二次根式典型分类练习题.docx

1、二次根式典型分类练习题二次根式分类练习题知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才有意义【典型例题】例 1】 下列各式 1 ）, 2) 5,3) x251 2 22, 4) 4,5) ( )2 ,6) 1 a,7) a 2 2a 1 ，3其中是二次根式的是填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（B、10aa2b、C、2 、在 a 、 a b 、 x 1 、a 11 x22a1中是二次根式的个数有例2】若式子1有意义，则x3x 的取值范围是 来源 :学 * 科 *网 Z*X*X*K举一反三：1 、使代数

2、式x 3 有意义的 x 的取值范围是（ x4A 、 x3B、 x 3C、 x4D 、 x 3 且 x42、使代数式2x 2 x 1 有意义的 x 的取值范围是3、如果代数式P（ m ， n ）的位置在（1m 有意义，那么，直角坐标系中点 mnA 、第一象限B、第二象限C、第三象限D 、第四象限例 3 】 若 y= x 5 + 5 x +2009 ，则 x+y=解题思路：式子a( a0)x5，5x0, x 5 ，0y=2009 ，则 x+y=2014举一反三：1 、若 x1 1x (xy)2 ，则 xy 的值为()A 1B 1C 2D 342 、若 x、 y都是实数，且 y=2x 33 2 x，

3、求 xy 的值a 2a 1 13 、当 取什么值时，代数式 取值最小，并求出这个最小值1 已知 a 是 5 整数部分， b 是 5 的小数部分，求 a 的值。b2若 3 的整数部分是 a ，小数部分是 b ，则 3a b 。x 2 1 若 17 的整数部分为 x ，小数部分为 y ，求 y 的值 .知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性： a( a 0) 是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到2. ( a) 2 aa( 0) 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：0a ( a) (a2 | | a(a

4、 0)注意：3.a(a 0)字母不一定是正数13)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外4. 公式 2 | | a( a 0) 与 2 0 的区别与联系 a a a(a 0) ( a) aa( )( 1 ) a 2 表示求一个数的平方的算术根， a 的范围是一切实数(2) ( a ) 2表示一个数的算术平方根的平方， a 的范围是非负数( 3 ) a 2和 ( a) 2的运算结果都是非负的典型例题】2例 4 】 若 a 2b 3 c 40，则 a b c举一反三：1、若 m 3 ( n 1) 2 0，则 m n 的值为2、 已知 x, y 为实数，且 x 1

5、 3 y 2 2 0 ，则 x y 的值为( )3、B已知直角三角形两边C 1x、 y 的长满足x2D 1 4 y 2 5y 6 0 ，则第三边长为20054与 a 2b 互为相反数，则 a b _ 公式 ( a) 2 a(a 0) 的运用)【例 5】 化简： a 1 ( a 3) 2 的结果为( )A、 4 2a B、 0 C、2a 4 D 、 4举一反三：2 4 21 、 在实数范围内分解因式 : x 3 = ； m 4m 4 x4 9 , x 2 2 2x 2 2、 化简： 3 3 1 3已知直角三角形的两直角边分别为2 和 5 ，则斜边长为( 公式2a aa( a 0) 的应用) a(

6、a 0)已知 x 2 ,则化简 x2 4x 4 的结果是A. 5 2aB.2a C. 2a 5D. 2a 14 、若 a 3 0，则化简 a 2 6a的结果是(A) 1(B) 1(C) 2a 7(D)72a5、化简4x2 4x 122x 3 得(A) 2B) 4 x 4C) 2D ) 4x 4A 、x 2B、 x 2C 、 x2D 、2 x举一反三：1 、根式 ( 3)2的值是 ( )A-3B 3 或 -3C 3D 2、已知 a0 ，那么 a2 2a 可化简为()A aBaC 3aD 3a3 、若 2 a 32，则 2 a2a3等于()9a 2 2a 16 、当 a 0时，1； (a 1) 1

7、 1A.a 0B.a3;C.a3;D.a 3、若2( x 3) 2 x3 0 ，则x 的取值范围是（）A )x 3 (B) x 3( C) x 3(D ) x 310 】化简二次根式a a 2的结果是a 2A )a 2(B) a2(C) a 2(D)a 221 、把二次根式 a1、如果 a a2 6a 9 3 成立，那么实数 a 的取值范围是（化简，正确的结果是（知识点三：最简二次根式和同类二次根式知识要点】1)最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号2、同类二次根式(可合并根式)几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几

8、个二次根式就叫做同类二次根式，即可 以合并的两个根式。典型例题】例 11 】 在根式 1)x a2 b2 ;2) 5x ;3)x2 xy;4) 27abc ，最简二次根式是(A 1) 2)B 3) 4)C 1) 3)D 1) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1、145a , 30, 2222, 40b 2 , 54, 17( a 2 b 2 )中的最简二次根式是C2 、下列根式中，不是 最简二次根式的是(B 33、列根式不是最简二次根式的是A.a2 1B. 2 x 1C. 2b4D. 0.1y4、列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？3ab(1) 3a2 b (2) 2

9、(3) x 2 y 2a b( a b)(4)(5) 58xy(6) 8xy5 、把下列各式化为最简二次根式：(1) 12(2) 45a2 b(3)2x2 yx例 12 】 下列根式中能与 3 是合并的是 (A. 8B. 27C.2 51 D. D.1223 和 18B 、 和33C、a b 和 abD 、 a 1和 a 1A 、举一反三：列各组根式中，是可以合并的根式是(2、在二次根式：12 ；23 ；2 ； 27 中，能与 3 合并的二次根式33 、如果最简二次根式3a 8与 17 2a 能够合并为一个二次根式, 则 a=知识点四：二次根式计算分母有理化知识要点】1分母有理化定义： 把分母

10、中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式， 就说这两个代数式互为有理化因式。 有理化因式确定方法如下：b 等分b ，单项二次根式：利用 a a a 来确定，如： a 与 a ， a b 与 a b ， a b 与 a别互为有理化因式。两 项 二 次 根 式 ： 利 用 平 方 差 公 式 来 确 定 。 如 a b 与 a b ， a b与 a a x b y与 a x b y 分别互为有理化因式。3分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次

11、根式或有理式。【典型例题】例 13 】 把下列各式分母有理化1482 )37113 ) 2 12134 )例 14 】 把下列各式分母有理化1 )3)xa2 b54 )b2 a5例 15 】 把下列各式分母有理化：举一反三：1 )53333 2 2 31 ) x y(2 )x2 3xy y2 xy2 、把下列各式分母有理化：3 )b a2 b2b a2 b2小结： 一般常见的互为有理化因式有如下几类：与；与知识点五：二次根式计算二次根式的乘除知识要点】1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。ab = a b ( a0 ， b 0 )2二次根式的乘法法则：两个因式

12、的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 a b ab （a 0， b 0 ）3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a 0 ，b0 )4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。注意 ：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式典型例题】例 16 】化简(1) 9 16 (2)16 81 (3) 5 215(4)9x2 y2 ( x 0, y 0 )(5)1 6 2 32例 17 】计算（ 1 ）例 18 】 化简：(1)

13、 3649a2(a 0, b 0) (3)9x64y2( x 0, y 0)5x(4)169y2(x 0, y0)648例 19 】 计算： (1) 12 (2) 3 1 (3) 1 13 2 8 4 16xxx 2例 20 】能使等式x 2成立的的 x 的取值范围是（x 2x0A 、B、 0C、 x 2 D、无解）知识点六：二次根式计算二次根式的加减知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含

14、分母，不含能开得尽的因数典型例题】1例 20 】 计算（ 1） 32 75214 ) 63 1 27 3 28 3 48 2 1472 3 2 4 7例 21 】 ( 1 ) 3 x yx2 y 24x 4 y3 ) 1 27a33a 108a45 ) 81a3 5a a 3 4a5 a6 )xy知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；典型习题】3 48)3、 1 x2 y x) x2 y64、( 72 223)376知识点八：根式比较大小

15、知识要点】1、根式变形法 当 a 0, b 0 时，如果 a b ，则 ab ；如果 a b ，则 ab 。2、平方法 当 a 0, b 0 时，如果 a2 b2，则 a b ；如果 a2 b2，则 a b 。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：a b0 a b ； a b 0 a baab8、求商比较法 它运用如下性质：当a0 ， b0时，则：典型例题】例 22 】比较 3 5 与 5 3 的大小。（用两种方法解答）例 2321】比较 与 的大小3 1 2 12415 14比较 15 14 与14 13 的大小。例 25 】比较的大小73 与 87【例 26 】 比较的大小