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幂函数与二次函数
§2.4 幂函数与二次函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解幂函数的概念．
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝
，y＝
的图象，了解它们的变化情况．
3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质．
4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题.
以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.
1．幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（2）常见的5种幂函数的图象
（3）常见的5种幂函数的性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞）
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞）
R
[0，＋∞）
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
2.二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式：
一般式：
f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．
顶点式：
f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），顶点坐标为（m，n）．
零点式：
f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的零点．
（2）二次函数的图象和性质
解析式
f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）
f（x）＝ax2＋bx＋c（a<0）
图象
定义域
（－∞，＋∞）
（－∞，＋∞）
值域
单调性
在x∈
上单调递减；在x∈
上单调递增
在x∈
上单调递增；在x∈
上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－
对称
知识拓展
1．幂函数的图象和性质
（1）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
（2）幂函数的图象过定点（1,1），如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
（3）当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞）上为增函数；
当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞）上为减函数．
2．若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当
时恒有f（x）>0，当
时，恒有f（x）<0.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是
.（ × ）
（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．（ × ）
（3）在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（ √ ）
（4）函数y＝2
是幂函数．（ × ）
（5）如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（ √ ）
（6）当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．（ × ）
题组二 教材改编
2．[P79T1]已知幂函数f（x）＝k·xα的图象过点
，则k＋α等于（ ）
A.
B．1C.
D．2
答案 C
解析 由幂函数的定义，知
∴k＝1，α＝
.∴k＋α＝
.
3．[P44A组T9]已知函数f（x）＝x2＋4ax在区间（－∞，6）内单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．a≥3B．a≤3
C．a＜－3D．a≤－3
答案 D
解析 函数f（x）＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间（－∞，6）内单调递减可知，区间（－∞，6）应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
题组三 易错自纠
4．幂函数f（x）＝x
（a∈Z）为偶函数，且f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数，则a等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案 C
解析 因为a2－10a＋23＝（a－5）2－2，
f（x）＝x
（a∈Z）为偶函数，
且在区间（0，＋∞）上是减函数，
所以（a－5）2－2<0，从而a＝4,5,6，
又（a－5）2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
5．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是（ ）
答案 D
解析 由a＋b＋c＝0和a>b>c知，a>0，c<0，
由c<0，排除A，B，又a>0，排除C.
6．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．
答案 －1
解析 函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝
>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，
∴ymin＝2－6＋3＝－1.
题型一 幂函数的图象和性质
1．已知点
在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数
答案 A
解析 设f（x）＝xα，由已知得
α＝
，解得α＝－1，因此f（x）＝x－1，易知该函数为奇函数．
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞bD．a＞b＞d＞c
答案 B
解析 由幂函数的图象可知，在（0,1）上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d，故选B.
3．若a<0，则0.5a，5a，5－a的大小关系是（ ）
A．5－a<5a<0.5aB．5a<0.5a<5－a
C．0.5a<5－a<5aD．5a<5－a<0.5a
答案 B
解析 5－a＝
a，因为a<0时，函数y＝xa在（0，＋∞）上单调递减，且
<0.5<5，
所以5a<0.5a<5－a.
思维升华
（1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
（2）在区间（0,1）上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在区间（1，＋∞）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
（3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
题型二 求二次函数的解析式
典例
（1）已知二次函数的图象过点（0,1），对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为__________________．
答案 f（x）＝
x2－2x＋1
解析 依题意可设f（x）＝a（x－2）2－1，
又其图象过点（0,1），∴4a－1＝1，
∴a＝
，∴f（x）＝
（x－2）2－1＝
x2－2x＋1.
（2）已知二次函数f（x）与x轴的两个交点坐标为（0,0）和（－2,0）且有最小值－1，则f（x）＝________.
答案 x2＋2x
解析 设函数的解析式为f（x）＝ax（x＋2），
所以f（x）＝ax2＋2ax，由
＝－1，
得a＝1，所以f（x）＝x2＋2x.
思维升华求二次函数解析式的方法
跟踪训练
（1）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R，a≠0），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，则f（x）＝________.
（2）若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝________.
答案
（1）x2＋2x＋1
（2）－2x2＋4
解析
（1）设函数f（x）的解析式为f（x）＝a（x＋1）2＝ax2＋2ax＋a，
由已知f（x）＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，
故f（x）＝x2＋2x＋1.
（2）由f（x）是偶函数知f（x）图象关于y轴对称，
∴－a＝－
，即b＝－2，∴f（x）＝－2x2＋2a2，
又f（x）的值域为（－∞，4]，∴2a2＝4，故f（x）＝－2x2＋4.
题型三 二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的图象
典例两个二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c与g（x）＝bx2＋ax＋c的图象可能是（ ）
答案 D
解析 函数f（x）图象的对称轴为x＝－
，函数g（x）图象的对称轴为x＝－
，显然－
与－
同号，故两个函数图象的对称轴应该在y轴的同侧．只有D满足．
命题点2 二次函数的单调性
典例函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在区间[－1，＋∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－3,0）B．（－∞，－3]
C．[－2,0]D．[－3,0]
答案 D
解析 当a＝0时，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上递减，满足题意．
当a≠0时，f（x）的对称轴为x＝
，
由f（x）在[－1，＋∞）上递减知
解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]．
引申探究
若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1的单调减区间是[－1，＋∞），则a＝________.
答案 －3
解析 由题意知f（x）必为二次函数且a<0，
又
＝－1，∴a＝－3.
命题点3 二次函数的最值
典例已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解 f（x）＝a（x＋1）2＋1－a.
（1）当a＝0时，函数f（x）在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
（2）当a＞0时，函数f（x）在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f
（2）＝8a＋1＝4，解得a＝
；
（3）当a＜0时，函数f（x）在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f（－1）＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为
或－3.
引申探究
将本例改为：
求函数f（x）＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．
解 f（x）＝（x＋a）2＋1－a2，
∴f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.
（1）当－a＜
即a＞－
时，f（x）max＝f
（2）＝4a＋5，
（2）当－a≥
即a≤－
时，f（x）max＝f（－1）＝2－2a，
综上，f（x）max＝
命题点4 二次函数中的恒成立问题
典例
（1）已知函数f（x）＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f（x）>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________________．
答案 （－∞，－1）
解析 f（x）>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，
令g（x）＝x2－3x＋1－m，
要使g（x）＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g（x）＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g（x）＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g（x）min＝g
（1）＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是（－∞，－1）．
（2）已知a是实数，函数f（x）＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，成立；
当x≠0时，a<
2－
，因为
∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），当x＝1时，右边取最小值
，∴a<
.
综上，实数a的取值范围是
.
思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：
（1）抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；
（2）要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”（作草图），再“定量”（看图求解）．
（3）由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
解题思路：
一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．
跟踪训练
（1）设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（ ）
答案 D
解析 由A，C，D知，f（0）＝c＜0，
从而由abc＞0，所以ab＜0，所以对称轴x＝－
＞0，知A，C错误，D满足要求；由B知f（0）＝c＞0，
所以ab＞0，所以x＝－
＜0，B错误．
（2）已知函数f（x）＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞），则a的值为________．
答案 －1或3
解析 由于函数f（x）的值域为[1，＋∞），
所以f（x）min＝1.又f（x）＝（x－a）2－a2＋2a＋4，
当x∈R时，f（x）min＝f（a）＝－a2＋2a＋4＝1，
即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.
（3）设函数f（x）＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 由题意得a＞
－
对1＜x＜4恒成立，
又
－
＝－2
2＋
，
＜
＜1，
∴
max＝
，∴a＞
.
数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用
典例（12分）设函数f（x）＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f（x）的最小值．
思想方法指导 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．
规范解答
解 f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.[2分]
当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图
（1）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为f（t＋1）＝t2＋1；[5分]
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图
（2）所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f
（1）＝1；[8分]
当t＞1时，函数图象如图（3）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值为f（t）＝t2－2t＋2.[11分]
综上可知，f（x）min＝
[12分]
1．若函数f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（－5，－3）上（ ）
A．先减后增B．先增后减
C．单调递减D．单调递增
答案 D
2．（2017·江西九江七校联考）若幂函数f（x）＝（m2－4m＋4）·
在（0，＋∞）上为增函数，则m的值为（ ）
A．1或3B．1C．3D．2
答案 B
解析 由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8＞0，
解得m＝1.
3．已知函数f（x）＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意知
即
得a>
.
4．已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0,2]上是增函数，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，＋∞）B．（－∞，0]
C．[0,4]D．（－∞，0]∪[4，＋∞）
答案 C
解析 由题意可知函数f（x）的图象开口向下，对称轴为x＝2（如图），
若f（a）≥f（0），从图象观察可知0≤a≤4.
5．已知二次函数f（x）＝2ax2－ax＋1（a<0），若x1A．f（x1）＝f（x2）B．f（x1）>f（x2）
C．f（x1）答案 C
解析 该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝
，
又依题意，得x1<0，x2>0，又x1＋x2＝0，
∴当x1，x2在对称轴的两侧时，
－x1>x2－
，故f（x1）当x1，x2都在对称轴的左侧时，
由单调性知f（x1）综上，f（x1）6．若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间（1,4）内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2）B．（－2，＋∞）
C．（－6，＋∞）D．（－∞，－6）
答案 A
解析 不等式x2－4x－2－a＞0在区间（1,4）内有解等价于a＜（x2－4x－2）max，令f（x）＝x2－4x－2，x∈（1,4），
所以f（x）＜f（4）＝－2，所以a＜－2.
7．已知P＝，Q＝
3，R＝
3，则P，Q，R的大小关系是________．
答案 P＞R＞Q
解析 P＝＝
3，根据函数y＝x3是R上的增函数，且
＞
＞
，
得
3＞
3＞
3，
即P＞R＞Q.
8．已知幂函数f（x）＝
，若f（a＋1）答案 （3,5）
解析 ∵幂函数f（x）＝
单调递减，定义域为（0，＋∞），∴由f（a＋1）解得39．对于任意实数x，函数f（x）＝（5－a）x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是__________．
答案 （－4,4）
解析 由题意可得
解得－410．若f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝
在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．
答案 （0,1]
解析 由f（x）＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a，＋∞），∴a≤1.
∵y＝
在（－1，＋∞）上为减函数，
∴由g（x）＝
在[1,2]上是减函数可得a>0，
故011．已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．
答案 －1或2
解析 f（x）＝－（x－a）2＋a2－a＋1，
当a≥1时，f（x）max＝f
（1）＝a＝2，即a＝2；
当0当a<0时，f（x）max＝f（0）＝1－a＝2，
∴a＝－1.综上，a＝－1或a＝2.
12．已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3.
（1）当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解
（1）当a＝2时，f（x）＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴x＝－
∈[－2,3]，
∴f（x）min＝f
＝
－
－3＝－
，
f（x）max＝f（3）＝15，
∴函数f（x）的值域为
.
（2）对称轴为x＝－
.
①当－
≤1，即a≥－
时，
f（x）max＝f（3）＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－
满足题意；
②当－
＞1，即a＜－
时，
f（x）max＝f（－1）＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．
综上可知，a＝－
或－1.
13．已知函数f（x）＝x2＋bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由题意知f（x）＝x2＋bx＝
2－
，
f（x）min＝－
，令t＝x2＋bx≥－
，
则f（f（x））＝f（t）＝t2＋bt＝
2－
，
当b＜0时，f（f（x））的最小值为－
，所以“b＜0”能推出“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”；
当b＝0时，f（f（x））＝x4的最小值为0，f（x）的最小值也为0，
所以“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”不能推出“b＜0”，选A.
14．当x∈（1,2）时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
答案 （－∞，－5]
解析 方法一 ∵不等式x2＋mx＋4<0对x∈（1,2）恒成立，
∴mx<－x2－4对x∈（1,2）恒成立，
即m<－
对x∈（1,2）恒成立，
令y＝x＋
，则函数y＝x＋
在x∈（1,2）上是减函数．∴4<－4，
∴m≤－5.
方法二 设f（x）＝x2＋mx＋4，当x∈（1,2）时，
由f（x）<0恒成立，得
解得
即m≤－5.
15．若函数f（x）＝x2－a|x－1|在[0，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 f（x）＝
当x∈[1，＋∞）时，f（x）＝x2－ax＋a＝
2＋a－
，
当x∈（－∞，1）时，f（x）＝x2＋ax－a＝
2－a－
.
①当
>1，即a>2时，f（x）在
上单调递减，在
上单调递增，不合题意；
②当0≤
≤1，即0≤a≤2时，符合题意；
③当
<0，即a<0时，不符合题意．
综上，a的取值范围是[0,2]．
16．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0，b∈R，c∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值是f（－1）＝0，且c＝1，
F（x）＝
求F
（2）＋F（－2）的值；
（2）若a＝1，c＝0，且|f（x）|≤1在区间（0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
解
（1）由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－
＝－1，
解得a＝1，b＝2，∴f（x）＝（x＋1）2.
∴F（x）＝
∴F
（2）＋F（－2）＝（2＋1）2＋[－（－2＋1）2]＝8.
（2）由题意得，f（x）＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在（0,1]上恒成立，
即b≤
－x且b≥－
－x在（0,1]上恒成立．
又当x∈（0,1]时，
－x的最小值为0，－
－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2,0]．
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