）, , , 则；C. 0是任何整数的倍数；D. 设, 若, ，则, 3、下面的说法正确的是：（ ）A. 给定一个正整数和两个整数，若，则B. 设为整数, 若，则；C. 设是两个正整数, 若分别遍历的

5、完全剩余系, 则遍历模的完全剩余系；D. 设为素数, 为任意正整数, 则4. 下面哪个集合是模12的简化剩余系？ ( )。 A. 1,3,5,7 B. 1,5,7,9,C. 1,5,7,11 D. 3,5,7,11。 5. 一次同余方程的解数是 （ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6、下面的说法正确的是： （ ）A. 有解；B、一次同余方程，等价于求解一次同余方程组: 的解；C、一次同余方程组 有且仅有唯一的解；D. 设是正整数, 对于一次同余方程组, 若, 则同余方程组一定有解。7、设是奇素数, , ,则下列说法错误的是: （ ）A. 如果是模的平方剩余, 是模的平方非剩余, 则是

6、模的平方剩余.B. 如果是模的平方剩余, 是模的平方非剩余, 则是模的平方非剩余.C. 如果都是模的平方剩余, 则是模的平方剩余.D. 如果都是模的平方非剩余, 则是模的平方剩余.8、下面说法，错误的是（ ）A、设p为奇素数，设, 若， 方程 方程肯定无解；B、设是奇素数, 整数两两互素. 若既是模的平方剩余也是模的平方剩余，则不是模的平方剩余；C、设是奇素数, 整数两两互素. 若既是模的平方剩余也是模的平方剩余, 既不是模的平方剩余也不是模的平方剩余，则不是模的平方剩余；D、设是奇素数, , 只有)和同时有解，对于二次方程才有解。9、已知5对模17的阶为16, 558(mod17), 求的值

7、是（ ）A、2 B、4 C、6 D、810、下面说法错误的是（ ）A、设是一个正合数, , 则集合对于乘法: 构成一个交换群；B、设是一个正整数, 令, 即是所有整数的集合. 对于通常意义的加法(+)，是一个交换群；C、设是一个素数, , , 是模的最小非负简化剩余系. 则集合对于乘法:构成一个交换群；D、设是一个奇素数, , 则集合对于乘法: 构成一个有限域。11设a, b, c是三个整数，c0且c|a，c|b，如果存在整数s, t, 使得satb1，则 ( ) 。 A. (a, b)= c B. c1 C. csatb D. c1 12. 设a, b, c是三个不全为零的整数。如果 a =

8、 bq + c, 其中q是整数，则有( )。 A. (a, b) = (q, c) B. (a, b) = (b, c) C. (a, b) = c D. (a, b) = (a, c)13. 下面哪个集合不是模5的一个完全剩余系？ ( ) 。 A. 1, 3, 5, 7,9 B. 2,4,6,8,10C. 0, 1, 2,11,13 D. 0, 1, 2, 13, 19。 14. 下面哪个集合是模18的简化剩余系？ ( )。 A. -1, 5, 7, 11, 13, 17 B. -1, 5, 9, 11, 13, 15,17C. -5, 1, 5, 7, 11,17 D. 1, 3, 5,

9、7, 9.11, 13, 17。 15. 满足5618 (modm)的正整数m(m2)的个数是( )。 A. 1 B. 2 C. 4 D. 516. 30模23的逆元是 ( ) 。 A. 23 B. 19 C. 10 D. 4 17. 下列一次同余式无解的是( )。 A. 12x3（mod 16） B. 8x9（mod 19），C. 78x30（mod 98） D. 111x6（mod 51）。18. 下面哪个是模13的平方剩余? ( )。 A. 5 B. 10 C. 11 D. 7 19下面各组数中，均为模14的原根的是( )。 A. 2, 3, 4, 5 B. 3, 6, 8, 10 C.

10、 9, 11, 13 D. 3, 5 20. 定义运算：, 下面哪个集合构成一个群.（ ）A. 1,2,3,4 B. 1,3,5,7 C. 1,5,7,9 D. 1,5,7,11四、简答题1. 设,求整数, 使得. （给出具体求解过程）2. 设为正整数, 则的充分必要条件是. 给出充分性的证明.3. 计算71005(mod 15)。（给出具体求解过程，提示：可用欧拉定理或也可中国剩余定理进行求解）4. 求7模26的阶ord26(7)，并给出所有模26的阶为ord26(7)的整数g（1g26）。（给出具体求解过程）5. 判断同余方程x23(mod 11)的解的情况。（给出具体求解过程）6. 设是

11、一个正合数, , 令, 也即模的最小非负简化剩余系. 则集合对于乘法: 是否构成一个交换群？（请给出详细求解判断过程）7. a42，b164，求a和b的最大公因子（a，b）及整数x和y，使（a, b）axby.8. 证明：设为正整数, 为整数, . 若, 则.9. 结合欧拉定理和模重复平方算法(或者平方乘算法)计算62025（mod41）10. 写出模17的所有平方剩余。11. 计算5模19的指数ord19(5)。12. 设不可约多项式，集合G=, , . 若定义乘法:，根据群的定义，判断G,是否构成一个群。五、综合题（备注，每题必须给出具体求解过程）1. 解一次同余方程 175x410817

12、(mod 133).2. 由GF(2)上的4次不可约多项式构成有限域，中16个域元素，0除外，其余元素可用的幂次方来表示: , , , , , （1）完成上面的填空（4分）。 . (2)已知是中的多项式并根据上面的结果计算（1） 求 （2） 求 （3） 求 （4） 求 3、求解一次同余方程 84x+164(mod 371).信息安全数学基础-习题集一答案第一题填空1、108 2、800 3、1,2,4,5,7,8 4、1,3,4,5,9 5、46、(m)(n) 7、(a,m)|b 8、(a,m)=1 9、有解 10、阶二、判断题15： 6-10： 1115： 16-20： 三、单项选择题1-5

13、：ACBCD 6-10：CABDA11-15：DBCCB 16-20：CABDD四、简答题1、101=156+11 15=11+4 11=42+3 4=31+1 因此(a,b)=（101,15）=1 1=4-3=4-(11-42)=4-11=(15-11)-11=15=15 因此s=27 ，t=-4 备注：s=27 t=-4不是唯一答案，只要满足 都正确 2、证明: 充分性. 由条件 ，证明 设, 则存在整数, 使得, 从而. 3、解：71005(mod 15)，已知（7,15）=1，由欧拉定理， 因此71005 (mod 15) (mod 15) (mod 15) (mod 15) 因此 71005mod 15)