高一数学奥赛试题.docx

1、高一数学奥赛试题高一数学奥赛试题文章来源:本站原创 发表时间:2010-11-20 10:16:49 一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1二次函数y=2x2+4x+3的顶点坐标、对称轴分别是（ ） A.(-1,1)，x=-1 B.(1,1)，x=1 C.(4,3)，x=4 D.(-4,3)，x=-42设为正整数，若是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是 （ ） A B C D3已知关于只有一个解，则化简的结果是 （ ）A、2a B、2b C、2c D、04、 2007年的夏天，我市旱情严重.7月10号、15号某居民区的

2、人日均用水量的变化情况如图所示.若10号、15号该区的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降.当人日均用水量低于10千克时，政府将向区居民送水.那么政府应开始送水的日期为（ ）号A23 B24 C25 D265、若x为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数c满足的条件是( )A. 0 B. c0 C. c9 D. c96、如图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离（y）与时间（x）之间的函数图象若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（ ）7、如图AD是ABC的中线，ADC=60，BC=4，把ADC沿直线AD折叠后，使AB和DC相交于点E，点C落在C的位置

3、上，那么BC为 （ ）A1 B 2C D 8、如图 ，在ABC中，已知C=90，AC60 cm，AB=100 cm，a、b、c是在ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行. 若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72 cm，则这样的矩形a、b、c的个数是（ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 109、如图 ，是O的直径，点在O上，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（）1 2 10如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）个。A5 B6 C7 D8二. 填空题（本大

4、题共5小题，每小题5分，共25分）11函数的定义域是 12、从2，1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数的系数，则一次函数的图象不经过第四象限的概率是_13如图，已知是O的直径，弦于H，AC=10，CD=12，那么的值是 14、对于正数x，规定f（x）= ,例如f（3）=，f（）=，计算f（）+ f（）+ f（）+ f（）+ f（ ）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）= .15、如图，二次函数y=ax2+bx+c(a0).图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为1、3，与y轴负半轴交于点C.下面四

5、个结论：2a+b=0；a+b+c0；当时，y随x值的增大而增大；当只有当a= 时，ABD是等腰直角三角形； 那么，其中正确的结论是 _ .（只填你认为正确结论的序号）三. 解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本题满分12分）（1）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来.（2）先化简，再求代数式的值，其中，17、（本小题满分12分）已知关于的方程x2-(2k+1)x+4(k- )=0. 求证:无论k取何值,这个方程总有实数根; 若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周长. 18、（本题满分12分）某校九年级

6、三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支（1）如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？（2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红梅牌钢笔的数量的，但又不少于红梅牌钢笔的数量的如果他们买了锦江牌钢笔支，买这两种笔共花了元请写出（元）关于（支）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？19、（本题满分12分）如图，在

7、RtABC中，ACB=90，以AC为直径的O与AB边交于点D，过点D作O的切线，交BC于点E.（1）求证：点E是边BC的中点；（2）若EC=3，BD=，求O的直径AC的长度；（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断ABC的形状，并说明理由.20、（本题满分13分）在芦淞服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元/件（第1周价格），并且每周价格上涨，如图示，从第6周开始到第11周保持30元/件的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，每周下跌，直到第16周周末，该服装不再销售。求 销售价格（元/件）与周次之间的函数关系式；若这

8、种时装每件进价Z（元/件）与周次次之间的关系为Z（116），且为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？21、（本题满分14分）设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且ACB=90 (1)求m的值和抛物线的解析式； (2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似，求点P的坐标 (3)在(2)的条件下，求BDP的外接圆半径题次12345678910答案ADDBCDBCDB二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11函数的定义域是 x| 12、从2

9、，1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数的系数，则一次函数的图象不经过第四象限的概率是_13如图，已知是O的直径，弦于H，AC=10，CD=12，那么的值是 14、对于正数x，规定f（x）= ,例如f（3）=，f（）=，计算f（）+ f（）+ f（）+ f（）+ f（ ）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）= 2006 .15、如图，二次函数y=ax2+bx+c(a0).图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为1、3，与y轴负半轴交于点C.下面四个结论：2a+b=0；a+b+c0；当时，y随x值的增

10、大而增大；当只有当a= 时，ABD是等腰直角三角形； 那么，其中正确的结论是 _ .（只填你认为正确结论的序号）三. 解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本题满分12分）（1）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来.解：解第一个不等式得： 解第二个不等式得： 所以不等式组的解集为：（2）先化简，再求代数式的值，其中，解：原式=代入上式得：原式=17、（本小题满分12分）已知关于的方程x2-(2k+1)x+4(k- )=0. 求证:无论k取何值,这个方程总有实数根; 若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周

11、长. 解：（1）所以：无论k取何值,这个方程总有实数根。-5分（2）三角形ABC为等腰三角形，可能有两种情况：1）b或c中至少有一个等于a= 4，即：方程x2-(2k+1)x+4(k- )=0有一根为4，可得k=,方程为x2-6x+8=0.另一根为2，此时三角形ABC周长为10；-9分2）b=c时， 得k=,方程为x2- 4x+4=0.得b=c=2, 此时ABC不能构成三角形；综上，三角形ABC周长为10。 -12分18、（本题满分12分）某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢

12、每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支（1）如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？（2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红梅牌钢笔的数量的，但又不少于红梅牌钢笔的数量的如果他们买了锦江牌钢笔支，买这两种笔共花了元请写出（元）关于（支）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？解：（1）设能买锦江牌钢笔支，则能买红梅牌钢笔支依题意，得解得答：能买锦江牌钢笔15支，红梅牌钢笔25支-5分（2）依题意，得又由题意，有解得关于的函数关系式为，自变量的取值范围

13、是且为整数-8分对一次函数，随的增大而增大对，当时，值最小此时，答：当买锦江牌钢笔8支，红梅牌钢笔32支时，所花钱最少，为217.6元-12分19、（本题满分12分）如图，在RtABC中，ACB=90，以AC为直径的O与AB边交于点D，过点D作O的切线，交BC于点E.（1）求证：点E是边BC的中点；（2）若EC=3，BD=，求O的直径AC的长度；（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断ABC的形状，并说明理由.（1）证明：连接DO，ACB=90，AC为直径，EC为O的切线，又ED也为O的切线，EC=ED. 2分又EDO=90，BDE+ADO=90，BDE+A=90，又B+A=9

14、0BDE=B，EB=ED.EB=EC，即点E是边BC的中点. 4分（2）BC，BA分别是O的切线和割线，BC=2DEBC2=BDBA，（2EC）2= BDBA，即BA=36，BA=， 在RtABC中，由勾股定理得AC=. 8分（3）ABC是等腰直角三角形. 理由：四边形ODEC为正方形，DOC=ACB=90，即DOBC，又点E是边BC的中点，BC=2OD=AC,ABC是等腰直角三角形. 12分20、（本题满分13分）在芦淞服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元/件（第1周价格），并且每周价格上涨，如图示，从第6周开始到第11周保持30元/件的价

15、格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，每周下跌，直到第16周周末，该服装不再销售。求 销售价格（元/件）与周次之间的函数关系式；若这种时装每件进价Z（元/件）与周次次之间的关系为Z（116），且为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？解：依题意，可建立的函数关系式为：-5分设销售利润为W，则W售价进价故W化简得W9分当W时，0，函数随着增大而增大，16当时，W有最大值，最大值18.5当W时，W，当8时，函数随增大而增大在时，函数有最大值为当W时，W，1216，当16时，函数随增大而减小，在时，函数有最大值为18综上所述，当时，函数有最大值为13分21、（本题满

16、分14分）设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且ACB=90 (1)求m的值和抛物线的解析式； (2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似，求点P的坐标 (3)在(2)的条件下，求BDP的外接圆半径 解：（1）易知C(0,-2),在得OB=4，所以：B（4，0）即：m=4所以：解得：抛物线解析式为：-4分（2）易得：D(1,-3 ) E(6,7) 可求出在线段OB上有点P使：，此时-6分在BA延长线上有点P使：，此时-9分（3）可求出外接圆半径为，外接圆半径与外接圆半径比等于相似比，可得外接圆半径为-14分