全国高考新课标2卷文科数学试题解析版.docx
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全国高考新课标2卷文科数学试题解析版
高考真题高三数学
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．i（2+3i）=（）
A．3-2iB．3+2iC．-3-2iD．-3+2i
解析：
选D
2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）
A．{3}B．{5}C．{3,5}D．{1,2,3,4,5,7}
解析：
选C
3．函数f（x）=
ex-e
x-e
-x
2的图像大致为（）
x
解析：
选Bf（x）为奇函数，排除A,x>0,f（x）>0,排除D,取x=2,f
（2）=
e2-e
2-e
4
-2
>1,故选B
4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·（2a-b）=（）
A．4B．3C．2D．0
解析：
选Ba·（2a-b）=2a
2-a·b=2+1=3
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
解析：
选D5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。
6．双曲线
22
xy
2－
2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为3，则其渐近线方程为（）
ab
A．y=±2xB．y=±3xC．y=±
2
xD．y=±
2
3
x
2
解析：
选Ae=3c
2=3a2b=2a
7．在ΔABC中，cos
C
=
2
5
，BC=1，AC=5，则AB=（）
5
A．42B．30C．29D．25
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高考真题高三数学
解析：
选AcosC=2cos
2C
2
-1=-
3
5
AB
2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=42
8．为计算S=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+⋯⋯+
1
99
-
1
，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）
100
开始
N0,T0
i1
是否
i100
NN
1
i
SNT
1
输出S
TT
i1
结束
A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4
解析：
选B
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）
A．
2
2
B．
3
2
C．
5
2
D．
7
2
解析：
选C即AE与AB所成角，设AB=2,则BE=5,故选C
10．若f（x）=cosx-sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是（）
π
A．
4
B．
π
2
C．
3π
4
D．π
解析：
选Cf（x）=2cos（x+
π
4
）,依据f（x）=cosx与f（x）=2cos（x+
π
4
）的图象关系知a的最大值为
3π
。
4
11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60
0，则C的离心率为（）
A．1-
3
2
B．2-3C．
3-1
2
D．3-1
解析：
选D依题设|PF1|=c,|PF2|=3c,由|PF1|+|PF2|=2a可得
12．已知f（x）是定义域为（-∞,+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）．若f
（1）=2，则f
（1）+f
（2）+f（3）+
⋯+f（50）=（）
A．-50B．0C．2D．50
解析：
选C由f（1-x）=f（1+x）得f（x+2）=-f（x）,所以f（x）是以4为周期的奇函数，且
f（-1）=-f
（1）=-2,f（0）=0,f
（1）=2,f
（2）=f（0）=0,f（3）=f（-1）=-2,f（4）=f（0）=0;
f
（1）+f
（2）+f（3）+⋯+f（50）=f
（1）+f
（2）=2
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y=2lnx在点（1,0）处的切线方程为__________．
解析：
y=2x-2
x+2y-5≥0
14．若x,y满足约束条件x-2y+3≥0,则z=x+y的最大值为__________．
x-5≤0
解析：
9
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高考真题高三数学
15．已知tan（α-
5π
）=
4
1
5
，则tanα=__________．
3
解析：
由两角差的正切公式展开可得tanα=
2
16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30
0，若ΔSAB的面积为8，则该圆
锥的体积为__________．
解析：
设母线为2a，则圆锥高为a，底面半径为3a,依题
11
×2a×2a=8,∴a=2∴V=×π×（23）×2=8π
23
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。
第22、23为选考题。
考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
解：
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=-15,由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.
（2）由
（1）得Sn=n2-8n=（n-4）
2-8n=（n-4）
2-16.所以当n=4时,S
n取得最小值,最小值为-16.
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：
亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年
^
至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,⋯,17）建立模型①：
y=-30.4+13.5t；根据2010年至2016
^
年的数据（时间变量t的值依次为1,2,⋯,7）建立模型②：
y=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？
并说明理由．
解：
（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
^
y=-30.4+13.5×19=226.1（亿元）.
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
^
y=99+17.5×9=256.5（亿元）.
（2）利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下：
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^
（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.
这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋
势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条
直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016
^
年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因
此利用模型②得到的预测值更可靠.
（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元
的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19．（12分）
如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=，4O为AC的中点．
（1）证明：
PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC=2M，B求点C到平面POM的距离．
（1）证明：
因为AP=CP=AC=，4O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23.
21
连结OB.因为AB=BC=AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=AC=2.
22
由OP2+OB2=PB2
2+OB2=PB2
知OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.
（2）解：
作CH⊥OM，垂足为H．又由
（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
1242
由题设可知OC=AC=2，CM=BC=，∠ACB=45°．
233
25OC·MC·sin∠ACB45
所以OM=，CH==
．
3OM5
所以点C到平面POM的距离为
45
5
．
※也可用等积法求
20．（12分）
设抛物线C:
y
2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：
（1）由题意得F（1,0），l的方程为y=k（x-1）（k>0）.
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设A（x1,y1），B（x2,y2），由
y=k（x-1）
y2=4x
2=4x
得k2x2-（2k
2x2-（2k
2+4）x+k2=0.
2k
2+4
Δ=16k1+x2=2.
2+16>0，故x
k
2k
2+4
所以|AB|=x1+x2+2=2+2=8，解得k=-1（舍去），k=1.
k
因此l的方程为y=x-1.
（2）由
（1）得AB的中点坐标为（3,2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为（x0,y0），则
y0=-x0+5
（x0+1）
（y0-x0+1）
2=
2
2
+16
解得
x0=3
y0=2
或
x0=11
y0=-6
因此所求圆的方程为（x-3）
2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144.
21．（12分）
已知函数f（x）=
1
3
x3-a（x
3-a（x
2+x+1）．
（1）若a=3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：
f（x）只有一个零点．
解：
1
（1）当a=3时，f（x）=x
3-3x
3
2-3x-3），f′（x）=x2-6x-3
2
x6x3．
令f′（x）=0解得x=3-23或x=3+23．
当x∈（–∞，3-23）∪（3+23，+∞）时，f′（x）>0；
当x∈（3-23，3+23）时，f′（x）<0．
故f（x）在（–∞，3-23），（3+23，+∞）单调递增，在（3-23，3+23）单调递减．
（2）由于x2+x+1>0，所以f（x）=0等价于
2+x+1>0，所以f（x）=0等价于
3
x
x2+x+1-3a=0．
2+x+1-3a=0．
设g（x）=
3
x
2
x+x+1
x2（x2+2x+3）
2（x2+2x+3）
-3a，则g′（x）=2≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+
2
（x+x+1）
∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
又f（3a–1）=-6a+2a-
1
3
=-6（a-
1
）
6
2-
11
<0，f（3a+1）=>0，故f（x）有一个零点．
63
综上，f（x）只有一个零点．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x=2cosθ
y=4sinθ
（θ为参数），直线l的参数方程为
x=1+tcosα
y=2+tsinα
（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2），求l的斜率．
【解析】
（1）曲线C的直角坐标方程为
22
xy
+=1．
416
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα，
当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．
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（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程（1+3cos
2α）t2+4（2cosα+sinα）t-8=0．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点（1,2）在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0．
又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2．
23．[选修4－5：
不等式选讲]（10分）
设函数f（x）=5-|x-a|-|x-2|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
2x+4x≤-1
【解析】
（1）当a=1时，2-1-2x+6x>2
（2）f（x）≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f（x）≤1等价于|a+2|≥4．得a≤-6或aα2，
所以a的取值范围是（-∞,-6]∪[2,+∞）．
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绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1．D2．C3．B4．B5．D6．A
7．A8．B9．C10．C11．D12．C
二、填空题
13．y=2x–214．915．
3
2
16．8π
三、解答题
17．解：
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
2
（2）由
（1）得Sn=n–8n=（n–4）
2
–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
y
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$=99+17.5×9=256.5（亿元）．
y
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，
这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋
势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条
直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016
年的数据建立的线性模型$y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，
因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1
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亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可
靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网
19．解：
（1）因为AP=CP=AC=，4O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23．
连结OB．因为AB=BC=
2
2
1
AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=
2
AC=2．
由
222
OPOBPB知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由
（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
1
由题设可知OC=
2
2
AC=2，CM=
3
BC=
42
3
，∠ACB=45°．
所以OM=25
3
OCMCsinACB
OM
，CH=
=45
5
．
所以点C到平面POM的距离为45
5
．
20．解：
（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
yk（x1）
2
y4x
得
22（224）20
kxkxk．
2
16k160，故
2
2k4
xx
122
k
．
所以
2
4k4
ABAFBF（x1）（x1）
122
k
．
由题设知
2
4k4
2
k
8，解得k=–1（舍去），k=1．
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高考真题高三数学
因此l的方程为y=x–1．
（2）由
（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
y2（x3），即yx5．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
yx5，
00
2
（yx1）
200
（x1）16.
0
2
解得
x
0
y
0
3，
或
2
x
0
y
0
11，
6.
因此所求圆的方程为
22
（x3）（y2）16或
22
（x11）（y6）144．
21．解：
（1）当a=3时，f（x）=
1
3
32
x3x3x3，f′（x）=
2
x6x3．
令f′（x）=0解得x=323或x=323．
当x∈（–∞，323）∪（323，+∞）时，f′（x）>0；
当x∈（323，323）时，f′（x）<0．
故f（x）在（–∞，323），（323，+∞）单调递增，在（323，323）单调递减．
3
x2
（2）由于xx，所以f（x）0等价于23a0
．10
xx1
22
3
xx（x2x3）
设g（x）=a，则g′（x）=≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–
23
22
（xx1）
xx1
∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．学·科网
又f（3a–1）=
21121
6a2a6（a）0，f（3a+1）=
366
1
3
0
，故f（x）有一个零点．
综上，f
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