二次根式典型分类练习题.docx
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二次根式典型分类练习题
二次根式》分类练习题
知识点一：
二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：
形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
【典型例题】
例1】下列各式1）
2）5,3）x2
5
122
2,4）4,5）（）2,6）1a,7）a22a1，
3
其中是二次根式的是
填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（
B、10
a
a2b、
C、
2、在a、ab、x1、
a1
1x2
2
a1
中是二次根式的个数有
例2】若式子
1
有意义，则
x3
x的取值范围是
．[来源:
学*科*网Z*X*X*K]
举一反三：
1、使代数式
x3有意义的x的取值范围是（x4
A、x>3
B、x≥3
C、x>4
D、x≥3且x≠4
2、使代数式
2
x2x1有意义的x的取值范围是
3、如果代数式
P（m，n）的位置在（
1
m有意义，那么，直角坐标系中点mn
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
例3】若y=x5+5x+2009，则x+y=
解题思路：
式
子a
（a≥0）
x5
，
5x
0
x5，
0
y=2009，则x+y=2014
举一反三：
1、若x
11
x（x
y）2，则x－
y的值为（
）
A．－1
B．1
C．2
D．3
4
2、若x、y
都是实数，
且y=
2x3
32x
，求xy的值
a2a11
3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值
1已知a是5整数部分，b是5的小数部分，求a的值。
b2
若3的整数部分是a，小数部分是b，则3ab。
x21若17的整数部分为x，小数部分为y，求y的值.
知识点二：
二次根式的性质
【知识要点】
1.非负性：
a（a0）是一个非负数．
注意：
此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2.（a）2aa（0）．
注意：
此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全
平方的形式：
0
a（a）（a
2||a（a0）
注意：
3.
a（a0）
）字母不一定是正数．
1
3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4.公式2||a（a0）与20的区别与联系aaa（a0）（a）aa（）
（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2）（a）2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．
（3）a2和（a）2的运算结果都是非负的．
典型例题】
2
例4】若a2b3c4
0，
则abc
举一反三：
1、若m3（n1）20，则mn的值为
2、已知x,y为实数，且x13y220，则xy的值为（）
3、
B．
已知直角三角形两边
C．1
x、y的长满足｜
x2
D．–1
－4｜＋y25y6＝0，则第三边长为
2005
4
与a2b互为相反数，则ab__公式（a）2a（a0）的运用）
【例5】化简：
a1（a3）2的结果为（）
A、4—2aB、0C、2a—4D、4
举一反三：
242
1、在实数范围内分解因式:
x3=；m4m4x49,x222x2
2、化简：
3313
已知直角三角形的两直角边分别为
2和5，则斜边长为
（公式
2
aa
a（a0）的应用）a（a0）
已知x2,则化简x24x4的结果是
A.52a
B.
2aC.2a5
D.2a1
4、若a－3<0，则化简a26a
的结果是（
（A）－1
（B）1
（C）2a－7
（D）
7－
2a
5、化简
4x24x1
2
2x3得（
A）2
B）4x4
C）－2
D）4x4
A、x2
B、x2
C、x
2
D、2x
举一反三：
1、根式（3）2
的值是（）
A．-3
B．3或-3
C．3
D．
2、已知a<0，那么│a2－2a│
可化简为（
）
A．－a
B．a
C．
－3a
D．3a
3、若2a3
2
，则2a
2
a3
等于（
）
9
a22a1
6、当a4（a1）24（a1）2
7、已知a0，化简求值：
a－b│+（ab）2的结果
例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简
a
o
A．－2b
B．2b
C．－2a
D．2a
a1（a2）2
举一反三：
实数a在数轴上的位置如图所示：
化简：
例8】化简1xx28x16的结果是2x-5，则x的取值范围是（）
A）为任意实数
B）≤≤4（C）≥1
D）≤1
x
举一反三：
若代数式
1xx
（2a）2（a4）2的值是常数
x
2，则a的取值范围是（
Ａ．a≥4Ｂ．a≤2
Ｃ．2≤a≤4
Ｄ．a2或a4
例9】如果aa22a11，那么a的取值范围是（
D.a≤1
A.a=0B.a=1C.a=0或a=1
1
举一反三：
A.a
a
B.a
C.a
D.
2、把根号外的因式移到根号内：
当
b>0时，
1
；（a1）11
A.a0B.a
3;C.a
3;D.a3
、若
2
（x3）2x
30，则
x的取值范围是（
）
A）
x3（
B）x3
（C）x3
（D）x3
10】
化简二次根式
aa2
的结果是
a2
A）
a2
（B）a
2（C）a2
（D）a2
2
1、把二次根式a
1、如果aa26a93成立，那么实数a的取值范围是（
化简，正确的结果是（
知识点三：
最简二次根式和同类二次根式
知识要点】
1）最简二次根式的定义：
①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或
因式；分母中不含根号．
2、同类二次根式（可合并根式）
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
典型例题】
例11】在根式1）
xa2b2;2）5x;3）
x2xy;4）27abc，最简二次根式是（
A．1）2）
B．3）4）
C．1）3）
D．1）4）
解题思路：
掌握最简二次根式的条件。
举一反三：
1、
1
45a,30,2
2
22
40b2,54,17（a2b2）
中的最简二次根式是
C．
2、下列根式中，不是最简二次根式的是（
B．3
3、
列根式不是最简二次根式的是
A.
a21
B.2x1
C.2b
4
D.0.1y
4、
列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？
为什么？
3ab
（1）3a2b
（2）2
（3）x2y2
ab（ab）
（4）
（5）5
8xy
（6）8xy
5、把下列各式化为最简二次根式：
（1）12
（2）45a2b
（3）
2
x2y
x
例12】下列根式中能与3是合并的是（
A.8
B.27
C.25
1D.D.
1
22
3和18
B、和
33
C、
ab和ab
D、a1和a1
A、
举一反三：
列各组根式中，
是可以合并的根式是（
2、在二次根式：
①
12；②
23；③
2；④27中，能与3合并的二次根式
3
3、如果最简二次根式
3a8
与172a能够合并为一个二次根式
则a=
知识点四：
二次根式计算——分母有理化
知识要点】
1．分母有理化
定义：
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：
b等分
b，
①单项二次根式：
利用aaa来确定，如：
a与a，ab与ab，ab与a
别互为有理化因式。
②两项二次根式：
利用平方差公式来确定。
如ab与ab，ab与aaxby与axby分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】
例13】把下列各式分母有理化
1
48
2）
37
11
3）212
13
4）
例14】把下列各式分母有理化
1）
3）x
a2b5
4）
b2a5
例15】把下列各式分母有理化：
举一反三：
1）
53
33
3223
1）xy
（2）x23xyy2xy
2、把下列各式分母有理化：
3）ba2b2
ba2b2
小结：
一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；
②
与
知识点五：
二次根式计算——二次根式的乘除
知识要点】
1．积的算术平方根的性质：
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
ab=a·b（a≥0，b≥0）
2．二次根式的乘法法则：
两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a·b＝ab．（a≥0，b≥0）
3．商的算术平方根的性质：
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
a≥0，b>0）
4．二次根式的除法法则：
两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
注意：
乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还
要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
典型例题】
例16】化简
（1）916
（2）
1681（3）52
15
（4）
9x2y2（x0,y0）
（5）
1×623
2×
例17】计算
（1）
例18】化简：
（1）3
64
9a2
（a0,b0）（3）
9x
64y2
（x0,y0）
5x
（4）
169y2
（x0,y
0）
64
8
例19】计算：
（1）12
（2）31（3）11
328416
xx
x2
例20】能使等式
x2
成立的的x的取值范围是（
x2
x
0
A、
B、0
C、x2D、无解
）
知识点六：
二次根式计算——二次根式的加减
知识要点】
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方
数不变。
注意：
对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次
根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数
典型例题】
1
例20】计算
（1）3275
2
1
4）631273283482147
23247
例21】
（1）3xy
x2y2
4x4y
3）127a3
3
a108a
4
5）81a35aa34a5a
6）
xy
知识点七：
二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
知识要点】
1、确定运算顺序；
2、灵活运用运算定律；
3、正确使用乘法公式；
4、大多数分母有理化要及时；
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
典型习题】
－348）
3、1x2y·
x
）÷x2y
6
4、（722
23
）376
知识点八：
根式比较大小
知识要点】
1、根式变形法当a0,b0时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。
2、平方法当a0,b0时，①如果a2b2，则ab；②如果a2b2，则ab。
3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①ab
0ab；②ab0ab
a
ab
8、求商比较法它运用如下性质：
当
a>0，b>0
时，则：
①
典型例题】
例22】比较35与53的大小。
（用两种方法解答）
例23
21
】比较与的大小
3121
24
1514
比较1514与
1413的大小。
例25】比较
的大小
73与87
【例26】比较
的大小
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