平行四边形的证明题.docx
《平行四边形的证明题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平行四边形的证明题.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
平行四边形的证明题
平行四边形的证明题
一.解答题（共30小题）
1.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE丄BD于E,CF丄BD于F.
（1）求证：
BE=DF；
（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN,试判断四边形MENF的形状（不必说明理山）.
2.如图所示，?
AECF的对角线相交于点6DB经过点6分别与AE,CF交于B,
求证：
四边形ABCD是平行四边形.
3•如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BF=DE,AE丄BD,CF丄BD,垂足分别为E,F.
（1）求证：
AABE^ACDF；
（2）若AC与BD交于点6求证：
AO=CO・
4.已知：
如图，在ZiABC中，ZBAC=90°,DE、DF是厶ABC的中位线，连接
5•如图，已知D是Z\ABC的边AB±一点，CE〃AB,DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明.
6.如图，已知，7ABCD中，AE=CF,M、N分别是DE、BF的中点.求证：
四边形MFNE是平行四边形.
7.如图，平行四边形ABCD,E、F两点在对角线BD上，且BE=DF,连接AE,EC,CF,FA.
求证：
四边形AECF是平行四边形.
8.在?
ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边厶ADE和等边△BCF,连接BE、DF.求证：
四边形BEDF是平行四边形.
2
9.如图所示，DB〃AC,HDB=2AC,E是AC的中点，求证：
BC二DE.
10.已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以lcm/s的速度运动，到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形.问当P,Q同时出发，儿秒后其中一个四边形为平行四边形？
11.如图：
已知D、E、F分别是ZiABC各边的中点,
求证：
AE与DF互相平分.
12・已知：
如图，在7ABCD中，对角线AC交BD于点O,四边形AODE是平行四边形.求证：
四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形.
13・如图，已知四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上.
求证：
EF和GH互相平分.
14.如图：
？
ABCD中，MN//AC,试说明MQ=NP.
15・已知：
如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点6EF经过点O并且分别和AB,CD相交于点E,F,点G,H分别为OA,OC的中点.求证：
四边形EHFG是平行四边形.
16•如图，已知在7ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG二CH,连接GE、EH、HF、FG・
（1）求证：
四边形GEHF是平行四边形；
（2）若点G、H分别在线段BA和DC±,其余条件不变，则
（1）中的结论是否成立？
（不用说明理由）
17.如图，在AABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE、CF.
（1）求证：
AF=CE：
（2）如果AC=EF,且ZACB二135。
，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论.
18.如图平行四边形ABCD中，ZABC=60°,点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE〃BD,EF丄BF,垂足为点F,DF=2
（1）求证：
D是EC中点;
（2）求FC的长.
19•如图，已知ZiABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，ZEFB=60\
DC=EF・
（1）求证：
四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF,求证：
AE=AD.
20.如图，四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
（1）请判断四边形EFGH的形状？
并说明为什么；
（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
C
21・如图，AACD.AABE>ABCF均为直线BC同侧的等边三角形.
（1）当ABhAC时，证明：
四边形ADFE为平行四边形；
（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪儿类？
直接写出构成图形的类型和相应的条件.
22.如图，以AABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即AABD、△BCE、AACF,那么，四边形AFED是否为平行四边形？
如果是，请证明之,如果不是，请说明理山.
23・在Z\ABC中，AB二AC,点P为AABC所在平面内一点，过点P分别作PE〃AC交AB于点E,PF/7AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上（如图1）,此时PD=O,可得结论：
PD+PE+PF二AB・
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在AABC内（如图2）,AABC外（如图3）时，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，PD,PE,PF与AB之间乂有怎样的数量关系,请写出你的猜想，不需要证明
24.如图1,P为RtAABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），ZACB=90°,M为AB边中点.操作：
以PA、PC为邻边作平行四边形PADC,连续PM并延长到点E,使ME=PM,连接DE・
探究：
（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；
（2）请你利用图2,图3选择不同位置的点P按上述方法操作；
（3）经历
（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；
（注意：
错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）
（4）若将"RtAABC"改为〃任意△ABC",其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）.
25・在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成
（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组；
（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；
（3）lll±述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？
26•如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,ZBCD=RtZ,AB=AD=10cm,BC=8cm.点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动.已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t・
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得ABPQ的面积为20cm2?
若存在，请求岀所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理山.
27・已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0,0）、A（2,0）、B（1,1）,则第四个顶点C的坐标是多少？
28・已知平行四边形ABCD的周长为36cm,过D作AB,BC边上的高DE、DF,且DE二4负口D25価cir,求平行四边形ABCD的面积.
29•如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形,A、B、C的坐标分别是A（・3,V2）,B（-2,3^2）,C（2,3^2）,点D在第一象限.
（1）求D点的坐标；
（2）将平行四边形ABCD先向右平移血个单位长度，再向下平移血个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？
（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？
30.如图所示.？
ABCD中，AF平分ZBAD交BC于F,DE丄AF交CB于E.求证：
BE二CF.
1、解答：
（1）V四边形ABCD是平行四边形，AAB=CD,AB〃CD,AZABD=ZCDB.VAE丄BD于E,CF丄BD于F,
AZAEB=ZCFD=90\AAABE^ACDF（A・A・S・）,ABE=DF：
（2）四边形MENF是平行四边形.
证明：
有
（1）可知：
BE=DF,•••四边形ABCD为平行四边行，•••AD〃BC,AZMDB=MBD,•••DM二BN,AADNF^ABNE,ANE=MF,ZMFD=ZNEB,AZMFE=ZNEF,•••MF〃NE,•••四边形MENF是平行四边形.
•••OE=OF,OA=OC,AE〃CF,AZDFO=ZBEO,ZFDO=ZEBO,AAFDO^AEBO,AOD=OB.VOA=OC>四边形ABCD是平行四边形・
3、解答：
证明：
（1）VBF=DE,•••BF-EF=DE・EF,即BE=DE,
VAE丄BD,CF丄BD,ZAEB=ZCFD=90%
VAB=CD>ARtAABE^RtACDF（HL）：
（2）VAABE^ACDF,AZABE=ZCDF,AABCD,
VAB=CD,•••四边形ABCD是平行四边形，AAO=CO・
4、解答：
证明：
TDE,DF是ZkABC的中位线，ADE/7AB,DF〃AC,
・•.四边形AEDF是平行四边形，
又VZBAC=90°,•••平行四边形AEDF是矩形，AEF=AD・
5、解答：
解：
猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：
平行且相等.证明：
VCE/7AB.AZDAO=ZECO,
•••OA=OC,•••△ADO竺△ECO,AAD=CE.t四边形ADCE是平行四边形，:
.CdJIaE.
6、解答：
证明：
由平行四边形可知，AD=CB,ZDAE=ZFCB,—
又VAE=CF,AADAE^ABCF,ADE=BF.ZAED=ZCFB
又VM.N分别是DE、BF的中点，•••ME=NF
又由AB〃DC,得ZAED=ZEDC.\ZEDC=ZBFC,AMENF/.四边形MFNE为平行四边形.
7、解答：
证明：
连接AC交BD于点O,
•••四边形ABCD为平行四边形，AOA=OC>OB=OD・
VBE=DF,AOE=OF..I四边形AECF为平行四边形.
8、解答：
证明：
•••四边形ABCD是平行四边形，
ACD=AB,AD=CB,ZDAB=ZBCD・
又••'△ADE和厶CBF都是等边三角形.•'•DE二BF,AE=CF・ZDAE=ZBCF=60°.
•••ZDCF=ZBCD-ZBCF.ZBAE=ZDAB-ZDAE,
AZDCF=ZBAE・•••△DCF9ABAE（SAS）.ADF=BE・四边形BEDF是平行四边形.
9、解答：
证明：
TE是AC的中点,AEC-1AC,
2
又VDB=AaC,/.DB=EC・
2
又•••DB〃EC,•••四边形DBCE是平彳亍四边形.ABC=DE・
10、解答：
解：
设P,Q同时出发I秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t,PD=24-t,CQ=2t,BQ=30-2t.
（1）若四边形PDCQ是平行四边形,则PD=CQ,・・・24・t=2t.\t=8.\8秒后四边形PDCQ是平行四边形：
（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ,At=30-2t.-.t=10.\10秒后四边形APQB是平行四边形
11、解答：
证明：
TD、E、F分别是△ABC%边的中点，根据中位线泄理知：
DE〃AC,DE=AF,
EF〃AB,EF=AD,
・•・四边形ADEF为平行四边形.故AE与DF互相平分.
12、解答：
证明：
V7ABCD中，对角线AC交BD于点6AOB=OD,
又，••四边形AODE是平行四边形，•••AE〃OD且AE=OD,二AE〃OB且AE=OB,•••四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形.
13、解答：
证明：
连接EG、GF、FH.HE,点E.F、G、H分别是AB、CD、AC.BD的中点.
在AABC中，EG=1BC：
在ADBC中，HF二IbC,
22
•••EG=HF・
同理EH=GF.
•••四边形EGFH为平行四边形.AEF与GH互相平分.
14、解答：
证明：
•••四边形ABCD是平行四边形，•••AM〃QC,AP〃NC・
又・.・MN〃AC,・•・四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形.
•••AC=MQAC=NP・AMQ=NP・
15、解答：
证明：
如答图所示，
•••点O为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,AOA=OC,OB=OD.
TG,H分别为OA,OC的中点，•••OG=ioA,OH=ioC,.\OG=OH・
22
又TAB/yCD,AZ1=Z2.
l^tAOEB和△OFD中，
Z1=Z2.OB=OD,Z3=Z4,
AAOEB^AOFD,
16、解答：
（I）证明：
I四边形ABCD是平行四边形，
17.•••AB=CD,AB〃CD,AZGBE=ZHDF.
又•••AG=CH,ABG=DH・
又•••BE=DF,AAGBE^AHDF・AGE=HF,ZGEB=ZHFD,AZGEF=ZHFE,•••GE〃HF,•••四边形GEHF是平行四边形・
（2）解：
仍成立.（证法同上）
17、解答：
（1）证明：
VAF/7EC,AZDFA=ZDEC>ZDAF=ZDCE,
•••D是AC的中点，•••DA=DC,AADAF^ADCE,Z.AF=CE：
（2）解：
四边形AFCE是正方形.理由如下：
•••AF〃EC,AF=CE,t四边形AFCE是平行四边形，
又VAC=EF,•••平行四边形AFCE是矩形，ZFCE=ZCFA=90°,
而ZACB=135°,AZFCA=135°-90°=45\AZFAC=45%AFC=FA,・•・矩形AFCE是正方形.
18、解答：
（1）证明：
在平行四边形ABCD中，AB/7CD.且AB=CD.
又•••AE〃BD,•••四边形ABDE是平行四边形，AAB=DE,ACD=DE,
即D是EC的中点；
（2）解：
连接EF,VEF丄BF,•••△EFC是直角三角形，
又•••D是EC的中点，•••DF=CD=DE=2,
在平行四边形ABCD中，AB〃CD,
VZABC=60°,AZECF=ZABC=60%•'•△CDF是等边三角形，AFC=DF=2.故答案为：
2.
19、解答：
证明：
（1）VAABC是等边三角形，AZABC=60°,
VZEFB=60%AZABC=ZEFB,AEF/7DC（内错角相等,两直线平行）,•••DC=EF,.•・四边形EFCD是平行四边形；
（2）连接BE
VBF=EF,ZEFB=60°,AAEFB是等边三角形,AEB=EF,ZEBF=60°VDC=EF,•••EB=DC,
VAABC是等边三角形，AZACB=60%AB二AC,AZEBF=ZACB,AAAEB^AADC,AAE=AD・
20、解答：
解：
（I）连接AC,
如图.四边形EFGH是平行四边形.
VExF分别是AB、
BC的中点，・・・EF〃AC,EF*C
同理HG〃AC,hg4aC・：
EF〃HG,EF=HGEFGH是平行四边形;
2
（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等.
•••假若四边形EFGH为正方形，.••它的每一组邻边互相垂直且相等,
•••根据中位线左理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等.
21、解答：
（1）证明：
•••△ABE、ABCF为等边三角形，
AAB=BE=AE,BC=CF=FB,ZABE=ZCBF=60°.
AZCBA=ZFBE・•••△ABC竺Z\EBF・AEF=AC・又VAADC为等边三角形，Z.CD=AD=AC・Z.EF=AD・同理可得AE=DF.・•・四边形AEFD是平行四边形.
（2）解：
构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.
J
当图形为菱形时，ZBAO60。
（或A与F不重合、AABC不为正三角形）当图形为线段时，ZBAC=60°（或A与F重合、AABC为正三角形）.
22、解答：
解：
四边形AFED是平行四边形.
证明如下：
在ABED与ABCA中，BE=BC,BD=BA（均为同一等边三角形的边）
ZDBE=ZABC=60°-ZEBA
AABED^ABCA（SAS）ADE=AC
又•••AC=AF・・・DE=AF在厶CBA与ACEF中，CB=CE,CA=CFZACB=ZFCE=60°+ZACE
AACBA^ACEF（SAS）ABA=EF又•••BA=DA,DA=EF
故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
23、解答：
解：
图2结论：
PD+PE十PF=AB・
证明：
过点P作MN〃BC分别交AB,AC于M,N两点,
由题意得PE+PF=AM・
•••四边形BDPM是平行四边形，AMB=PD・Z.PD+PE+PF=MB+AM=AB.即PD+PE+PF=AB・
图3结论：
PE+PF-PD=AB・
24、解答：
解：
（1）DE〃BC,DE=BC,DE±AC・
（2）如图4,如图5.
（3）方法一:
如图6,
连接BE,
VPM=ME.AM=MB,ZPMA=ZEMB,AAPMA^AEMB・
•••PA=BE,ZMPA=ZMEB,APA//BE・
:
•平彳亍四边形PADC,•••PA〃DC,PA=DC・ABEDC,BE=DC,
•••四边形DEBC是平行四边形.•••DE〃BC,DE=BC・
VZACB=90°,/.BC丄AC,ADE丄AC.
方法二:
如图7,连接BE,PB,AE,
VPM=ME,AM=MB,二四边形PAEB是平行四边形.Z.PA^BE,PA=BE>余下部分同方法一：
方法三：
如图8,连接PD,交AC于N,连接MN,
•••平行四边形PADC,AAN=NC>PN=ND.
■
VAM=BM,AN=NC,Z.MN//BC,MN=AbC・
2
又VPN=ND,PM=ME,•••MN〃DE,MN」DE・ADE/7BC,DE=BC.
2
VZACB=90°,ABC丄AC.Z.DE丄AC.
（4）如图9,DE〃BC,DE=BC.
（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可.如图有：
AE=BE=DF=CF>AM=CN・
（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）.
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图，由题知：
BP=10-3t>DQ=2t/.10■3t=2t»解得t=2此时，BP=DQ=4,CQ=12.・・bq二JQ+122二4屈•••四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=8+8713；
（3）①当点P在线段AB±时，即如图3弘跑冷BP・BC詁（10一阮）x2=20/.t^|.
A
②当点P在线段BC±时，即弓<1<6时，如图
3
BP=3t-10,CQ=16-2t.\s（3t-10）x（16-21）=20
化简得：
3F-34t+100=0,A=-44<0,所以方程无实数解.
③当点P在线段CD上时，
若点P在Q的右侧，即6勺型，
5
则有PQ=34-5t
S[x8=20>t用<6,舍去
△§EFg号（34-51）5
若点卩在0的左侧，即^
5
则有PQ=5t-34,sA#（5t-34）X8二20,1=7.8.
乙
27、解答：
解：
当BC〃OA,BC=OA时，C和B的纵坐标相等，
若选择AB为对角线，则Ci（3,1）：
若选择OB为对角线，则C2（-l,1）;
当AB〃OC,AB=OC时，
选择OA为对角线，则C3（1,-1）.
故第四个顶点坐标是：
Ci（3,1）,C2（-1,1）,C3（1,-1）.
28、解答：
解：
设AB=x,贝ijBC=18-x,
由AB?
DE=BC?
DF
F得：
（18-x）,
解之x=10t
所以平行四边形ABCD的面积为40^3.
29、解答：
解：
（1）由B、C的坐标可知，AD=BC=4,则可得点D的横坐标为1,点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为伍，可得点D的坐标为（1,伍）.
（2）依题意得Ai、Bi、Ci、Di的坐标分别为A（-3+VZ^0）,B（-2皿，2血）（2（2皿,2妲，D（1+a/2>0）.
（3）如图，
平行四边形ABCD与四边形AiBiCiDi重叠部分的而积为平行四边形DEFG的面积，
由题意可得GD=AD■AG=4■/㊁，
平行四边形DEFG的高为2^2-VW2>
•••重叠部分的而积为（4-V2）?
屆皿・2・
30、解答：
证明：
在平行四边形ABCD中，AD〃BC,AZDAF=ZF,又AF平分ZBAD.AZDAF=ZBAF.AZBAF=ZF,AAB=BF>又AF平分ZBAD,DE丄AF,AZAOD=ZADO>又ZBOE=ZAOD二ZEDC,ZADO=ZE,
升级会员 