二次项定理10大典型例题.docx
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二次项定理10大典型例题
（1）知识点的梳理
1.二项式定理：
（ab）nCn°anCn『bLC„ranrbrLCnnbn（nN）,
2.基本概念：
1二项式展开式：
右边的多项式叫做（abT的二项展开式。
2二项式系数：
展开式中各项的系数Cn（r0,1,2,,n）・
3项数：
共（r1）项，是关于a与b的齐次多项式
4通项：
展开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项。
用Tr1Cnab表示。
3.注意关键点：
1项数：
展开式中总共有（n1）项。
2顺序：
注意正确选择b,其顺序不能更改。
Gb）n与（b»是不同的。
3指数：
。
的指数从n逐项减到0，是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n,是
升幕排列。
各项的次数和等于n.
4系数：
注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是
时时金，，C：
,C：
•项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。
②二项式系数
和：
令3b
C°C：
C：
L
C
C2n
4•常用的结论:
12r
变形式CnCnLCnC2n
③奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：
④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
（a
nOnOX
X）Cna
1
X
Cn2
C：
a
9
X_
L
ncOn12[n
cnaxa（xa?
xLanX
（x
\n0
a?
Ca
n
X
C：
ax
n1
C:
ax
n2
L
ncn0n21
CnT
axanxLa?
xa（xa5
令:
<1,则ao
ai
a2
a；L
Sn
（a
l）n
①
令:
<1,则ao
ai
a2
a；
LQn
（a1）
n②
①
②得,ao
Q2
aiL
Qn
（a
l）n
（a
2
Drl
-（奇数项的系数和）
①②得,
■A卫旦工（偶数项的系数和）
2
5二项式系数的最大项：
如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式
n系数雷取得最大值。
如果二项式的幕指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数
n1n1
cn\cF同时取得最大值。
6系数的最大项：
求（abx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别
一一一Ar1Ar一
为AI,a2,,Am,设第r1项系数最大，应有，从而解出r来。
Ar1Ar2
（2）专题总结
专题一
题型一：
二项式定理的逆用；
例:
CnC26Cn362LCn6八
解：
（16）nC:
cn6C262C363LC:
6"与已知的有一些差距,
6C:
62L
n
Ccn
6nl
1kCn
6
6C；
62L
C;6n）
取，
-l（7n1）
C6
Cn62
L
Cnn6n
1）
6）n1]
6
6
练：
Cn3Cn
9C3L
3n
1n
'n・
1nc
解：
设SnCn
3cn
9C:
L3n
cn,
则
12
C;
0p
22
3SnCn3Cn
32Cn3
3L
on
cn
C：
3
Cn3
C-33
LCn3n1（13）n1
题型二：
利用通项公式求/的系数;
例：
在二项式（J險严的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有F的项的
系数?
解：
由条件知C；；245,即545,n2n900,解得n9（舍去）或n10,
由
1210r2
TriC；c（x'）10r（x°）rC；oX,由题意-r3,解得r6,
43
则含有x‘的项是第7项T61C；。
x321Ox3,系数为210
练:
求
（一）薯开式卄的系数?
解：
TnC9（x2）（丄）「C9X182r（*）rxrc90x183r,令183r9,则2x22
r3
故x?
的系数为C;（于却O
22
题型三：
利用通项公式求常数项；
1
例：
求二项式（X2_）10的展开式中的常数项?
蘇・T「，210rr1r205r"
解・"Go（x）Cw（±）x^令2°
t9呢）8
45
256
2\/x
练：
求二项式（2X刊的展开式中的常数项？
解：
Trie；（2x）-（l）r（±）r
（1）（；26rQ）rx62r,令62r0,得r3,所2x2以T4（l）3Cs20
练：
若（XT"的二项展开式中第5项为常数项，则n
0,得n6.
解:
T5Cn1（x2）n4（04c:
x2n12,令2n12
X
题型四：
利用通项公式，再讨论而确定有理数项;
例：
求二项式Cx吹）°展开式中的有理项？
1127r
解：
「1C；（X泸（x3）r（l）rC；厂令Z,（Or9）得r3或r9,
6
所以当r3时，M,Ti
（1）3C;xl
6
84x4,
当r9时，辽丄3,Tw
（1）3C：
x3
6
例：
若（,X2尸展开式中偶数项系数和为256，求n.
解：
设寿）“展开式中各项系数依次设为a.
题型五：
奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和;
令x1,则有aoai
Qn0,①，令X
:
1,则有
aia?
as（l）nan2n,
（2）
1
将①-②得：
2（ai83&
n
）2,ai33a5
2*1
有题意得，
8
2nl2562,n9。
题型六：
最大系数，最大项；
1
例：
已知（才2x）%若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列,
求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
解：
QC:
C；2C;,n221n980,解出n7或n14,当n7时，展开式
中二项式系数最大的项是T4和TbTi的系数c3（-）42\,
22
1
T5的系数C;（3）呵70,当n14时，展开式中二项式系数最大的项是Ts,
1
T8的系数C：
4（―）;273432o
2
练：
在（ab）如的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：
二项式的幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2nTm,
-21
也就是第n1项。
练：
在（：
的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项
2
是多少？
解：
只有第5项的二项式最大，则-15,即n&所以展开式中常数项为第七
2
项等于Cs
（1）27
练：
写出在（ab）丁的展开式中，系数最大的项？
系数最小的项？
解：
因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有口C：
a4b3的系数最小，氏系数最大。
练：
若展开式前三项的二项式系数和等于79,求（丄2x）“的展开式中系数最大2的项？
11
解：
由C:
cnC:
79,解出n12,假设Tri项最大，Q2X）12（?
）12（14x）12
ArlArc121c12!
1n化简得到9.4r10.4,又Q0r12,
Ar1Ar2C：
24rCrx4r1
1
r10,展开式中系数最大的项为口，有Tn（丁鶴?
4妝叫6896乂|°
解：
假设「1项最大QTr1
C：
。
2rxr
ArAC：
2
Gb。
1解得2⑴2（101）化简得到
ArAr2C；
C/o12r1r1
6.3k7.3，又QOr
10，展开式中系数最大的项为
TsG°2?
15360X7.
题型七：
含有二项变两项；
练：
在（12x）1°的展开式中系数最大的项是多少？
例：
求当（F3x2）5的展开式中x的一次项的系数？
解法①：
（x23x2）5[（x22）3x]5,riCf（x22）5r（3x）r,当且仅当r1
时，Tri的展开式中才有x的一次项，此时Tr1T2C5（x22）'3x,
所以x得一次项为c5c42,3x
它的系数为CsC:
213240o
解法②：
（x23x2）°（xl）°（x2）°（C;x°C；x1CCfx3C；x'2C：
2°）
故展开式中含x的项为C;xC：
25C5x24240x,故展开式中x的系数为
240.
练：
求式子（x-2）'的常数项？
x
解：
（X2）3（』孑jt）6,设第门项为常数项，则
rr6r1r6r62r
TriCe
（1）x（口）
（1）Cex，得62r0,r3,
n
Tsi
（1）3C；20.
题型八：
两个二项式相乘;
练：
（XA）n展开式的通项为CnXnrX3rCnx",通项分别与前面的三项相乘可得X
展开式中不含常数项,
n4r且n4r1且n4r2,艮卩n4,8且n3,7且n2,6,n5.
题型九：
奇数项的系数和与偶数项的系数和:
例：
在（XJ2）2006的二项展开式中，含x的奇次幕的项之和为S,当XJ2时,S
例:
求（12X）3（1x）4展开式中胖的系数.
解：
Q（12X）的展开式的通项是C（2x）C2X
（1X）4的展开式的通项是c4（X）nc；Txn,其中mo,1,2,3,n0,1,2,3,4,
解：
设（X、、2）a2oo6x2006①
2006123・2006
（X2）=a°a?
X/XLa2oo6X②
①②得2（aixa3X°asX°La2。
。
5X200°）（x、一2严（x>.,2严
（xX2）沁展开式的奇次幕项之和为s（x）l[（x-2）2006（xX2）2006]
3008
32006
当—2时*2）孙2辽严厂2严
题型十：
赋值法；
例：
设二项式（33X-）n的展开式的各项系数的和为P,所有二项式系数的和为
S,若
pS272,则n等于多少?
解:
若（3‘x~）na«a-xa?
x2
anX",有^Pa。
a-
练：
若3、・x，的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少?
在令xO可得a。
练：
若（x2）5a§x5
31a2
2
22
1,因而
4
a2009
2
a2
22
32
a4Xva3Xa2X
22
1.
a。
则ai
2009
2009
ao
a2a3a4as
练：
1,
解：
令x0得ao32,令x1得8oQia?
©aias
题型十一：
整除性;
N）能被64整除
证：
32n28n99n18n
9
（8
n1
1）8n9
C^i8n1Cm8n
Cn
182
C加CnVsn9
0n11n
C>n1ROn1R
Cn1828（n1）18n9
0n11n
Cn18Cn18
即82
由于各项均能被64整除32n嘶9（nN）能被64整除
例:
证明：
32n28n9（n
1、（x-1厂展开式中x的偶次项系数之和是
1、设f（x）二（x-1）11,偶次项系数之和是讯7上_
（2）521024
2
2、C3C;32C23nCn2、
2、4n
3、（35V。
的展开式中的有理项是展开式的第项一
V5
3、3,9,15,21
4、（2x-l）5展开式中各项系数绝对值之和是4、（2x-l）5展开式中各项系数系数绝对值之和实为（2x+l）5展开式系数之和，故令x=l,则所求和为3
5、求（1+x+x2）（1-x）10展开式中x"的系数+
5、（1xx2）（1x）10（1x3）（1X）：
要得到含x1的项，必须第一个因式中的1
与（1-X）9展开式中的项C4（X）'作积，第一个因式中的一X’与（1-X）9展开式中的项
C；（x）作积，故£的系数是C；C9135+
&求（1+x）+（1+x）'+・・・+（1+x）10展开式中X3的系数+
6、（1X）（1X）2
（1X）10
1011
（1X）[1（1x）T_（x1）（x1）
1（1x）
原式中
X
£实为这分子中的x",则所求系数为C:
7、若f（x）（1x）m（1x）n（mnN）展开式中
值时，x?
的系数最小？
7、由条件得m+n=21,x‘的项为ex?
n€N,故当n=10或11时上式有最小值,时，F的系数最小，
8、自然数n为偶数时，求证：
12C;cn2c3C：
2Cn
8、原式=（cnc；c2nln；
cncn）
9、求80"被9除的余数+
1111011110
9、80（811）Cn81Cu81
X的系数为
21,问m、n为何
/212399帀
C：
x\贝1」CmC
（n）•因
也就是
24
m=ll
和n=10,或m=10和n=ll
q2ni
Cn3
c「）2n2nl3.2nl
io/、
Cn8181k1（kZ）,
•••k€乙•••9k-1€Z,A81"被9除余8-
10、在（x2+3x+2）5的展开式中，求x的系数一
255
10、（x3x2）（x1）（x
5
2）
在（X+1T展开式中，常数项为1,
含x的项为c5
5x,在（2+x）5展开式中，常数
项为2=32,含x的项为C52'x
80x
•••展开式中含x的项为1（80x）
5x（32）240x,
此展开式中x的系数为240
11、求（2x+l）12展开式中系数最大的项・
11、设Tr+l的系数最大，则Tr+l的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有
C2212rC；21213r2C;1
C;212rC；门2心2C12C121
li,r4
•••展开式中系数最大项为第5项，T5=16C42X47920X1
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