高一数学奥赛试题.docx
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高一数学奥赛试题
高一数学奥赛试题
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本站原创发表时间:
2010-11-2010:
16:
49
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）
1．二次函数y=2x2+4x+3的顶点坐标、对称轴分别是（）
A.（-1,1），x=-1 B.（1,1），x=1 C.（4,3），x=4 D.（-4,3），x=-4
2．设
为正整数，若
是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（）
A．
B．
C．
D．
3．已知关于
只有一个解，则化简
的结果是（）
A、2aB、2bC、2cD、0
4、2007年的夏天，我市旱情严重.7月10号、15号某居民区的人日均用水量的变化情况如图所示.若10号、15号该区的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降.当人日均用水量低于10千克时，政府将向区居民送水.那么政府应开始送水的日期为（）号
A．23B．24C．25D．26
5、若x为任意实数时，二次三项式
的值都不小于0，则常数c满足的条件是（）
A.
≥0B.c＞0C.c≥9D.c＞9
6、如图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离（y）与时间（x）之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）
7、如图AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=4，把△ADC沿直线AD折叠后，使AB和DC’相交于点E，点C落在C’的位置上，那么BC’为（）
A．1B．2
C．
D．
8、如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝60cm，AB=100cm，a、b、c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行.若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（）
A.7B.8
C.9D.10
9、如图，
是⊙O的直径，
，点
在⊙O上，
，
为弧
的中点，
是直径
上一动点，则
的最小值为（ ）
Ａ．1Ｂ．2
Ｃ．
Ｄ．
10．如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）个。
A．5B．6C．7D．8
二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．函数
的定义域是．
12、从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数
的系数
，
，则一次函数
的图象不经过第四象限的概率是________．
13．如图，已知
是⊙O
的直径，弦
于H，AC=10，CD=12，那么
的值是．
14、对于正数x，规定f（x）=
例如f（3）=
，f（
）=
，计算f（
）+f（
）+f（
）+…f（
）+f（
）+f
（1）+f
（1）+f
（2）+f（3）+…+f（2004）+f（2005）+f（2006）=.
15、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a>0）.图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为–1、3，与y轴负半轴交于点C.下面四个结论：
①2a+b=0；②a+b+c>0；③当
时，y随x值的增大而增大；④当
⑤只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是________.（只填你认为正确结论的序号）
三.解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）
（1）解不等式组
，并把解集在数轴上表示出来.
（2）先化简，再求代数式
的值，其中
，
．
17、（本小题满分12分）已知关于ｘ的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0.
⑴求证:
无论k取何值,这个方程总有实数根;
⑵若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周长.
18、（本题满分12分）某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．
（1）如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？
（2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红梅牌钢笔的数量的
，但又不少于红梅牌钢笔的数量的
．如果他们买了锦江牌钢笔
支，买这两种笔共花了
元．
①请写出
（元）关于
（支）的函数关系式，并求出自变量
的取值范围；
②请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？
19、（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.
（1）求证：
点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=
，求⊙O的直径AC的长度；
（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.
20、（本题满分13分）在芦淞服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元/件（第1周价格），并且每周价格上涨，如图示，从第6周开始到第11周保持30元/件的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，每周下跌，直到第16周周末，该服装不再销售。
⑴求销售价格
（元/件）与周次
之间的函数关系式；
⑵若这种时装每件进价Z（元/件）与周次
次之间的关系为Z＝
（1≤
≤16），且
为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？
最大利润为多少？
21、（本题满分14分）设抛物线
与x轴交于两个不同的点A（一1，0）、B（m，0），与y轴交于点C.且∠ACB=90°．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线
交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．
（3）在
（2）的条件下，求△BDP的外接圆半径．
题次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
B
C
D
B
C
D
B
二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．函数
的定义域是{x|
}．
12、从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数
的系数
，
，则一次函数
的图象不经过第四象限的概率是__
______．
13．如图，已知
是⊙O
的直径，弦
于H，AC=10，CD=12，那么
的值是
．
14、对于正数x，规定f（x）=
例如f（3）=
，f（
）=
，计算f（
）+f（
）+f（
）+…f（
）+f（
）+f
（1）+f
（1）+f
（2）+f（3）+…+f（2004）+f（2005）+f（2006）=2006.
15、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a>0）.图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为–1、3，与y轴负半轴交于点C.下面四个结论：
①2a+b=0；②a+b+c>0；③当
时，y随x值的增大而增大；④当
⑤只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是①④⑤________.（只填你认为正确结论的序号）
三.解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）
（1）解不等式组
，并把解集在数轴上表示出来.
解：
解第一个不等式得：
解第二个不等式得：
所以不等式组的解集为：
（2）先化简，再求代数式
的值，其中
，
．
解：
原式=
代入上式得：
原式=
17、（本小题满分12分）已知关于ｘ的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0.
⑴求证:
无论k取何值,这个方程总有实数根;
⑵若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周长.
解：
（1）
所以：
无论k取何值,这个方程总有实数根。
-------5分
（2）三角形ABC为等腰三角形，可能有两种情况：
1）b或c中至少有一个等于a=4，即：
方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0有一根为4，
可得k=
方程为x2-6x+8=0.另一根为2，此时三角形ABC周长为10；------9分
2）b=c时，
得k=
方程为x2-4x+4=0.得b=c=2,此时ABC不能构成三角形；
综上，三角形ABC周长为10。
--------------------12分
18、（本题满分12分）某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．
（1）如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？
（2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红梅牌钢笔的数量的
，但又不少于红梅牌钢笔的数量的
．如果他们买了锦江牌钢笔
支，买这两种笔共花了
元．
①请写出
（元）关于
（支）的函数关系式，并求出自变量
的取值范围；
②请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？
解：
（1）设能买锦江牌钢笔
支，则能买红梅牌钢笔
支．依题意，
得
．解得
．
．
答：
能买锦江牌钢笔15支，红梅牌钢笔25支．------------------5分
（2）①依题意，得
．
又由题意，有
解得
．
关于
的函数关系式为
，自变量
的取值范围是
且
为整数．--8分
②对一次函数
，
，
随
的增大而增大．
对
，当
时，
值最小．此时
，
答：
当买锦江牌钢笔8支，红梅牌钢笔32支时，所花钱最少，为217.6元．--------12分
19、（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.
（1）求证：
点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=
，求⊙O的直径AC的长度；
（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.
（1）证明：
连接DO，
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线，
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED.………………………………………2分
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°，
又∵∠B+∠A=90°
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED.
∴EB=EC，即点E是边BC的中点.………………………………………4分
（2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，BC=2DE
∴BC2=BD·BA，
∴（2EC）2=BD·BA，即BA·
=36，
∴BA=
，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC=
=
=
.………………………………………8分
（3）△ABC是等腰直角三角形.
理由：
∵四边形ODEC为正方形，
∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，
又∵点E是边BC的中点，
∴BC=2OD=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形.…………………………………………………12分
20、（本题满分13分）在芦淞服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元/件（第1周价格），并且每周价格上涨，如图示，从第6周开始到第11周保持30元/件的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，每周下跌，直到第16周周末，该服装不再销售。
⑴求销售价格
（元/件）与周次
之间的函数关系式；
⑵若这种时装每件进价Z（元/件）与周次
次之间的关系为Z＝
（1≤
≤16），且
为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？
最大利润为多少？
解：
⑴依题意，可建立的函数关系式为：
------------------------------------5分
⑵设销售利润为W，则W＝售价－进价
故W＝
化简得W＝
………………9分
①当W＝
时，∵
≥0，函数
随着
增大而增大，∵1≤
≤6
∴当
时，W有最大值，最大值＝18.5
②当W＝
时，∵W＝
，当
≥8时，函数
随
增大而增大
∴在
时，函数有最大值为
③当W＝
时，∵W＝
，∵12≤
≤16，当
≤16时，函数
随
增大而减小，
∴在
时，函数有最大值为18
综上所述，当
时，函数有最大值为
………………13分
21、（本题满分14分）设抛物线
与x轴交于两个不同的点A（一1，0）、B（m，0），与y轴交于点C.且∠ACB=90°．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线
交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．
（3）在
（2）的条件下，求△BDP的外接圆半径．
解：
（1）易知C（0,-2）,
在
得OB=4，所以：
B（4，0）即：
m=4
所以：
解得：
抛物线解析式为：
-----------------4分
（2）易得：
D（1,-3）E（6,7）
可求出
在线段OB上有点P使：
∽
，
此时
--------6分
在BA延长线上有点P使：
∽
，
此时
--------9分
（3）可求出
外接圆半径为
，
外接圆半径与
外接圆半径比等于相似比，
可得
外接圆半径为
-----------------------------14分
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