二次项定理10大典型例题.docx
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二次项定理10大典型例题
（1）知识点的梳理
1.二项式定理：
（ab）nC°anC：
an1bLC；anrbrLC：
bn（nN）,
2.根本概念：
1二项式展开式：
右边的多项式叫做（ab）n的二项展开式.
2二项式系数：
展开式中各项的系数C；（r0,1,2,,n）.
3项数：
共（r1）项,是关于a与b的齐次多项式
4通项：
展开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项.用
Tr1C^a"「b「表小.
3.注意关键点：
1项数：
展开式中总共有（n1）项.
2顺序：
注意正确选择a,b,其顺序不能更改.（ab）n与（ba）n是不同的.
3指数：
a的指数从n逐项减到0,是降籍排列.b的指数从0逐项减到n,是
升籍排列.各项的次数和等于n.
4系数：
注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是
C：
Cn,C：
,C：
,C：
.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）.
2）:
二项式
系数和：
令ab
1
那么二
项式
系数的和
C0C1
CnCn
CnL
Cr
Cn
L况
2n,
变形式CnCn
lCn
L
况2n
1.
为
3奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
布—珈式宗押中今a1b1|T1[|p0p1p2「3|/i\ncnn
—I）a1,bI）人JCnCnCnCnL（I）Cn（II）
11|-A-t4旦车11.c0c2c4c2rc1c3Ic2r11cncn1
〃[叩彳寸王」-CnCnCnCnCnCnLCn22
2
4奇数项的系数和与偶数项的系数和：
（a
n
X）
C0anX0
C：
an
1
X
C2an
22
X
L
cn0n
Cnax
a°
1
a1x
2a?
x
n
LanX
（X
na）
C0a0Xn
C：
aX
n1
C%2
n2
X
L
cnn0
Cnax
nanX
L
2a?
x
1
a〔xa°
令X
1,
那么a.a1
a2
a3L
an
（a
1）n
①
令x1,那么a0a1a2a3Lan（a1）n②
①②得,a0a2a4Lan直卫（奇数项的系数和）
2
①②得,a1a3a5Lan（a（a"（偶数项的系数和）
2
5二项式系数的最大项：
如果二项式的籍指数n是偶数时,那么中间一项的二项式
n
系数cn2取得最大值.
如果二项式的籍指数n是奇数时,那么中间两项的二项式系数
n1n1
cn^’cF同时取得最大值.
6系数的最大项：
求（abx）n展开式中最大的项,一般采用待定系数法.设展开
式中各项系数分别
Ar1A,,__…,
为Ai,A2,,Ani,设第r1项系数取大,网有,从而解出r来.
AriAr2
（2）专题总结
/a厂\nc0c1厂c2厂2c3厂3]cn厂nr_--—（/rn冬Ar/r口匚
角牛：
（16）cncn6cn66Lcn6与的有一些差距,
八1八232nn11/八122nn、
cncn6cn6Lcn6（cn6cn6Lcn6）
6
1（c0c：
6c：
62L况6n1）1[（16）n1]：
（7n1）
666
练：
cn3c：
9c3L3n1cnn.
布忍•-t/J-oc1OC2cC3[On1八n[t]\\
用牛：
以Sncn3cn9^L3
题型二：
利用通项公式求xn的系数；
例：
在二项式〔£yx2〕n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有X3的项的系数？
解：
由条件知C：
245,即C：
45,n2n900,解得n9〔舍去〕或n10,
由
1210r2
TriC；0〔x4〕10r〔x3〕rC；0x'3「,由题意-r3,解得r6,43
那么含有x3的项是第7项T6-CiV3210x3,系数为210.
练：
求（x2—）9展开式中x9的系数？
2x
r,2、9r,1.rr182r,1.rrr,1.r183r
解：
Tr1C9（x）
（一）C9x（-）xC9
（一）x,令183r9,那么
2x22
r3
故x9的系数为C；
（1）3芝.
22
题型三：
利用通项公式求常数项;
1
例：
求二项式〔x2十〕10的展开式中的常数项?
2.x
5,一一,
—r0,得r8,所以
245
256
■—〕6的展开式中的常数项?
2x
r6rr,1.rrr6r,1、r62r
角牛：
Tr1C6（2x）
（1）（）
（1）C62（—）x,令62r0,侍r3,所
2x2
以T4
（1）3C320
练：
假设（x21）n的二项展开式中第5项为常数项,那么n.
42、n4,1、442n12
解：
T5Cn（x）（—）Cnx,令2n120,得n6.
x
题型四：
利用通项公式,再讨论而确定有理数项；
例：
求二项式5孜）9展开式中的有理项？
1127r
解：
Tr1C；（x2）9r（x3）r
（1）rC；x〒,令2^^Z,（0r9）得r3或r9,
所以当r3时,4,T4
（1）3C93x484x4,
6
当r9时27r3t
（1）3C9x3x3o
-=1r.,.,110（l）V/gxxo
6
题型五：
奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：
假设（J7品^）n展开式中偶数项系数和为256,求n.\x
令x1,那么有a.a1an0,①,令x1,那么有
a.a1a2a3
（1）nan2n,②
将①-②得：
2（a1a3a5）2,a1a3a52,
有题意得,2n125628,n9.
练：
假设（££）n的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项.
0242r132r1Qn1on1
用牛•QCnCnCnCnCnCnLCn2,21024,
解得n11
所以中间两个项分别为n6,n7,T51席（；巳）6（』5）5462x4,
1x,x
61
T61462x17
题型六：
最大系数,最大项；
一,1■一一一.一一一…—
例：
〔12x〕n,假设展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
解：
QC：
C62C；,n221n980,解出n7或n14,当n7时,展开式
中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数c3〔-〕42335,,
22
1O
T5的系数C7〔｛〕270,当n14时,展开式中二项式系数最大的项是丁8,
177
T8的系数C74〔—〕7273432.
2
练：
在〔ab〕2n的展开式中,二项式系数最大的项是多少？
解：
二项式的籍指数是偶数2n,那么中间一项的二项式系数最大,即T2nE1,
—1
2
也就是第n1项.
练：
在〔兰二〕n的展开式中,只有第5项的二项式最大,那么展开式中的常数项23x
是多少？
解：
只有第5项的二项式最大,那么n15,即n8,所以展开式中常数项为第七
2
项等丁C；〔；〕27
练：
写出在〔ab〕7的展开式中,系数最大的项？
系数最小的项？
解：
由于二项式的籍指数7是奇数,所以中间两项〔第4,5项〕的二项式系数相等,
且同时取得最大值,从而有T4C3a4b3的系数最小,T5C；a3b4系数最大.
练：
假设展开式前三项的二项式系数和等丁79,求〔12x〕n的展开式中系数最大
2
的项？
11
解：
由C：
cnCn79,解出n12,假设T「1项最大,Q〔12x〕0〔14x〕
Ar1ArC124C124,化简得到9.4r10.4,乂Q0r12,
Ar1Ar2CUrCi；^1
1_____
r10,展开式中系数最大的项为Tn,有£（；）12C*410x1016896x10
练：
在（12x）10的展开式中系数最大的项是多少？
解：
假设Tr1项最大,QTr1C1r02rxr
题型七：
含有三项变两项；例：
求当（x23x2）5的展开式中x的一次项的系数？
、,r9K9Kr9Rrr
解法①：
（x3x2）[（x2）3x],Tr1Cs（x2）（3x）,当且仅当r1
时,Tr1的展开式中才有x的一次项,此时Tr1T2C5（x22）43x,
所以x得一次项为C；C：
243x
它的系数为C5C44243240.
解法②：
2555_05_14_5_05_14_55
x3x2）（x1）（x2）（C5xC5xC5）（C5xC5x2C52）
故展开式中含x的项为C；xC525C；x24240x,故展开式中x的系数为
240.
练：
求式子（x12）3的常数项?
解：
（x
|2）3（J,/=p6,设第r1项为常数项,那么
_rr6r1r6_r62r
Tr1C6
（1）|x（口）
（1）C6x,得62r0,r3,
x
T31
（1）3C320.
题型八：
两个二项式相乘；
例：
求（12x）3（1x）4展开式中x2的系数.
解：
Q（12x）3的展开式的通项是C3（2x）mCT2mxm,
练：
求（1次）6（1二）10展开式中的常数项
x
其中m0,1,2,,6,n0,1,2,,10,当且仅当4m
m0,*m3,*m6
3n,即成或
n0,n4,n8,
时得展开式中的常数项为C；cSC3勇C；C1804246.
练：
C1c
（1xx）（x"）的展开式中没有吊数项,nN且2n8,那么n.x
解：
（x[y展开式的通项为cnxnrx3rcnxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得
x
rn4rrn4r1rn4r2-
Cnx,Cnx,Cnx,Q展开式中不含吊效项,2n8
n4r且n4r1且n4r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n5.
题型九：
奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
在（xJ2）2006的二项展开式中,含x的奇次蓦的项之和为S,当xJ2时,S
2006a2006x
角牟：
设（x拒）2006=a0a1x1a2x2a3x3L
①②得2（a〔xagx3a5x5La2005x2005）（xV2）2006（x^2）2006
（x回2006展开式的奇次籍项之和为S（x）1[（xV2）2006（xV2）2006]
32006
当x、.2时,S（.、2）-[C,2...2）2006C..2..2）2006]23008
22
题型十：
赋值法；
例：
设二项式〔3衣-〕n的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为x
s,假设
ps272,那么n等丁多少？
解：
假设〔3坂-〕na0a1xa2x2anxn,有Pa°a〔an,
x
SC0C：
2n,
令x1得P4n,乂ps272,即4n2n272〔2n17〕〔2n16〕0解得
2n16或2n17〔舍去〕,n4.
n
练：
假设3、反&的展开式中各项系数之和为64,那么展开式的常数项为多少？
x
n
孚的展开式中各项系数之和为
那么展开式的常数项为C：
（3'、x）3（-L）3540.
、-x
练：
井（122021123I2021R鱼鱼a2021
有（I2x）a.a〔x&xa3xla2021x（xr）,火1j?
?
222021目Ji且力
布及.1巾/曰c%&a2021a1a2a2021„
角牛•令x2,可侍a0—歹声0,y^?
产a0
a1a2a2021
任Wx0可侍a01,因叩2歹普91.
〜554321
练：
有（x2）a5xa4xa3xa?
xa〔xa°,那么a〔a?
a3a4a5.
a〔a?
8384a§31.
由丁各项均能被64整除32n28n9（nN*）能被64整除
1、（x—1）11展开式中x的偶次项系数之和是
1、设f（x）=（x-1）11,偶次项系数之和是f
（1）f
（1）
（2）11/21024
2
0122nn
2、Cn3Cn3Cn3Cn2、
2、4n
3、（农二）20的展开式中的有理项是展开式的第项.
、5
3、3,9,15,21
4、（2x-1）5展开式中各项系数绝对值之和是
4、（2x-1）5展开式中各项系数系数绝对值之和实为（2x+1）5展开式系数之和,故令x=1,那么所求和为35・5、求（1+x+x2）（1-x）10展开式中x4的系数.
K（AyY2V1Y、10Y3V1y\9曹彳旦到今Y4的I而心领第一个因A中的1
5、（Ixx）（Ix）（Ix）（ix）,女1寸工1jx目jw.,久、小牛ImuJ目JI
与（1-x）9展开式中的项C4（x）4作积,第一个因式中的一x3与（1-x）9展开式中的项
C；（x）作积,故x4的系数是C；C9135,
6、求（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）10展开式中x3的系数.
_2
6、（1x）（1x）2
10
（1x）
1011
（1x）[1（1x）]=（x1）（x1）,原式中
1（1x）
x3实为这分子中的x4,那么所求系数为C17,.
•.•k€乙9k-1€Z,8111被9除余&
10、在（x2+3x+2）5的展开式中,求x的系数.
10、（x23x2）5（x1）5（x2）5
在（x+1）5展开式中,常数项为1,含x的项为C55x,在（2+x）5展开式中,常数
项为25=32,含x的项为C；24x80x
展开式中含x的项为1（80x）5x（32）240x,此展开式中x的系数为240
11、求（2x+1）12展开式中系数最大的项.
11、设Tr+1的系数最大,
那么
Tr+1的系数不小丁
Tr与Tr+2的系数,即有
rq12rr1子3r
C122C122
r912rr111
C122C1212
r
C；22C；21
2EC,1
c11
3r4,r4
33
展开式中系数最大项为第
5项,T5=16C：
2x4
4
7920x
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