二次项定理典型例题.docx
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二次项定理典型例题
典型例题一
例1在二项式i\1的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所
I2如丿
有有理项.
分析：
本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.
解：
二项式的展开式的通项公式为：
前三项的r=0,1,2.
得系数为：
t1=1,t2=C；—=—n,上3=C：
—二一n（n-1）,
2248
1由已知：
2t2=匕t3n=1n（n-1）,
8
n=8
通项公式为
彳16J3r
人1二=0,1,2…8,Tr1为有理项，故16-3r是4的倍数,
2
.r=0,4,8.
依次得到有理项为「=x4,T5=C；丄4x=色x,Tg=c8斗x，一x2.
24828256
说明：
本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项.类似地，C，233）100的展开式中有多少项是有理项？
可以通过抓通项中r的取值，得到共有
17项.
典型例题二
分析：
本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究.由于系数的绝对值都是正数，我们
可以用作商来研究系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的
大小变化抓系数的最大值.
30-5r
解：
展开式的通项公式为：
Tr■!
=C；0（-1）r2”
系数的绝对值为C；o2-，记为trd.
用前后两项系数的绝对值作商得：
tr羊IC；F2』徇10!
j!
（10_r）!
10_r
口_Cl。
2」_药_（r+1）!
（9_r）!
210!
一2（"1）
5
+1053
t5x
8
典型例题三
727
例3已知（1-2x）=a°-a2X亠a?
x，求：
（1）a1a2a^'■■-a7；
（2）a1■a3a5a7；（3）a0a2a4a6.
分析：
本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类
问题的结果•字母经常取的值有0、1、一1等.
解：
（1）取x=0可得a0=1,
取X-1得a0'a^■'a^-（-1）^-—1.
二a1a2■a3■…■a7=-2.
（2）取x=-1得a0_a1a2_a^a6_a^-3,
记A二a0a2a4a6,B=a1a3a5a7.
•••AB=T,A-B=37.
11
可得A（37-1）=1093,B（137）--1094
22
从而a1a3a5a7=-1094.
（3）从
（2）的计算已知a0a2a4a6=1093.
说明：
赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的
系数和大多数也能用此方法解决，女口：
（1x）5（1-2x）6的展开式中各项的系数和为多少？
可以看到（1•x）5（1-2x）6的展开式仍是多项式，令x=1，即得各项系数和为25（-1）6=32.再比如：
（1•x•x2）n=a。
•a/•a?
x2出…卷a2nX2n,则a0a2a^■亠a2n等于多少？
本题可以由取x=1得到各项系数和，取x=-1得到奇数
1
项系数和减去偶数项系数和，两式相加可得a0-a2川■…川-a2n=丄（3n•1）.此外，为了赋
2
值的需要，有时需要用一个新的二项式替换原来二项式，只要它们的系数等同即可•如：
（x2log2x）n的展开式中各项的系数和是多少？
我们可以用一个更简单的二项式（12x）n代替原来的二项式，它们的系数并不改变，令x=1便得各项系数和为3n.
典型例题四
1
例4
（1）求（1-x）3（1-x）10展开式中x5的系数；
（2）求（X—•2）6展开式中的常
x
数项.
分析：
本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，
（1）可以
视为两个二项展开式相乘；
（2）可以经过代数式变形转化为二项式.
解：
（1）（1-X）3（1-x）10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
310c55
用（1-X）3展开式中的常数项乘以（1X）展开式中的x5项，可以得到C10X;用
3104445
（1-x）展开式中的一次项乘以（1x）展开式中的X4项可得到（-3x）（C1°x）=-3Cwx；
3210
用（1-x）中的X乘以（1X）展开式中的
（C10
_C：
0-3C；0_U0）X5二_63x5.
（1丫
由Jx+〒展开式的通项公式
的常数项为C；2二924.
说明：
问题
（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决•这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决.
典型例题五
例5求（1x-x2）Q展开式中X5的系数.
分析：
（1・X-X2）6不是二项式，我们可以通过1•X-X2=（1x）-x2或1（x-x2）把它看成二项式展开.
解:
方法一：
（1x-X2）6=（1•x）-X26
=（1X6）-6（1x）5x215（1x）4x4一
其中含x5的项为c6x5-6C；x5•15C4X5=6x5.
含x5项的系数为6.
方法二：
（1x「x2）6二1（X「X2）F
=16（x-x2）15（x-x2）220（x-x2）315（x-x2）46（x-x2）5（x-x2）6
其中含X5的项为20（-3）x515（-4）x56x5=6x5.
二x5项的系数为6.
方法3:
本题还可通过把（1•x-X2）6看成6个1*x-X2相乘，每个因式各取一项相乘
555
可得到乘积的一项，x项可由下列几种可能得到.5个因式中取X,—个取1得到C6X.
23132
3个因式中取x,—个取-X2，两个取1得到C6C3X「X）.
1个因式中取X,两个取-X2，三个取1得到C6C5X（-x）.
合并同类项为（C；-clc；dd）x^6x5,x5项的系数为6.
典型例题六
例6求证：
（1）C1n-2C：
•ncn=n-2n~；
（2）cn••…•丄cn—（2ni-i）.
23n+1n+1
分析：
二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式
将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质cnc；-cn-cn=2n.
•••左边=nC0」+nC；」十…+ncni
=n（C0」•。
爲•C®=n・2nJk=：
右边.
（2）
11n!
n!
Rn_k!
（n-k）!
一（k-1）!
（n-k）!
丄，亠」=丄常
n1（k1）!
（n-k）!
n1
11（C；1C：
1…「cn1）（2n1-1）=右边.
n1n1
说明：
本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质
求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定
理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：
求
29C；0-28C9o•27C：
o•2C2。
10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与
10
（12）的展开式接近，但要注意：
（1-2）10=C；o-C1o2•Co22•Co29-C10-210
=121022c2o…•29c9o210C10
=12（102Co…28C：
o29C；0）
1
从而可以得到：
10•2C2028C；o•29c10二一（310-1）.
2
典型例题七
例7利用二项式定理证明：
32「2一8n-9是64的倍数.
分析：
64是8的平方，问题相当于证明32「2—8n-9是82的倍数，为了使问题向二项
式定理贴近，变形32n2=9n^（81）n1，将其展开后各项含有8k，与82的倍数联系起
来.
解：
•/32n2-8n_9
=9n1_8n_9=（81）n1_8n_9
=8n1C；8n…Cn?
82Cn.^i81-8n_9
=8n1-Cn,8n……Cn；828（n1）1-8n-9
-（8n1■C118n，•…Cn；）64是64的倍数.
说明：
利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数.
典型例题八
展开2x
j5
2x2丿-
分析
1：
用二项式定理展开式.
解法
180135405_243
xx48x732x10
2：
对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
占农（4/）5+C5（4x3）4（-3）+C；（4x3）3（-3）2
C；（4x3）2（—3）3C^Zx3）1—3）4C；（—3）5]
顽⑴荣-沁八576。
^432。
^62。
^2437）
说明：
记准、记熟二项式（a，b）n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件•对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.
典型例题九
例9若将（x•y•z）10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）•
A•11B•33C.55D•66
分析：
（x•y•z）10看作二项式[（xy）z]10展开.
解:
我们把x•y亠z看成（xy）z，按二项式展开，共有11“项”，即
10
（xyz）10二[（x-y）-z]10C；°（x•y）10上zk•
kz0
这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式（x・y）10“展开,
不同的乘积G0（x•y）10—zk（k=0,1，…，10）展开后，都不会出现同类项•
下面，再分别考虑每一个乘积G0（x•y）10—zk（k=0,1,,10）•
其中每一个乘积展开后的项数由（x•y）10°决定，
而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项•
故原式展开后的总项数为1110^66,
•••应选D•
典型例题十
「rn
1■
例10
x2的展开式的常数项为-20,求n•
x
11I/
；当x<0时，同理x+—-2丨=（-1）,
丿Ix丿I
后写出通项，令含x的幕指数为零，进而解出n•
人1=C；nCX）2n」（-1）r十1）（2；（沐）2心,
令2n-2r=0,得n=r,
•••展开式的常数项为（-。
七打；
同理可得，展开式的常数项为（-1）nC；n
无论哪一种情况，常数项均为（_1）nC2n
令（-1）nc2n=—20，以n=1,2,3，…，逐个代入，得n=3•
典型例题十
分析：
首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可.
31
3213x
解得0：
：
：
x：
：
：
85648•
9
•x的取值范围是仪0£xv8V648
9
•应填：
0：
x95648•
典型例题十二
例12已知（xlog2X・1）n的展开式中有连续三项的系数之比为1：
2：
3，这三项是第几
项？
若展开式的倒数第二项为112，求x的值.
解：
设连续三项是第k、k1、k2项（kN且k1）,则有
k（nk）
1
k
1
（n_k）（n_k+1）
一2
n—k+1
-2
k（k+1）2
（k+1）
2
1—
—
Ik（n—k）3
k（n—k）
3
=14,k=5所求连续三项为第5、6、7三项.
又由已知，c£xlog2X=112.即xlog2X=8.
两边取以2为底的对数，（log2x）2=3,log2x=-3,
x=23，或x=2".
说明：
当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项,根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.
典型例题十三
例13（12x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大
的项和系数最大的项.
分析：
根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项.
解：
T6二C；（2x）5,T7二C：
（2x）6，依题意有
C；25=C；26二n=8.
•-（12x）8的展开式中，二项式系数最大的项为T^Cs（2x）^1120x4.
设第r1项系数最大，则有
c8-2>c8A
c8-2r*
•••r=5或r=6（vr•二0,1,2,,8）.
•••系娄最大的项为：
T6=1792x5,T7-1792x6.
说明：
（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二
项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
（2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.
典型例题十四
例14设f（x^（1x）m（1x）n（m,n・N.）,若其展开式中关于x的一次项的系数
2
和为11,问m,n为何值时，含x项的系数取最小值？
并求这个最小值.
分析：
根据已知条件得到x2的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.
解：
cm'C；-n•m=11.
22
cmc
1/22、mn-11
（m-m-n_n）=
22
2
•n=5或6,m=6或5时，x项系数最小，最小值为25.
119911
说明：
二次函数y=（x）2的对称轴方程为x，即x=5.5，由于5、6距
11299
5.5等距离，且对n，N.,5、6距5.5最近，所以（n）的最小值在n=5或n=6
24
处取得.
典型例题十五
例15若（3x-1）^a7x7a6x^a1xa0,
求
（1）a1a2a7；
（2）a1a3asa7；（3）a°a?
a4.
解：
⑴令x=0，则a0=-1,
令x=1，则a7a^a1a^27=128.①
aia2肿-川6=129.
⑵令x--1，则一a7■a§-^5■84—83■a^—^a1a。
=（—4）②
由得：
印a3a5a?
=丄[128_（一4）7]=8256
22
a°a2a4'a6
（（a7a6•a5a4a3a2a「a0）
2
'（-a?
■a6-a5■a4-a3a2-a1■a。
）]
1[128（乂）7]=-8128.
说明：
（1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法.这是一种重要的方法，它适用于恒等式.
（2）一般地，对于多项式g（x）=（px-qT=a。
-a/-a?
x2亠'亠a・xn,g（x）的各项
的系数和为g
（1）:
1
g（x）的奇数项的系数和为-[g
（1）-g（-1）].
1
g（x）的偶数项的系数和为?
[g
（1）-g（-1）].
典型例题十六
例16填空：
（1）230—3除以7的余数;
（2）5555+15除以8的余数是
分析
（1）:
将230分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数.
解:
230-3=（23）10-3
=（8）10-3
=（7-1）1。
一3
^Cio710-Ci1q7^'■Cio7-Cw-3
=7[Ci°79Ci。
?
*«]一2
又•••余数不能为负数，需转化为正数
30
•-2-3除以7的余数为5
•••应填：
5
分析
（2）:
将5555写成（56-1）55，然后利用二项式定理展开.
解：
5555-15=（56_1）5515
=C55655_C555654C£56心15
5555
容易看出该式只有-C55*15=14不能被8整除，因此5515除以8的余数，即14除
以8的余数，故余数为6.•应填：
6.
典型例题十七
r
Pn
1n（n-1）（n-2）（n-r1）
r
r!
r
112r-1
苛（1一利呼"T）-
‘1+丄：
展开式的通项
112r_1
（1）
（1）
（1）•r!
n1n1n1
由二项式展开式的通项明显看出Tr,:
：
:
Tr/,
f1、f1、
所以1+丄丨_<1+丄|.
In.丿in+1.丿
说明：
本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明.
典型例题十八
25
例18在（x3x2）的展开式中x的系数为（）.
A.160B.240C.360D.800
分析：
本题考查二项式定理的通项公式的运用•应想办法将三项式转化为二项式求解.
解法1：
由（x23x2）5=[（x23x）2]5,
得Tk^C^x23x）5A2k
-C,k2k（x2-3x）5A.
再一次使用通项公式得，T「二C；<2kC；上3rx10'k」,
这里0_k_5,0_r_5-k.
令10—2k—r=1,即卩2kr=9.
所以r=1,k=4，由此得到x的系数为C5424240.
解法2：
由（x23x2）5二（x1）5（x2）5，知（xT）5的展开式中x的系数为C；,
常数项为1,（x2）5的展开式中x的系数为C；24，常数项为25.
因此原式中x的系数为C5425-C-42^240.
解法3：
将（x23x2）5看作5个三项式相乘，
展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取3x的系数3,
从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即C53C：
，24=240.
•••应选B.
典型例题十九
例佃已知--I-的展开式中X3的系数为9，常数a的值为
分析：
利用二项式的通项公式.
解：
在aX的展开式中，
（x\2I
9、r3
通项公式为「.=<9--,X二C；（-1）ra9」-2xyJ
\xjI\2\9」辽丿
39
根据题设，一r一9=3，所以r=8.代入通项公式，得T9ax3.
216
QQ
根据题意，-，所以a=4.
164
•••应填：
4.
典型例题二十
例20
（1）求证：
1-3C：
•32C；-33C；•（-1）n3n=（-2）n
⑵若（2x•..3）4=a°•qx-a2x2a3x3aqX4，求（a。
•a?
•a4）2-佝•a?
）2的值.
分析：
（1）注意观察（1x）^1cnxC'x^C；xn的系数、指数特征，即可通过
赋值法得到证明.⑵注意到（a0-a2a4）^（a1a3）2=（a0a1a2a3■a4）
（a^--a1a2-^3a4），再用赋值法求之.
解：
（1）在公式（1x）n=1CnxCn2x^'C>n中令X--3，即有
（1—3）n=1+C：
（—3）1+C：
（—3）2+…+cn（-3）n
=1-3C32C：
-」（-1）n3n
•等式得证.
⑵在展开式（2x•3）4=兔a1xa2x2a3x3a4x4中，
令x=1，得a0印a2a3a4二（2x.3）4；
令x--1，得a0-a1a2「a3a4=（「2.3）4.
•原式=（a0a1a2a3a4）（a0_a1a2_a3a4）
=（2；3）4（-2、3）4=1.
说明：
注意“赋值法”在证明或求值中的应用•赋值法的模式是，在某二项展开式，如
（a+bx）n=a°+4x+a2x2+…+anxn或（a+b）n=C：
an+cnanJLb+C：
a2b2
+…+C：
bn中，对任意的x^A（a,b^A）该式恒成立，那么对A中的特殊值，该工也
一定成立.特殊值x如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强.一般取x=0,1,-1较多•一般地，多项式f（x）的各项系数和为f
（1），奇数项系数和为
11
-[f
（1）-f（-1）],偶次项系数和为]f
（1）•f（-1）]•二项式系数的性质
C；+C：
+C：
+…+C：
=2n及C：
+C；+C：
+…+C；+C；+…=2n~*的证明就是赋值法应用的范例.
典型例题二^一
例21若N■，求证明：
32n3-24n•37能被64整除.
分析：
考虑先将32n3拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开.
解：
32n3-24n37
=332n2-24n37
=39n1-24n37
=3（81）n—24n37
=3[扩卅8耐+C：
+8n+略8n++C；+8+C：
：
]-24n+37
-3[8n1Cn18nW…（n1）81]-24n37
=3[8n1'Cn18n'Cn2,8n‘•一C；「82•（8n-9）]-24n-37
=382[8n」+Cn十8n，+C：
十8n，+…+C：
；]+3（8n+9）—24n+37
=364[8n°+ch8n'+C；十8心+…]+64,
•-8n_1,4十8心，8心，…均为自然数，
•••上式各项均为64的整数倍.
•••原式能被64整除.
说明：
用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的
和式，再展开证之•该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷.
典型例题二十二
2
例22已知（x33x2）n的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992•
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
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