平行四边形的证明题.docx

1、平行四边形的证明题平行四边形的证明题一.解答题(共30小题)1.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE丄BD于E, CF丄BD于F.(1)求证：BE=DF；(2)若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN,试判断四边形MENF的形 状(不必说明理山).2.如图所示，?AECF的对角线相交于点6 DB经过点6分别与AE, CF交于B,求证：四边形ABCD是平行四边形.3如图，在四边形ABCD中，AB=CD, BF=DE, AE丄BD, CF丄BD,垂足分 别为E, F.(1)求证：AABEACDF；(2)若AC与BD交于点6求证：AO=CO4.已知：如图，在ZiABC中，ZBAC=90,

2、 DE、DF是厶ABC的中位线，连接5如图，已知D是ZABC的边AB一点，CEAB, DE交AC于点O,且 OA=OC,猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明.6.如图，已知，7ABCD中，AE=CF, M、N分别是DE、BF的中点. 求证：四边形MFNE是平行四边形.7.如图，平行四边形ABCD, E、F两点在对角线BD上，且BE=DF,连接AE, EC, CF, FA.求证：四边形AECF是平行四边形.8.在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边厶ADE和等边 BCF,连接 BE、DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.29.如图所示，DBAC, H DB=2AC,

3、E是AC的中点，求证：BC二DE.10.已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AD=24cm, BC=30cm,点 P 自 点A向D以lcm/s的速度运动，到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速 度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形.问当P, Q同时出发， 儿秒后其中一个四边形为平行四边形？11.如图：已知D、E、F分别是ZiABC各边的中点,求证：AE与DF互相平分.12已知：如图，在7ABCD中，对角线AC交BD于点O,四边形AODE是平 行四边形.求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形.13如图，已知四边形ABCD中，点E, F, G, H分别是A

4、B、CD、AC、BD 的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上.求证：EF和GH互相平分.14.如图：？ABCD 中，MN/AC,试说明 MQ=NP.15已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点6 EF经 过点O并且分别和AB, CD相交于点E, F,点G, H分别为OA, OC的中点.求 证：四边形EHFG是平行四边形.16如图，已知在7ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF,点G、H 分别在BA和DC的延长线上，且AG二CH,连接GE、EH、HF、FG(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)若点G、H分别在线段BA和DC,其余条件不变，则(1)中

5、的结论是 否成立？(不用说明理由)17.如图，在AABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作 BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE、CF.(1)求证：AF=CE：(2)如果AC=EF,且ZACB二135。，试判断四边形AFCE是什么样的四边形， 并证明你的结论.18.如图平行四边形ABCD中，ZABC=60,点E、F分别在CD、BC的延长 线上，AEBD, EF丄BF,垂足为点F, DF=2(1)求证：D是EC中点;(2)求FC的长.19如图，已知ZiABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，ZEFB=60DC=EF(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；

6、(2)若 BF=EF,求证：AE=AD.20.如图，四边形ABCD, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.(1)请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；(2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性 质？C21如图，AACD. AABE ABCF均为直线BC同侧的等边三角形.（1） 当ABhAC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2） 当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪儿类？直接 写出构成图形的类型和相应的条件.22.如图，以AABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即AABD、 BCE、AACF,那么，四边形A

7、FED是否为平行四边形？如果是，请证明之, 如果不是，请说明理山.23在ZABC中，AB二AC,点P为AABC所在平面内一点，过点P分别作PE AC交AB于点E, PF/7AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上 （如图1）,此时PD=O,可得结论：PD+PE+PF二AB请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在AABC内（如图2）, AABC外（如图3）时，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，PD, PE, PF与AB之间乂有怎样的数量关系, 请写出你的猜想，不需要证明24.如图1,P为RtAABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），ZACB=90, M为AB边中点

8、.操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC,连续PM并延 长到点E,使ME=PM,连接DE探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2） 请你利用图2,图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3） 经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明； 如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4） 若将RtAABC改为任意 ABC,其他条件不变，利用图4操作，并写 出与线段DE有关的结论（直接写答案）.25在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成（1） 根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分

9、割成满足以上全等关系的直 线有无数组；（2） 请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3） lll述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？26如图，在直角梯形 ABCD 中，AB/CD, ZBCD=RtZ, AB=AD=10cm, BC=8cm.点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q 从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动.已知动点P、Q 同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t（1） 求CD的长；（2） 当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3） 在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，

10、使得ABPQ的面积为 20cm2?若存在，请求岀所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理山.27已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O (0, 0)、A (2, 0)、B (1, 1), 则第四个顶点C的坐标是多少？28已知平行四边形ABCD的周长为36cm,过D作AB, BC边上的高DE、DF, 且DE二4负口 D25価cir,求平行四边形ABCD的面积.29如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形, A、B、C 的坐标分别是 A ( 3, V2), B ( - 2, 32), C (2, 32),点 D 在 第一象限.(1)求D点的坐标；(2)将平行四边形ABCD

11、先向右平移血个单位长度，再向下平移血个单位长 度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？(3)求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？30.如图所示.？ABCD中，AF平分ZBAD交BC于F, DE丄AF交CB于E.求 证：BE二CF.1、解答：(1) V四边形ABCD是平行四边形，AAB=CD, ABCD, AZABD=ZCDB. VAE丄BD 于 E, CF丄BD 于 F,AZAEB=ZCFD=90 AAABEACDF (A A S),ABE=DF：(2)四边形MENF是平行四边形.证明：有(1)可知：BE=DF, 四边形ABCD为平行四边行， ADBC, A

12、ZMDB=MBD, DM二BN, AADNFABNE, ANE=MF, ZMFD=ZNEB, AZMFE=ZNEF, MFNE, 四边形MENF是平行四边形.OE=OF, OA=OC, AECF, AZDFO=ZBEO, ZFDO=ZEBO, AAFDOAEBO, AOD=OB. VOA=OC 四边形 ABCD 是平行四边形3、解答：证明：(1) VBF=DE, BF-EF=DEEF,即 BE=DE,VAE丄BD, CF丄BD, ZAEB=ZCFD=90%VAB=CD ARtAABERtACDF (HL)：(2 ) VAABEACDF, A ZABE=ZCDF, A AB CD,VAB=CD,

13、 四边形ABCD是平行四边形，AAO=CO4、 解答：证明：TDE, DF 是ZkABC 的中位线，ADE/7AB, DFAC,.四边形AEDF是平行四边形，又V ZBAC=90, 平行四边形AEDF是矩形，AEF=AD5、 解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等. 证明：VCE/7AB. AZDAO=ZECO,OA=OC, ADO 竺ECO, AAD=CE. t 四边形 ADCE 是平行四边形，:.CdJIaE.6、 解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB, ZDAE=ZFCB, 又 VAE=CF, AADAEABCF, ADE=BF. ZAED=ZCFB又VM

14、. N分别是DE、BF的中点，ME=NF又由 ABDC,得ZAED=ZEDC. ZEDC=ZBFC, A MENF/.四边形 MFNE 为平行四 边形.7、 解答：证明：连接AC交BD于点O,四边形ABCD为平行四边形，AOA=OC OB=ODVBE=DF, AOE=OF. .I四边形AECF为平行四边形.8、 解答：证明：四边形ABCD是平行四边形，ACD=AB, AD=CB, ZDAB=ZBCD又ADE 和厶CBF 都是等边三角形.DE二BF, AE=CF ZDAE=ZBCF=60. ZDCF=ZBCD - ZBCF. ZBAE=ZDAB - ZDAE,AZDCF=ZBAEDCF9ABAE

15、 (SAS). ADF=BE四边形 BEDF 是平行四边形.9、 解答：证明：TE是AC的中点,AEC-1AC,2又 VDB=AaC, /. DB=EC 2又DBEC, 四边形DBCE是平彳亍四边形.ABC=DE10、 解答：解：设P, Q同时出发I秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据 已知得到 AP=t, PD=24 - t, CQ=2t, BQ=30 - 2t.（1） 若四边形PDCQ是平行四边形,则PD=CQ,24t=2t.t=8.8秒后四边形PDCQ是 平行四边形：（2） 若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ, At=30 - 2t.-.t=10. 10秒后四边形

16、APQB 是平行四边形11、 解答：证明：TD、E、F分别是 ABC%边的中点，根据中位线泄理知：DEAC, DE=AF,EFAB, EF=AD,四边形ADEF为平行四边形.故AE与DF互相平分.12、 解答：证明：V7ABCD中，对角线AC交BD于点6 AOB=OD,又，四边形AODE是平行四边形，AEOD且AE=OD,二AEOB且AE=OB, 四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形.13、解答：证明：连接 EG、GF、FH. HE,点 E. F、G、H 分别是 AB、CD、AC. BD 的 中点.在AABC 中，EG=1BC：在ADBC 中，HF二IbC,2 2

17、EG=HF同理EH=GF.四边形EGFH为平行四边形.AEF与GH互相平分.14、 解答：证明：四边形ABCD是平行四边形，AMQC, APNC又.MNAC,四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形. AC=MQ AC=NP A MQ=NP 15、 解答：证明：如答图所示，点O为平行四边形ABCD对角线AC, BD的交点,AOA=OC, OB=OD.TG, H 分别为 OA, OC 的中点，OG=ioA, OH=ioC, .OG=OH2 2又TAB/yCD, AZ1=Z2.ltAOEB 和OFD 中，Z1=Z2. OB=OD, Z3=Z4,AAOEBAOFD,16、 解答：（I）

18、证明：I四边形ABCD是平行四边形，17.AB=CD, ABCD, A ZGBE=ZHDF.又AG=CH, A BG=DH又BE=DF, AAGBEAHDF AGE=HF, ZGEB=ZHFD, A ZGEF=ZHFE, GEHF, 四边形GEHF是平行四边形（2）解：仍成立.（证法同上）17、 解答：（1）证明：VAF/7EC, AZDFA=ZDEC ZDAF=ZDCE,D 是 AC 的中点，DA=DC, AADAFADCE, Z.AF=CE：（2）解：四边形AFCE是正方形.理由如下：AFEC, AF=CE, t四边形AFCE是平行四边形，又 VAC=EF, 平行四边形 AFCE 是矩形，

19、ZFCE=ZCFA=90,而ZACB=135, A ZFCA=135 - 90=45 A ZFAC=45% AFC=FA, 矩形AFCE是正方形.18、 解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB/7CD.且AB=CD.又AEBD, 四边形 ABDE 是平行四边形，AAB=DE, ACD=DE,即D是EC的中点；（2）解：连接EF, VEF丄BF, EFC是直角三角形，又 D 是 EC 的中点， DF=CD=DE=2,在平行四边形ABCD中，ABCD,V ZABC=60, A ZECF=ZABC=60% CDF 是等边三角形，AFC=DF=2. 故答案为：2.19、解答：证明：（1） VA

20、ABC是等边三角形，A ZABC=60,V ZEFB=60% A ZABC=ZEFB, AEF/7DC （内错角相等,两直线平行）, DC=EF, .四边形EFCD是平行四边形；（2）连接BEVBF=EF, ZEFB=60, AAEFB 是等边三角形,AEB=EF, ZEBF=60 VDC=EF, EB=DC,VAABC 是等边三角形，A ZACB=60% AB 二 AC, A ZEBF=ZACB, AAAEBAADC, A AE=AD 20、解答：解：（I） 连接AC,如图.四边形EFGH是平行四边形.VEx F分别是AB、BC的中点，EFAC, EF*C同理 HGAC, hg4aC：EFH

21、G, EF=HGEFGH 是平行四边形;2（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等.假若四边形EFGH为正方形，.它的每一组邻边互相垂直且相等,根据中位线左理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等.21、 解答：（1）证明：ABE、ABCF为等边三角形，AAB=BE=AE, BC=CF=FB, ZABE=ZCBF=60.AZCBA=ZFBEABC竺ZEBF AEF=AC 又V A ADC为等边三角形，Z.CD=AD=ACZ. EF=AD 同理可得AE=DF.四边形AEFD是平行四边形.（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.J当图形为菱形时，ZBAO60。（或A与F不重合、AA

22、BC不为正三角形） 当图形为线段时，ZBAC=60 （或A与F重合、AABC为正三角形）.22、 解答：解：四边形AFED是平行四边形.证明如下：在ABED与ABCA中，BE=BC, BD=BA （均为同一等边三角形的边）ZDBE=ZABC=60 - ZEBAAABEDABCA （SAS） A DE=AC又AC=AFDE=AF 在厶CBA 与 ACEF 中，CB=CE, CA=CF ZACB=Z FCE=60+ Z ACEAACBAACEF (SAS) ABA=EF 又BA=DA, DA=EF故四边形AFED为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).23、解答：解：图2结论：PD+

23、PE十PF=AB证明：过点P作MNBC分别交AB, AC于M, N两点,由题意得PE+PF=AM四边形 BDPM 是平行四边形，AMB=PD Z.PD+PE+PF=MB+AM=AB. 即 PD+PE+PF=AB 图 3 结论：PE+PF - PD=AB24、解答：解：(1) DEBC, DE=BC, DEAC(2)如图4,如图5.(3)方法一:如图6,连接BE,VPM=ME. AM=MB, ZPMA=ZEMB, AAPMAAEMB PA=BE, ZMPA=ZMEB, A PA/BE :平彳亍四边形 PADC, PADC, PA=DC A BEDC, BE=DC,四边形DEBC是平行四边形.DE

24、BC, DE=BCV ZACB=90, /.BC丄AC, ADE丄AC.方法二:如图7,连接BE, PB, AE,VPM=ME, AM=MB,二四边形 PAEB 是平行四边形.Z.PABE, PA=BE 余下部分同方法一：方法三：如图8,连接PD,交AC于N,连接MN,平行四边形 PADC, AAN=NC PN=ND.VAM=BM, AN=NC, Z.MN/BC, MN=AbC2又VPN=ND, PM=ME, MNDE, MNDE ADE/7BC, DE=BC.2V ZACB=90, ABC丄AC. Z.DE丄AC.(4)如图 9, DEBC, DE=BC.（2）作图的时候要首先找到对角线的交

25、点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可.如 图有：AE=BE=DF=CF AM=CN（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）.(2)当四边形PBQD为平行四边形时， 点P在AB上，点Q在DC上，如图， 由题知：BP=10 - 3t DQ=2t/. 10 3t=2t 解得 t=2 此时，BP=DQ=4, CQ=12.bq二JQ+122二4屈 四边形 PBQD 的周长=2 (BP+BQ) =8+8713；(3)当点P在线段AB时，即如图 3 弘跑冷BPBC詁(10 一阮)x2=20 /. t|.A当点P在线段BC时，即弓16时，如图3BP=3t - 10, CQ=16 - 2t.

26、 s ( 3t - 10) x (16-21) =20化简得：3F-34t+100=0, A= - 44 t用6,舍去 EFg号(34-51) 5若点卩在0的左侧，即t5则有 PQ=5t - 34, sA # (5t - 34) X8二20, 1=7.8.乙27、 解答：解：当BCOA, BC=OA时，C和B的纵坐标相等，若选择AB为对角线，则Ci （3, 1）：若选择OB为对角线，则C2（-l, 1）;当 ABOC, AB=OC 时，选择OA为对角线，则C3（1, - 1）.故第四个顶点坐标是：Ci （3, 1）, C2 （ - 1, 1）, C3（1, - 1）.28、 解答：解：设 AB

27、=x,贝ijBC=18-x,由 AB?DE=BC?DFF得：（18-x）,解之x=10t所以平行四边形ABCD的面积为403.29、 解答：解：（1）由B、C的坐标可知，AD=BC=4,则可得点D的横坐标为1,点D的 纵坐标与点A的纵坐标相等，为伍，可得点D的坐标为（1,伍）.（2） 依题意得Ai、Bi、Ci、Di的坐标分别为A （ -3+VZ 0）, B （- 2皿，2血）（2（2皿, 2妲，D （1+a/2 0）.（3） 如图，平行四边形ABCD与四边形AiBiCiDi重叠部分的而积为平行四边形DEFG的面积，由题意可得GD=AD AG=4 /，平行四边形DEFG的高为22 - VW2重叠部分的而积为（4-V2）?屆皿230、解答：证明：在平行四边形ABCD中，ADBC, AZDAF=ZF, 又 AF 平分ZBAD. AZDAF=ZBAF. AZBAF=ZF, AAB=BF 又 AF 平分ZBAD, DE丄AF, A ZAOD=ZADO 又ZBOE=ZAOD二ZEDC, ZADO=ZE,