锐角三角函数全章教案.docx
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锐角三角函数全章教案
28．2解直角三角形
（1）
教学目标
1．知识与技能
理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．
2．过程与方法
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重点与难点
1．重点：
直角三角形的解法．
2．难点：
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学方法：
讲练结合法
教学过程
一、复习引入
上一节我们介绍了直角三角函数．我们知道，一个直角三角形有许多元素的值，各三边的长，三个角的度数，三角的正弦、余弦、正切值．我们现在要研究的是，我们究竟要知道直角三角形中多少值就可以通过公式计算出其他值．
二、探究新知
1.先看1972年的情形：
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角
为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．sinA=
．所以∠A≈5°28′．
教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．
2.要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°，现有一个长6m的梯子，问：
（1）．使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）．当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到
1°）？
这时人是否能够安全使用这个梯子？
教师对问题的解法进行分析：
对于问题1，当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题1的解法：
由sinA=
得BC=AB·sinA=6×sin75°．由计算器求得sin75°≈0.97，所以BC≈6×0.97≈5.8．
因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m．
问题2的解法：
由于cosa=
，求得a≈66°.因此当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°，由50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
三、随堂练习
如下图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
解题方法分析：
由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．设置此题，即使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
解：
过A作AE∥CD，于是有AC=ED，AE=CD．在Rt△ABE中，
sinA=
∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53（米）．cosA=
∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1（米）．
∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5=32.03（米）．CD=AE=157.1（米）．
答：
BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．
四、课时总结
利用三角函数解应用题时，首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角，然后再运用三角函数知识解题．
五、作业
1．Rt△ABC中，若sinA=
，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
3．在△ABC中，∠C=90°，sinA=
，则cosA的值是（）
A．
B．
C．
D.
4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：
AC=BD;
（2）若sinC=
，BC=12，求AD的长．
28．2解直角三角形
（2）
教学目标
1．知识与技能
理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．
2．过程与方法
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点：
直角三角形的解法．
教学难点：
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学方法：
讲练结合法
教学过程
一、复习引入
上一节课我们通过实例大致了解了通过已知条件来求三角形其他元素解法．这一节课我们将提出解直角三角形这一概念，并通过实例说明它的解法．
教师提出以下问题要求学生自行解答：
三角形有六个元素，分别是三条边和三个内角．在Rt△ABC中，
1．根据∠A=75°，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
2．根据AC=2．4，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
学生解答完后教师给出解法．
二、探究新知
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
28．2-2
总结：
（1）三边之间的关系a2+b2=c2（勾股定理）
（2）两锐角之间的关系∠A+∠B=90°．
（3）边角之间的关系：
sinA=
，sinB=
cosA=
=
，cosB=
=
tanA=
=
，tanB=
=
例1、如课本图28．2-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=
，BC=
，解这个直角三角形．
解：
∵tanA=
，∴∠A=60°．∠B=90°-∠A=90°-60°=30°．
AB=2AC=2
．
例2、如课本图28．2-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形．（精确到0.1）
解：
∵tanB=
．∴a=
．∵sinB=
，
∴c=
．∠A=90°-∠B=90°-35°=55°．
三、随堂练习：
课本第87页练习．
四、小结
解直角三角形就是已知直角三角形三条边，三个角中的2个元素（其中有一个必须是边）求其他元素的过程．解直角三角形常用的知识有：
勾股定理，正弦、余弦、正切，两个内角和为90度．
五、作业：
习题28．2第1题，第2题．
28．2解直角三角形（3）
教学目标
1．知识与技能
理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．
2．过程与方法
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点：
直角三角形的解法．
教学难点：
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学方法：
讲练结合法
教学过程
一、引入
本节课将利用解直角三角形知识解决生活中的许多问题．2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．我们将应用直角三角形知识探究有关飞船运行的一些知识．
二、探究新知
例3：
当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上
运行．如课本图28．2-5，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？
这样的最远点与P点的距离是多少？
（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）．
分析：
从飞船上能直接看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点．如图28．2-5所示，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观察地球时的最远点．
的长就是地面上P、Q两点间的距离（不能用弦PQ去代替）．为了计算PQ的长需先求出∠POQ（即∠a）．
解：
在图28．2-5中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
∵cosα=
，∴α≈18°．∴PQ的长为
×6400≈1.34×640=2009.6．由此可见，当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km．
例4：
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，问这栋高栋有多高？
（结果精确到0.1m）
分析：
我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，在课本图28．2-6中，AD是与水平面平行的直线，则α=30°，β=60°，我们可以把这道题分成两个直角三角形来解．在Rt△ABD中，a=30°，AD=120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地在△ACD中可以求出CD．进而求出BC．
解：
如课本图28．2-6，α=30°，β=60°，AD=120．
∵tanα=
∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120×
=4
，CD=AD·tanβ=120×tan60°=120×
=120
，∴BC=BD+CD=40
+120
=160
≈277.1．
答：
这栋楼房约为277.1m．
三、随堂练习：
89页练习第1题、第2题．
四、课时总结
如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．
五、作业
习题28．2第3题、第4题．
28．2解直角三角形（4）
教学目标
1．知识与技能
理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．
2．过程与方法
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点：
直角三角形的解法．
教学难点：
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学方法：
讲练结合法
教学过程
一、探究新知
本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．
（一）方位角与方向角
1．方向角：
指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°,南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图:
目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
2．方位角:
从某点的指北方向线按顺时针转
到目标方向的水平角，叫做方位角．如图:
目标方
向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．
（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点
在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．
解题时一般有以下三个步骤：
1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．
2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．
3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形．
二、例题讲解
例5、如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
（精确到0.1海里）
分析：
这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与
△PCB．PC是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC互余的关系求∠BPC．
教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．
解：
在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-650）=80×cos25°≈80×0.91=72.505．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=
，∴PB=
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.7海里．
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-8所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-9所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．
图28．2-8图28．2-9图28．2-10
与测坝高相比，测山高的困难在于：
坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-10表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
三、随堂练习：
课本第91页练习第1题、第2题．
四、课时总结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．
3．得到数学问题的答案．
4．得到实际问题的答案．
五、作业
习题28．2第5题、第8题．
小结与复习
知识结构
基础知识
1．直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，
∠A+∠B=90°，a2+b2=c2，
sinA=cosB=
，cosA=sinB=
，
tanA=cotB=
，cosA=tanB=
．
2．互余两角三角函数间的关系：
如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB．
3．同角三角函数间的关系：
sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，tanA=
．
4．特殊角的三角函数
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
不存在
cotα
不存在
1
0
解直角三角形的基本类型
解直角三角形的基本类型及其解法如下表：
类型
已知条件
解法
两边
两直角边a、b
c=
，tanA=
，∠B=90°-∠A
一直角边a，斜边c
b=
，sinA=
，∠B=90°-∠A
一边一锐角
一直角边a，锐角A
∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=
斜边c，锐角A
∠B=90°-∠A，a=c·sinA，
b=c·cosA
解直角三角形注意点
1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．
2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．
3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．
4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：
当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．
5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．
6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．
7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．
应用题解题步骤
度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：
第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．
第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．
第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．
第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位．
思想方法总结
1．转化思想
转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．
2．数形结合思想
本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．
3．函数思想
锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应．
4．方程思想
在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．
中考新题型
例1计算：
（1）sin230°-cos45°·tan60°
（2）
分析：
把特殊角的三角函数值代入计算即可．
解：
（1）sin30°-cos45°·tan60°=
-
×
=
-
（2）原式=
+1-3×（
）2+2
=
+1-1+2（1-
）=2
说明：
熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，这类题也是中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．
例2如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：
sin47°≈0.7314，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）
分析：
缆车垂直上升的距离分成两段：
BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF中求出BC与DF，两者之和即为所求．
解：
在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，
∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．
在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，
∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．
∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．
答：
缆车垂直上升了246.28米．
说明：
解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：
一是要合理地构造合适的直角三角形；二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．
作业第97-98页12.810
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