不等式组.docx
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不等式组
不等式（组）
一、选择题
1.（2014•山东威海，第7题3分）已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A．
B．
C．
D．
考点：
在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；点的坐标．
分析：
根据第二象限内点的坐标特点，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
解答：
解：
已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，
3﹣m＜0且m﹣1＞0，
解得m＞3，m＞1，
故选：
A．
点评：
本题考查了在数轴上不等式的解集，先求出不等式的解集，再把不等式的解集表示在数轴上．
2.（2014•山东潍坊，第7题3分）若不等式组
无解，则实数a的取值范围是（）
A．a≥一1 B．a<－1 C．a≤1 D.a≤－1
考点：
解一元一次不等式组．
分析：
先求出②中x的取值范围，再根据不等式组无解确定a的取值范围即可．
解答：
解①得，x≥－a，解②得，x＜1,由于此不等式组无解，故－a≥1,a≤－1．
故选D．
点评：
本题考查的是一元一次不等式组的解法，解答此题的关键是熟知解不等式组解集应遵循的原则“同大取较大，同小去较小，大小小大中间找，大大小小解不了”的原则．
3.1．（2014•湖南怀化，第6题，3分）不等式组
的解集是（ ）
A．
﹣1≤x＜2
B．
x≥﹣1
C．
x＜2
D．
﹣1＜x≤2
考点：
解一元一次不等式组．
分析：
分别求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
解答：
解：
，
由①得，4x＜8，x＜2，
由②得，x≥﹣1，
故不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选A．
点评：
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4.（2014•山东临沂,第5题3分）不等式组﹣2≤x+1＜1的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组
分析：
先求出不等式组的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
解答：
解：
∵由题意可得
，
由①得，x≥﹣3，
由②得，x＜0，
∴﹣3≤x＜0，
在数轴上表示为：
．
故选B．
点评：
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知““小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
5.（2014•江苏盐城,第5题3分）不等式组
的解集是（ ）
A．
x＞﹣1
B．
x＞2
C．
﹣1＜x＜2
D．
x＜2
考点：
不等式的解集
分析：
根据不等式组解集的四种情况，进行求解即可．
解答：
解：
的解集是x＞2，
故选B．
点评：
本题考查了不等式组的解集，求不等式组解集的口诀：
同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
6．（2014•四川遂宁，第8题，4分）不等式组
的解集是（ ）
A．
x＞2
B．
x≤3
C．
2＜x≤3
D．
无解
考点：
解一元一次不等式组．
分析：
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解答：
解：
∵解不等式①得：
x＞2，
解不等式②得：
x≤3，
∴不等式组的解集为2＜x≤3，
故选C．
点评：
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找到不等式组的解集．
7．（2014•四川南充，第题6，3分）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D
分析：
根据不等式的基本性质解不等式得解集为﹣2＜x≤3，所以选D．
解：
解不等式
得：
x≤3．解不等式x﹣3＜3x+1得：
x＞﹣2
所以不等式组的解集为﹣2＜x≤3．故选D．
点评：
考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组解集在数轴上的表示方法：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
8．（2014•广东梅州,第4题3分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．
x﹣3＞y﹣3
B．
＞
C．
x+3＞y+3
D．
﹣3x＞﹣3y
考点：
不等式的性质．
分析：
根据不等式的基本性质，进行选择即可．
解答：
解：
A、根据不等式的性质1，可得x﹣3＞y﹣3，故A正确；
B、根据不等式的性质2，可得＞，故B正确；
C、根据不等式的性质1，可得x+3＞y+3，故C正确；
D、根据不等式的性质3，可得﹣3x＜﹣3y，故D错误；
故选D．
点评：
本题考查了不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4.
5.
6.
7.
8.
二、填空题
1.（2014•上海，第9题4分）不等式组
的解集是 3＜x＜4 ．
考点：
解一元一次不等式组．
分析：
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
解答：
解：
，
解①得：
x＞3，
解②得：
x＜4．
则不等式组的解集是：
3＜x＜4．
故答案是：
3＜x＜4
点评：
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
2.（2014•山东聊城，第13题，3分）不等式组
的解集是 ﹣＜x≤4 ．
考点：
解一元一次不等式组
分析：
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：
解：
，
由①得，x≤4，
由②得，x＞﹣，
故此不等式组的解集为：
﹣＜x≤4．
故答案为：
﹣＜x≤4．
点评：
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3.（2014•十堰13．（3分））不等式组
的解集为 ﹣1＜x≤2 ．
考点：
解一元一次不等式组．
分析：
先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
解答：
解：
∵解不等式x＜2x+1得：
x＞﹣1，
解不等式3x﹣2（x﹣1）≤4得：
x≤2，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，
故答案为：
﹣1＜x≤2．
点评：
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
4,（2014•娄底14．（3分））不等式组
的解集为 2＜x≤5 ．
考点：
解一元一次不等式组
分析：
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：
解：
，由①得，x＞2，由②得x≤5，
故此不等式组的解集为：
2＜x≤5．
故答案为：
2＜x≤5．
点评：
本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
5.（2014年湖北咸宁11．（3分））不等式组
的解集是 x≤﹣2 ．
考点：
解一元一次不等式组．
分析：
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：
解：
，
由①得，x＜1，
由②得，x≤﹣2．
故此不等式组的解集为：
x≤﹣2．
故答案为：
x≤﹣2．
点评：
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（2014•四川内江，第24题，6分）已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是 1≤k＜3 ．
考点：
解一元一次不等式．
专题：
计算题．
分析：
先把2x﹣3y=4变形得到y=（2x﹣4），由y＜2得到（2x﹣4）＜2，解得x＜5，所以x的取值范围为﹣1≤x＜5，再用x变形k得到k=x+，然后利用一次函数的性质确定k的范围．
解答：
解：
∵2x﹣3y=4，
∴y=（2x﹣4），
∵y＜2，
∴（2x﹣4）＜2，解得x＜5，
∴﹣1≤x＜5，
∵k=x﹣（2x﹣4）
=x+，
当x=﹣1时，k=×（﹣1）+=1；
当x=5时，k=×5+=3，
∴1≤k＜3．
故答案为1≤k＜3．
点评：
本题考查了解一元一次不等式：
根据不等式的性质解一元一次不等式，基本步骤为：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了代数式的变形和一次函数的性质．
3.
4.
5.
6.
7.
8.
三、解答题
1.（2014•四川巴中，第22题5分）定义新运算：
对于任意实数a，b都有a△b=ab﹣a﹣b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：
2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，请根据上述知识解决问题：
若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围．
考点：
新定义．
分析：
首先根据运算的定义化简3△x，则可以得到关于x的不等式组，即可求解．
解答：
3△x=3x﹣3﹣x+1=2x﹣2，根据题意得：
，解得：
＜x＜
．
点评：
本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是关键．
2.（2014山东济南，第22题，7分）
（2）解不等式组：
．
【解析】由
得
；由
得
．
所以原不等式组的解为
．
3.（2014年贵州黔东南19．（10分））解不等式组
，并写出它的非负整数解．
考点：
解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
分析：
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，找出符合条件的x的非负整数解即可．
解答：
解：
，
由①得，x＞﹣
，
由②得，x＜，
故此不等式组的解集为：
﹣
＜x＜，
它的非负整数解为：
0，1，2，3．
点评：
本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
4.（2014年贵州黔东南）黔东南州23．（12分）某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：
购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；
（3）在
（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．
考点：
一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
分析：
（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题；
（2）分情况：
不大于20件；大于20件；分别列出函数关系式即可；
（3）设购进玩具x件（x＞20），分别表示出甲种和乙种玩具消费，建立不等式解决问题．
解答：
解：
（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，由题意得
，
解得
，
答：
件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元；
（2）当0＜x≤20时，
y=30x；
当x＞20时，
y=20×30+（x﹣20）×30×0.7=21x+180；
（3）设购进玩具x件（x＞20），则乙种玩具消费27x元；
当27x=21x+180，
则x=30
所以当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可；
当27x＞21x+180，
则x＞30
所以当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱；
当27x＜21x+180，
则x＜30
所以当购进玩具少于30件，选择购乙种玩具省钱．
点评：
此题考查二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式的运用，理解题意，正确劣势解决问题．
5.（2014•遵义20．（8分））解不等式组：
，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
考点：
解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
分析：
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
解答：
解：
由①得，x≥﹣1，
由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：
﹣1≤x＜4．
在数轴上表示为：
．
点评：
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.（2014•江苏苏州,第20题5分）解不等式组：
．
考点：
解一元一次不等式组．
专题：
计算题．
分析：
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解答：
解：
，
由①得：
x＞3；由②得：
x≤4，
则不等式组的解集为3＜x≤4．
点评：
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.（2014•年山东东营,第19题7分）
（2）解不等式组：
把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．
考点：
在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解；特殊角的三角函数值．
专题：
计算题．
分析：
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解答：
解：
（2）
，
由①得：
x＜1；由②得：
x≥﹣，
∴不等式组的解集为﹣≤x＜1，
，
则不等式组的整数解为﹣1，0．
点评：
此题考查了解不等式组．
8.（2014•江苏徐州,第20题5分）
（2）解不等式组：
．
考点：
解一元一次不等式组．
分析：
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：
解：
（2）
，
由①得，x≥0，由②得，x＜2，
故此不等式组的解集为：
0≤x＜2．
点评：
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（2014•四川内江，第27题，12分）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使
（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
此时，哪种方案对公司更有利？
考点：
分式方程的应用；一元一次不等式组的应用
分析：
（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：
今年的销售数量=去年的销售数量．
（2）关系式为：
99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．
（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．
解答：
解：
（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，
解得：
m=9．
经检验，m=9是原方程的根且符合题意．
答：
今年5月份A款汽车每辆售价m万元；
（2）设购进A款汽车x量．则：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：
≤x≤10．
因为x的正整数解为3，4，5，6，7，8，9，10，
所以共有8种进货方案；
（3）设总获利为W元．则：
W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a=0.5时，
（2）中所有方案获利相同．
此时，购买A款汽车3辆，B款汽车12辆时对公司更有利．
点评：
本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．
10．（2014•四川南充，第23题，8分）今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件．
（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w，并写出x的取值范围；
（2）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费．
分析：
（1）表示出从A基地运往乙销售点的水果件数，从B基地运往甲、乙两个销售点的水果件数，然后根据运费=单价×数量列式整理即可得解，再根据运输水果的数量不小于0列出不等式求解得到x的取值范围；
（2）根据一次函数的增减性确定出运费最低时的运输方案，然后求解即可．
解：
（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，则从A基地运往乙销售点的水果（380﹣x）件，
从B基地运往甲销售点水果（400﹣x）件，运往乙基地（x﹣80）件，
由题意得，W=40x+20（380﹣x）+15（400﹣x）+30（x﹣80），
=35x+11000，
即W=35x+11000，∵
，∴80≤x≤380，即x的取值范围是80≤x≤380；
（2）∵A地运往甲销售点的水果不低于200件，∴x≥200，∵35＞0，
∴运费W随着x的增大而增大，
∴当x=200时，运费最低，为35×200+11000=18000元，
此时，从A基地运往甲销售点水果200件，从A基地运往乙销售点的水果180件，
从B基地运往甲销售点水果200件，运往乙基地120件．
点评：
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确表示出从A、B两个基地运往甲、乙两个销售点的水果的件数是解题的关键．
11．（2014•四川宜宾，第20题，8分）在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？
（2）小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？
考点：
一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用
分析：
（1）设小李答对了x道题，则有（20﹣x）道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是60分，即可得到一个关于x的方程，解方程即可求解；
（2）先设小王答对了y道题，根据二等奖在75分～85分之间，列出不等式组，求出y的取值范围，再根据y只能取正整数，即可得出答案．
解答：
解：
（1）设小李答对了x道题．
依题意得5x﹣3（20﹣x）=60．
解得x=15．
答：
小李答对了16道题．
（2）设小王答对了y道题，依题意得：
，
解得：
≤y≤
，即
∵y是正整数，
∴y=17或18，
答：
小王答对了17道题或18道题．
点评：
本题考查了一元一次方程的应用．利用方程解决实际问题的基本思路如下：
首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
12．（2014•甘肃白银,第20题6分）阅读理解：
我们把
称作二阶行列式，规定他的运算法则为
=ad﹣bc．如
=2×5﹣3×4=﹣2．
如果有
＞0，求x的解集．
考点：
解一元一次不等式．
专题：
阅读型．
分析：
首先看懂题目所给的运算法则，再根据法则得到2x﹣（3﹣x）＞0，然后去括号、移项、合并同类项，再把x的系数化为1即可．
解答：
解：
由题意得2x﹣（3﹣x）＞0，
去括号得：
2x﹣3+x＞0，
移项合并同类项得：
3x＞3，
把x的系数化为1得：
x＞1．
点评：
此题主要考查了一元一次不等式的解法，关键是看懂题目所给的运算法则，根据题意列出不等式．
13．（2014•广州,第17题9分）
解不等式：
，并在数轴上表示解集.
【考点】不等式解法
【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去
，再同时加上
，再除以
，不等号的方向不变.注意在数轴上表示时，此题是小于等于号，应是实心点且方向向左.
【答案】解：
移项得，
，
合并同类项得，
，
系数化为1得，
，
在数轴上表示为：
6.
7.
8.
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