全国高考新课标2卷文科数学试题解析版.docx

1、全国高考新课标2卷文科数学试题解析版高考真题 高三数学2018 年普通高等学校招生全国统一考试新课标 2 卷文科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1i(2+3i)=( )A3-2i B3+2i C-3-2i D-3+2i解析：选 D2已知集合 A=1,3,5,7 ，B=2,3,4,5 ，则 AB=( )A3 B5 C3,5 D1,2,3,4,5,7解析

2、：选 C3函数 f(x)=e x-ex-e-x2 的图像大致为 ( )x解析：选 B f(x) 为奇函数，排除 A,x0,f(x)0, 排除 D,取 x=2,f(2)=e 2-e2-e4-21, 故选 B4已知向量 a，b 满足|a|=1 ，a b=-1 ，则 a (2a-b)= ( )A4 B3 C2 D0解析：选 B a (2a-b)=2a2-a b=2+1=35从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为A0.6 B0.5 C0.4 D0.3解析：选 D 5 人选 2 人有 10 种选法， 3 人选 2 人有 3 中选法。6双曲线2 2x

3、 y2 2 1(a 0，b0) 的离心率为 3，则其渐近线方程为 ( )a bAy= 2x By= 3x Cy=2x Dy=23x2解析：选 A e= 3 c2=3a2 b= 2a7在 ABC中，cosC=25，BC=1，AC=5，则 AB= ( )5A4 2 B 30 C 29 D2 5第 1 页 共 10 页高考真题 高三数学解析：选A cosC=2cos2C 2-1= -35AB2=AC2+BC2-2AB BC cosC=32 AB=4 28为计算S=1-12+13-14+ +199-1，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )100开始N 0,T 0i 1是 否i 100N N1

4、iS N T 1 输出ST Ti 1结束Ai=i+1 B i=i+2 C i=i+3 D i=i+4解析：选B9在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 为棱CC1 的中点，则异面直线 AE与 CD所成角的正切值为 ( )A22B32C52D72解析：选C 即 AE与 AB所成角，设 AB=2,则 BE= 5, 故选C10若 f(x)=cosx-sinx 在0,a 是减函数，则 a 的最大值是 ( )A4B2C34D解析：选C f(x)= 2cos(x+4), 依据 f(x)=cosx 与 f(x)= 2cos(x+4) 的图象关系知 a 的最大值为3。411已知 F1， F2 是椭圆C

5、的两个焦点， P是 C上的一点，若 PF1PF2，且 PF2F1=600，则 C的离心率为 ( )A1-32B2- 3 C 3-12D 3-1解析：选D 依题设 | PF 1|=c,| PF 2|= 3c, 由| PF 1|+| PF2|=2a 可得12已知 f(x) 是定义域为 (- ,+ ) 的奇函数，满足 f(1-x)= f(1+x) 若 f(1)=2 ，则 f(1)+f(2)+f(3)+ +f(50)= ( )A-50 B0 C2 D50解析：选C 由 f(1-x)= f(1+x) 得 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x) 是以 4 为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2

6、,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+ +f(50)=f(1)+f(2)=2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线 y=2lnx 在点 (1,0) 处的切线方程为 _解析： y=2x-2x+2y-5 014若 x,y 满足约束条件x-2y+3 0 , 则 z=x+y 的最大值为 _ x-5 0解析： 9第 2页共 10 页高考真题 高三数学15已知 tan( -5)=415，则 tan =_3解析：由两角差的正切公式展开可得 tan =216已知圆锥的顶点为 S，母线

7、 SA，SB互相垂直， SA与圆锥底面所成角为 300，若 SAB的面积为 8，则该圆锥的体积为 _解析：设母线为 2a，则圆锥高为 a，底面半径为 3a, 依题1 1 2a2a=8, a=2 V= (2 3) 2=82 3三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（ 12 分）记Sn 为等差数列a n 的前 n 项和，已知 a1=-7 ，S3=-15 （1）求 a n 的通项公式；（2）求 Sn，并求 Sn 的最小值解：（ 1）设 a n 的

8、公差为 d，由题意得 3 a 1+3d=-15, 由 a1=-7 得 d=2. 所以 a n 的通项公式为 an=2n-9.（2）由（ 1）得 Sn=n 2-8n=(n-4)2-8n=(n-4)2-16. 所以当 n=4 时, Sn 取得最小值 , 最小值为 - 16.18（ 12 分）下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为 1,2, ,17 ）建立模型： y=-30.4+13.5t ；根据 20

9、10 年至 2016年的数据（时间变量t 的值依次为 1,2, ,7 ）建立模型： y=99+17.5t （1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由解：（1）利用模型 , 该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.5 19=226.1 ( 亿元 ).利用模型 , 该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5 9=256.5 ( 亿元 ).（2）利用模型得到的预测值更可靠 .理由如下：第 3页共 10 页高考真题 高三数学（）从折线图可以看出 ,2000 年至

10、2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=-30.4+13.5t 上下.这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近， 这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势 , 利用 2010 年至 2016年的数据建立的线性模型 y=99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势 , 因此利用模型得到的预测值更可靠 .（）从计算结果看 , 相对于 201

11、6 年的环境基础设施投资额 220 亿元, 由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低 , 而利用模型得到的预测值的增幅比较合理 . 说明利用模型得到的预测值更可靠 .以上给出了 2 种理由 , 考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 .19（12 分）如图，在三棱锥 P-ABC中， AB=BC=2 2，PA=PB=PC=AC=，4 O为 AC的中点（1）证明： PO平面 ABC；（2）若点 M在棱 BC上，且 MC=2M，B 求点 C到平面 POM的距离（1）证明：因为 AP=CP=AC=，4 O为 AC的中点，所以 OPAC，且 OP=2 3. 2 1连结 OB.因为 AB=B

12、C= AC，所以 ABC为等腰直角三角形，且 OBAC，OB= AC=2. 2 2由 OP 2+OB2=PB22+OB2=PB2知 OPOB.由 OPOB,OPAC知 OP平面 ABC.（2）解：作 CHOM，垂足为 H又由（ 1）可得 OPCH，所以 CH平面 POM故 CH的长为点 C到平面 POM的距离1 2 4 2由题设可知 OC= AC =2，CM=BC= ，ACB=45 2 3 32 5 OC MC sin ACB 4 5所以 OM= ，CH= =3 OM 5所以点 C到平面 POM的距离为4 5 5也可用等积法求20（12 分）设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜

13、率为 k(k0) 的直线 l 与 C交于 A，B 两点， |AB|=8 （1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C的准线相切的圆的方程解：（1）由题意得 F(1,0) ，l 的方程为 y=k(x-1)(k0).第 4 页 共 10 页高考真题 高三数学设 A(x 1,y 1) ，B(x 2,y 2) ，由y=k(x-1)y 2=4x2=4x得 k 2x2-(2k2x2-(2k2+4)x+k 2=0.2k2+4=16k 1 +x2= 2 .2+160，故 xk2k2+4所以 |AB|= x 1+x2+2= 2 +2=8 ，解得 k=-1 （舍去），k=1.k因此 l 的方程为 y=x-

14、1.（2）由（ 1）得 AB的中点坐标为 (3,2) ，所以 AB的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3) ，即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为 (x 0,y 0) ，则y0=-x 0+5(x 0+1)(y 0-x 0+1)2=22+16解得x0=3y0=2或x0=11y0=-6因此所求圆的方程为 (x-3)2+(y-2) 2=16 或(x-11) 2+(y+6) 2 =144.21（ 12 分）已知函数 f(x)=13x 3-a(x3-a(x2+x+1) （1）若 a=3，求 f(x) 的单调区间；（2）证明： f(x) 只有一个零点解：1（1）当 a=3 时， f （x）= x3-3x

15、32-3x-3) ，f （ x）=x2-6x-32x 6x 3 令 f （ x）=0 解得 x=3-2 3或 x=3+2 3当 x（ ， 3-2 3）（ 3+2 3，+）时， f （ x）0；当 x（ 3-2 3，3+2 3）时， f （ x）0，所以 f(x)=0 等价于2+x+10，所以 f(x)=0 等价于3xx 2+x+1 - 3a=0 2+x+1 - 3a=0 设 g(x)=3x2x +x+1x 2(x 2+2x+3)2(x 2+2x+3)- 3a ，则 g （ x） = 2 0，仅当 x=0 时 g （ x）=0，所以 g（x）在（ ， +2(x +x+1)）单调递增故 g（x）至

16、多有一个零点，从而 f （x）至多有一个零点又 f （3a 1）=-6a+2a-13=-6(a-1)62-1 10，故 f （x）有一个零点6 3综上， f （x）只有一个零点（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修44：坐标系与参数方程 （ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C的参数方程为x=2cos y=4sin （为参数） ，直线 l 的参数方程为x=1+tcos y=2+tsin （t 为参数）（1）求 C和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ，求 l 的斜率

17、【解析】（1）曲线 C的直角坐标方程为2 2x y+ =14 16当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 y=tan x+2-tan ，当 cos =0 时， l 的直角坐标方程为 x=1第 5页共 10 页高考真题高三数学（2）将 l 的参数方程代入 C的直角坐标方程， 整理得关于 t 的方程 (1+3cos2)t 2+4(2cos +sin )t-8=0 因为曲线 C截直线 l 所得线段的中点(1,2) 在 C内，所以有两个解，设为 t 1，t 2，则t 1+t 2=0又由得 2cos+sin =0，于是直线 l 的斜率 k=tan =-2 23 选修45：不等式选讲 （10 分）设函

18、数 f(x)=5-|x-a|-|x-2| （1）当 a=1 时，求不等式 f(x) 0 的解集；（2）若 f(x) 1，求 a 的取值范围2x+4 x -1【解析】（1）当 a=1 时， 2 -12（2） f(x) 1 等价于 |x+a|+|x-2| 4而|x+a|+|x-2| |a+2| ，且当 x=2 时等号成立故f(x) 1 等价于 |a+2| 4得 a -6 或 a 2，所以 a 的取值范围是 (- ,-6 2,+ ) 第 6页共 10 页高考真题 高三数学绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1D 2C 3B 4B 5D 6A7A 8B 9C

19、 10C 11D 12C二、填空题13y=2x2 149 1532168三、解答题17解：（1）设a n 的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以a n 的通项公式为 an=2n92（2）由（ 1）得 Sn=n 8n=（n4）216所以当 n=4 时，Sn 取得最小值，最小值为 1618解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为$ =30.4+13.5 19=226.1 （亿元）y利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为$ =99+17.5 9=256.5 （亿元）y（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i ）

20、从折线图可以看出， 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近， 这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势， 利用 2010 年至 2016年的数据建立的线性模型 $y =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii ）

21、从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1第 7 页 共 10 页高考真题 高三数学亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分学科 网19解：（1）因为 AP=CP=AC=，4 O为 AC的中点，所以 OPAC，且 OP=2 3 连结 OB因为 AB=BC=221AC ，所以 ABC为等腰直角三角形，且 OBAC，OB=2AC =2由2 2 2OP OB PB 知，OPOB由 OPOB，OPAC知 PO平面 ABC（2）作 C

22、HOM，垂足为 H又由（ 1）可得 OPCH，所以 CH平面 POM故 CH的长为点 C到平面 POM的距离1由题设可知 OC=22AC =2，CM=3BC =4 23，ACB=45 所以 OM=2 53OC MC sin ACB OM，CH= 4 5 5所以点 C到平面 POM的距离为 4 5520解：（1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x1）（k0）设 A（x1，y1），B（x2，y2）由y k(x 1)2y 4x得2 2 (2 2 4) 2 0k x k x k 216k 16 0 ，故22k 4x x1 2 2k所以24k 4AB AF BF (x 1) (x 1)1

23、2 2k由题设知24k 42k8，解得 k=1（舍去），k=1第 8 页 共 10 页高考真题高三数学因此 l 的方程为 y=x 1（2）由（ 1）得 AB的中点坐标为（ 3， 2），所以 AB的垂直平分线方程为y 2 ( x 3) ，即 y x 5 设所求圆的圆心坐标为（ x0， y0），则y x 5，0 02( y x 1)2 0 0(x 1) 16.02解得x0y03，或2x0y011，6.因此所求圆的方程为2 2(x 3) (y 2) 16或2 2(x 11) (y 6) 144 21解：（1）当 a=3 时， f （x）=133 2x 3x 3x 3 ， f （ x）=2x 6x 3

24、 令 f （ x） =0 解得 x= 3 2 3 或 x= 3 2 3 当 x（ ， 3 2 3 ）（ 3 2 3 ，+）时， f （ x） 0；当 x（ 3 2 3 ， 3 2 3 ）时， f （ x）0故 f （x）在（ ， 3 2 3 ），（ 3 2 3 ，+）单调递增，在（ 3 2 3 ， 3 2 3 ）单调递减3x 2（2）由于 x x ，所以 f (x) 0 等价于 2 3a 0 1 0x x 1 2 23x x (x 2x 3)设 g (x) = a ，则g （ x）= 0，仅当 x=0 时 g （ x）=0，所以 g（x）在（2 32 2 (x x 1)x x 1， +）单调递增故 g（x）至多有一个零点，从而 f （x）至多有一个零点学 科网又 f （3a 1）= 2 1 1 2 16a 2a 6(a ) 0 ，f （3a+1）= 3 6 6130，故 f （x）有一个零点综上， f