二次项定理10大典型例题.docx
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二次项定理10大典型例题
（1）知识点的梳理
1．二项式定理：
（ab）nCn0anCn1an1bLCnranrbrLCnnbn（nN），
2．基本概念：
1二项式展开式：
右边的多项式叫做（ab）n的二项展开式
2二项式系数:
展开式中各项的系数Cnr（r0,1,2,,n）.
3项数：
共（r1）项，是关于a与b的齐次多项式
④通项：
展开式中的第r
1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项。
用
Tr1Cnranrbr表示。
3．注意关键点：
1项数：
展开式中总共有（n1）项。
2顺序：
注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
（ab）n与（ba）n是不同的。
3指数：
a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升
幂排列。
各项的次数和等于n.
4系数：
注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是
c0,c；,c2,C,,C；.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令a1,bx,（1x）nCn0Cn1xCn2x2LCnrxrLCnnxn（nN）
令a1,bx,（1x）nCn0Cn1xCn2x2LCnrxrL
（1）nCnnxn（nN）
5．性质：
①二项式系数的对称性：
与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
Cnk
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令a1,b1，则CcnCnC3L
（1）nc：
（11）n0，
从而得到：
c0C；CnCnrCnc3Lc；r1-2n2n1
2
4奇数项的系数和与偶数项的系数和:
（a
x）nc；a
n0
x
C；an
1
x
C；an
；；
x
L
n0n
Cnaxa°
1
a〔x
；1n
a；xLanx
（x
a）n昨
0n
x
C；ax
n1
C；a；
n；x
L
c：
n0n
axanx
L
；1
a；xa〔xa°
令x
1,则ao
a1
a；
asL
an
（a
1）n
①
令x
1,则ao
a1
a；
as
Lan
（a1）
n
②
①
②得,ao
a；
a4L
an
（a
1）n
（a
；
1）r
1
-（奇数项的系数和
）
①
②得,a1
as
a5L
an
（a
1）n
（a
；
1）n
（偶数项的系数和
）
5二项式系数的最大项：
如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式
n系数C2取得最大值。
如果二项式的幕指数n是奇数时，则中间两项的二项式系
n1n1
数Cn^,C王同时取得最大值。
6系数的最大项：
求（abx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开
式中各项系数分别
一Ar1A
为Ai,A2,,An1，设第r1项系数最大，应有，从而解出r来。
Ar1Ar2
（2）专题总结
专题一
题型一：
二项式定理的逆用；
例：
cnC26Cn62LC6n1.
解：
（16）nC0cn6Cn62c363LC：
6n与已知的有一些差距,
12
CnCn
6
6c362L
cn6C；62
nn1
Cn6
1122
6（Cn6Cn6L
C：
6n）
2（7j）
6
；L
C：
6
；1）
1
6）；1]
练：
cn3cn
9C3L3n
1n
cn
解:
设Sncn
3c；9c；
L3n
1cnCn，
则
3Sn
1
Cn3Cn
32C；33L
C：
3n
c0
cn
C；3
22
Cn3
C；33
LC：
3n1（13）n1
Sn
（13）n1
3
题型二：
利用通项公式求xn的系数；
例：
在二项式C；37）n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的
系数？
解:
Tr1C9（x2）9r（―严*Ct”，令183r9,则
r3
故X9的系数为c^）3|
题型三：
利用通项公式求常数项;
1
练：
求二项式（2x2x）6的展开式中的常数项?
解:
Tr1c；（2x）6r
（1）r（丄）r
（1）rC；26r』）rx62r，令62r0,得r3，所2x2
以T4
（1）3Ce20
练:
1
若（x2丄广的二项展开式中第5项为常数项，则n
x
解:
T5C：
（x2）n气1）4C：
x2n12，令2n120,得n6.
x
题型四：
利用通项公式，再讨论而确定有理数项;
例：
求二项式r.x3x）9展开式中的有理项？
1127r
解：
T「C^）9r（x^）r
（1）rC9x^，令fZ，（0r9）得r3或r9，
84x4，
27r
所以当r3时，丁4，T4
（1）3陵
当r9时，专3，%
（1）3c：
x3x3
题型五：
奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;
令X1,则有a。
aian0,①，令x1,则有
a。
aia2a?
（1）%2n,②
将①-②得：
2（a1a3a5）2,a1a3a52,
有题意得，2n125628，n9。
练：
若（3X5；2）"的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
0242r132r1n1n1
解：
QCnCnCnCnCnCnLCn2，21024，
解得n11
所以中间两个项分别为n6,n7，T51雳（£）6（再）5462x4，
61
T61462x
题型六：
最大系数，最大项；
1
例：
已知（寸2x）n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数
列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
解：
QC4C62C；,n221n980,解出n7或n14，当n7时，展开式
135
中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数C73（^423―，
T5的系数C；d）32470,当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8,
2
1
T8的系数C；4（—）7273432。
2
练：
在（ab）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：
二项式的幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2nTm，
1
2
也就是第n1项。
练：
在（X31）n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项2vx
是多少？
解：
只有第5项的二项式最大，则n15,即n8,所以展开式中常数项为第七
2
1
项等于C；（—）27
2
练：
写出在（ab）7的展开式中，系数最大的项？
系数最小的项？
解:
因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等,
且同时取得最大值，从而有T4C；a4b3的系数最小，T5C；a3b4系数最大。
2x）n的展开式中系数最大
1
若展开式前三项的二项式系数和等于79，求（1
的项?
在（1
2x）10的展开式中系数最大的项是多少?
解：
假设Tr1项最大，QTr1C；02rxr
Ar1
Ar1
rrr1r1
ArC102C102解得2（11r）r，化简得到
Ar2C1r02rC102r1,r12（10r）
6.3k
7.3，又Q0r10，r7,展开式中系数最大的项为
T8Ci7o27x715360X7.
题型七：
含有三项变两项；
例：
求当（X23x2）5的展开式中x的一次项的系数?
解法①：
（x23x2）5[（x22）3x]5，「1C/
（2）5"（3x）"，当且仅当r1
时，Tr1的展开式中才有X的一次项，此时Tr1T2c5（x22）43x，所以x得一次项为c5c：
243x
它的系数为C；C：
243240。
解法②：
（x23x2）5（x1）5（x2）5（C；x5C；x4chcfx5C；x42C；25）
故展开式中含x的项为C；xC；25C；x24240x，故展开式中x的系数
为240.
2）3的常数项?
rr
Tr1C6
（1）
x
6r1r6r
（门）
（1）C6
x
62r小
，得62r0,r3,
x2）3
（Jx|）6，设第r1项为常数项，则
』x|
33
T31
（1）C620.
题型八：
两个二项式相乘;
解:
Q（12x）3的展开式的通项是cm（2x）mcm2mXm
练:
求（13X）6（141）10展开式中的常数项.
Jx
时得展开式中的常数项为CbC；0C；C10C6C104246.
练：
已知（1xx2）（xA）n的展开式中没有常数项，nN*且2n8,则n.
X
解：
（xA）n展开式的通项为CnXnrX3rCnXn4r,通项分别与前面的三项相乘可得
X
n4r且n4r1且n4r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n5.
题型九：
奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
2006
a2006x
在（xJ2）2006的二项展开式中，含x的奇次幕的项之和为S,当x72时,S
解:
设（x2）2006=a0a/1a2x2a3x3L
2006
a2006x
①②得2@xa3X3asX5La2oo5X2005）（x2）2006（xx2）2006
（x、,2）2006展开式的奇次幕项之和为S（x）丄[（xX2）2006（x「2）2006]
2
32006
当x迈时，s（、、2）丸迈一2）2006（、,2、2）2006]23008题型十：
赋值法;
例：
设二项式（33x〔）n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为
x
s,若
ps272,则n等于多少？
解：
若（3Vxa。
a2Xa*x，有Pa。
a1an，
x
SCC2n，
令x1得P4n，又ps272,即4n2n272（2n17）（2n16）0解得
2n16或2n17（舍去），n4.
n
—1
练：
若3、..x的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？
练:
题型十一：
整除性;
由于各项均能被64整除32n28n9（nN
1、（x-1）11展开式中x的偶次项系数之和是
1024
1、设f（x）=（x-1）11，偶次项系数之和是f⑴f（°
（2）11/2
2
2、cn3C1n32c23ncn2、
2、4n
1
3、（35）20的展开式中的有理项是展开式的第项+
V5
3、3,9,15,21
4、（2x-1）5展开式中各项系数绝对值之和是
4、（2x-1）5展开式中各项系数系数绝对值之和实为（2x+1）5展开式系数之和,故令x=1，则所求和为35+
5、求（1+x+x2）（1-x）10展开式中x4的系数.
5、（1xx2）（1x）10（1x3）（1x）9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1
与（1-x）9展开式中的项C；（x）4作积，第一个因式中的一x3与（1-x）9展开式中的
项C9（x）作积，故x4的系数是C9C；135・
6、求（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）10展开式中x3的系数•
1011
6、（1x）（1x）2（1x）10（1x）[1（1生0=——区4，原式中
1（1x）x
x3实为这分子中的x4，则所求系数为
7、若f（x）（1x）m（1x）n（mnN）展开式中，x的系数为21，问m、n为
何值时，x2的系数最小？
7、由条件得m+n=21,x2的项为C：
x2C：
x2，则C；C2（n彳）2更9.因
24
n€N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10
和n=11时，x2的系数最小.
8、自然数n为偶数时，求证:
1
12Cn
C22C3C：
2cn1Cn32n1
8、原式=（C0
12n1n135n1nn1n1
CnCnCnCn丿（CnCnCnCn丿223・2
9、求8011被9除的余数.
9、8011（811）11C1°8111Cn8110畀°81181k1（kZ）,
••k€Z,/9k-1€Z,A8111被9除余8.
10、在（x2+3x+2）5的展开式中，求x的系数-
2555
10、（x3x2）（x1）（x2）
在（x+1）5展开式中，常数项为1，含x的项为C；5x,在（2+x）5展开式中，常
数项为25=32，含x的项为C；24x80x
•••展开式中含x的项为1（80x）5x（32）240x，此展开式中x的系数为240+
Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有
11、求（2x+1）12展开式中系数最大的项•
C；212r
睥212r
r113rrr1
C1221212
CJ1211r2C；2C121
31r
3
41,r4
3
11、设Tr+1的系数最大，则
•••展开式中系数最大项为第5项，T5=16C：
2X47920x4
10，展开式中系数最大的项为m有Tn（严1041.1016896x10
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