7.当n≥10时,f（n）=n-3;当n<10时,f（n）=f[f（n+5）].求f（7）（本讲重点迭代
法）
111
*8.已知f
（1）=且当n>1时有=2（n＋1）。
求f（n）（n∈N+）（本
5f（n）f（n1）
讲重点顺序拼凑法）
9.求集合A={1,2,3,,10}所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax2+bx+c>0,的解集是{x|m0,求不等式cx2+bx+a<0
的解集
『上讲课后作业回顾』:
化学
5.有4.0克+2价金属的氧化物与足量的稀盐酸反应后，完全转化为氯化物，测得
氯化物的质量为9.5克，通过计算指出该金属的名称。
（差量法）
6.取100克胆矾，需加入多少克水才能配成溶质质量分数为40%的硫酸铜溶液（十
字交叉法）
高中思维训练班《高一数学》
第3讲函数的周期专题（下）、简单的函数对称问题
『本讲要点』:
函数的周期和对称问题一直是高考的难点,本讲对此进行专题性讲解
『重点掌握』:
凑f（x）法计算函数的周期
『需要的知识背景』:
函数的奇偶性,一次函数、二次函数
1例已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）=-f（x）
（1）证明：
f（x）是周期函数，并求最小正周期
（2）当x∈[0,1）时，f（x）=x，求在[-1,0）上的解析式
（T=2，已求好）（f（x）=-x-1，已求好）
**2例f（x）图像满足下列条件，试证明f（x）为周期函数
（1）关于x=a,x=b对称.
（2）关于（a,0）,（b,0）对称.（3）关于（a,0）,x=b对称.
*3练对函数f（x）,当x∈（-∞，+∞）时，f（2-x）=f（2+x）,f（7-x）=f（7+x）,证明函数y=f（x）
为周期函数,并求出最小正周期f（x）=f（4-x）=f（14-x）f（x）=f（x+10）T=10
推广该题，对任意不相等的两个实数a,b,如果对任意x满足f（a-x）=f（a+x）,f（b-x）=f（b+x），则该函数是以2（b-a）为周期的周期函数，证明同上面类似
4例设f（x）和g（x）均为周期函数，f（x）的周期为2，g（x）的周期为3，问：
f（x）±g（x）,f（x）g（x）是否是周期函数若是,求出它们的周期
f（x）的周期为2，--->f（x+2m）=f（x）
g（x）的周期为3，--->g（x+3n）=g（x）
2与3的最小公倍数是6，--->f（x+6s）=f（x）,g（x+6s）=g（x）
f（x+6s）±g（x+6s）=f（x）±g（x）>f（x）±g（x）是周期为6的周期函数；
f（x+6s）g（x+6s）=f（x）g（x）>f（x）g（x）也是周期为6的周期函数。
高中思维训练班《高一数学》
第4讲函数的对称专题（下）
第5讲对称与周期的关系
『本讲要点』:
较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系知识点1:
两个函数的图象对称性
性质1：
y
f（x）与y
f（x）关于x轴对称。
换种说法：
yf（x）与
yg（x）若满足f（x）
g（x），即它们关于y
0对称。
性质2：
y
f（x）与y
f（x）关于Y轴对称。
换种说法：
yf（x）与
yg（x）若满足f（x）
g（x），即它们关于x
0对称。
性质3：
y
f（x）与y
f（2ax）关于直线x
a对称。
换种说法：
yf（x）与
yg（x）若满足f（x）
g（2ax），即它们关于
xa对称
性质4：
yf（x）与y2af（x）关于直线ya对称。
换种说法：
yf（x）与yg（x）若满足f（x）g（x）2a，即它们关于ya对称。
性质5：
yf（x）与y2bf（2ax）关于点（a,b）对称。
换种说法：
yf（x）与yg（x）若满足f（x）g（2ax）2b，即它们关于点（a,b）对称。
性质6：
yf（ax）与y（xb）关于直线xab对称。
2
知识点2:
单个函数的对称性
性质1：
函数yf（x）满足f（ax）f（bx）时，函数yf（x）的图象关于直线xab对2
称。
证明：
性质2：
函数yf（x）满足f（ax）f（bx）c时，函数yf（x）的图象关于点（ab，2c）对称。
2
证明：
性质3：
函数yf（ax）的图象与yf（bx）的图象关于直线xba对称。
2
证明：
知识点3:
对称性和周期性之间的联系
性质1：
函数yf（x）满足f（ax）f（ax），f（bx）f（bx）（ab），求证：
函数
yf（x）是周期函数。
证明：
性质2：
函数yf（x）满足f（ax）f（ax）c和f（bx）f（bx）c（ab）时，函数
yf（x）是周期函数。
（函数yf（x）图象有两个对称中心（a，c）、（b，c）时，函22
数yf（x）是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）
证明：
性质3：
函数yf（x）有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4（ba）
证明：
推论：
若定义在R上的函数f（x）的图象关于直线xa和点（b,0）（ab）对称，则f（x）是周期函数，4（ba）是它的一个周期
证明：
性质4：
若函数f（x）对定义域内的任意x满足：
f（xa）f（xa）,则2a为函数f（x）的周期。
（若f（x）满足f（xa）f（xa）则f（x）的图象以xa为图象的对称轴，应注意二者的区别）
证明：
性质5：
已知函数yfx对任意实数x,都有faxfxb，则yfx是以2a为周期的函数
证明：
『例题与习题』:
1例（2005高考·福建理）f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f
（2）0，则方程f（x）0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）
A．3B．4C．5D．7
*2例f（x）的定义域是R，且f（x2）[1f（x）]1f（x）,若f（0）2008.求f（2008）的值。
3练
函数fx对于任意实数x满足条件fx2f1x，若f1
5,则
ff
5
___。
解：
由fx2
1
得fx4
1f（x），所以f（5）f
（1）
5，则
fx
fx2
ff
5f（5）
f
（1）
1
1
f（12）
5
*4例若函数f（x）在R上是奇函数，且在1，0上是增函数，且f（x2）f（x）.
①求f（x）的周期；
②证明f（x）的图象关于点（2k,0）中心对称;关于直线x2k1轴对称,（kZ）;
③讨论f（x）在（1,2）上的单调性；
解:
①由已知f（x）f（x2）f（x22）f（x4），故周期T4.
②设P（x,y）是图象上任意一点,则yf（x）,且P关于点（2k,0）对称的点为
P1（4kx,y）.P关于直线x2k1对称的点为P2（4k2x,y）
∵f（4kx）f（x）f（x）y,∴点P1在图象上,图象关于点（2k,0）对称.
又f（x）是奇函数,f（x2）f（x）f（x）
∴f（4k2x）f（2x）f（x）y
∴点P2在图象上,图象关于直线x2k1对称.
③设1x1x22，则2x2x11，02x22x11
∵f（x）在（1,0）上递增,∴f（2x1）f（2x2）⋯⋯（*）
又f（x2）f（x）f（x）∴f（2x1）f（x1）,f（2x2）f（x2）.
所以：
f（x2）f（x1），f（x）在（1,2）上是减函数.
5例已知函数yf（x）是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf（x）（1x1）是奇函数.又知yf（x）在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.
（1）证明：
f
（1）f（4）0；
（2）求yf（x）,x[1,4]的解析式；
**（3）求yf（x）在[4,9]上的解析式.
解：
∵f（x）是以5为周期的周期函数，且在[1,1]上是奇函数，∴
②当x[1,4]时，由题意可设f（x）
a（x2）2
5（a0），
由f
（1）
f（4）0得a（12）25a（4
2）25
0，∴
a2，
∴f（x）
2（x2）25（1x4）.
③∵y
f（x）（1x1）是奇函数，∴
f（0）
0，
又知y
f（x）在[0,1]上是一次函数，
∴可设
f（x）
kx（0x
1）
而f
（1）
2
2（12）253，
∴k
3，∴当0x1时，f（x）
3x，
从而1
x0时，f（x）f（x）
3x，故
1x
1时，
f（x）3x
∴当4
x6时，有1x51，
∴f（x）
f（x5）3（x
5）3x
当6x
9时，1x54，
∴f（x）
2
f（x5）2[（x5）2]25
2
2（x7）2
5
∴f（x）
3x15,4x6
2（x7）25,6x9
课后作业』
:
f
（1）f
（1）f（51）f（4），∴f
（1）f（4）0.
6练已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x
15.
2）f（x），则f（6）的值为（B）
（D）2
故函数，f（x）的周期为4
（A）－1（B）0（C）1
解：
因为f（x）是定义在R上的奇函数
所以f（0）0，又f（x4）f（x2）f（x），
所以f（6）f
（2）f（0）0，选B
7练定义在R上的非常数函数满足：
f（10+x）为偶函数，且f（5－x）=f（5+x）,则f（x）一定是（A）（第十二届高中数学希望杯第二题）
（A）是偶函数，也是周期函数（B）是偶函数，但不是周期函数
（C）是奇函数，也是周期函数（D）是奇函数，但不是周期函数
解：
∵f（10+x）为偶函数，∴f（10+x）=f（10－x）.
∴f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。
故选（A）
8练设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=－f（x）,当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=（B）
（A）0.5（B）－0.5（C）1.5（D）－1.5
解：
∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f（x+2）=－f（x）=f（－x），即f（1+x）=f（1－x），∴直线x=1
是y=f（x）对称轴，故y=f（x）是周期为2的周期函数。
∴f（7.5）=f（8－0.5）=f（－0.5）=－f（0.5）=－0.5故选（B）
高中思维训练班《高一数学》
第6讲归纳总结,作业回顾
物理**5例如图1一8所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为l1和l2，它们的下端在C点相连接并悬挂一质量为m的重物，上端分别与质量可忽略的小
圆环A、B相连，圆环套在圆形水平横杆上．A、B可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，且l1l2。
试求μ1和μ2在各种取值情况下，此系统处于静态平衡时两环之间的距离AB。
物理6作业A跳伞运动员打开伞后经过一段时间,将在空中保持匀速降落,已知运
动员和他身上装备的总重量为G1，圆顶形降落伞伞面的重量为G2，有12条相同的
拉线（拉线重量不计）,均匀分布在伞面边缘上,每根拉线和竖直方向都成30°角。
则每根拉线上的张力大小为：
（答案在本页最下边）
物理7作业如图2—7所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自动转动。
细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ，AP长度是杆长的1，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力
4
等于。
（答案在本页最下边）
化学*5作业三氟化溴溶于水可发生如下反应：
BrF3＋H2OHBrO3
＋Br2＋HF＋O2↑
（1）其中发生自身氧化还原反应的物质是；
（2）当有5.0mol水参加反应时，由水还原的BrF3的物质的量为，
由BrF3还原的BrF3的物质的量为；
（3）当有5.0mol水作还原剂参加化学反应时，由水还原的BrF3的物质的量为，由BrF3还原的BrF3的物质的量为；
（4）当有5.0mol水未参加氧化还原反应时，由水还原的BrF3的物质的量为
，由BrF3还原的BrF3的物质的量为。
答案：
（1）BrF3
（2）1.3mol0.67mol（3）3.3mol1.7mol（或1.8
mol）（4）2.2mol1.1mol
高中思维训练班《高一数学》
第6讲第一阶段考试（数学）
满分:
150分时间:
120分钟姓名分数
、选择题：
（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题只有一项是符
合要求的）
1、已知集合A=xy
2
x,x
Z，B=yy
2
x,x
Z，则A与B的关系是
AB
AIB
设全集U={1，2，
2、
3，4，5},A
CUB
1,2
，则集合CUAB的子集个数最多
A.3
B.4
C.7
D.
3、
列各图中能表示从集合A到集合B的映
设A={x|0
2},
B={y|0y
2},
x
0
x
312y
123xD.
射是
4、已知函数f（x）
ax2
c，且f（x）
0的解集为（－
2，1）则函数y
f（x）的图
象为
5、设集合A=0,12,B=
12,1,
函数
f（x）=
1
x
2
1
x,x
若x0A,B,
（x0）]A,则x0的取值范围是
1
11
A.0,1
B.
4
42
A.1B.
2
C.3
）
6、若一系列函数的解析式相同，
（
C.
D.
0,38
D.4
值域相同，
但定义域不同，则称这些函数为
生函数”，
那么函数解析式为y2x21，值域为{1，7}的“孪生函数”共有
A．10个
B．9个
C．8个
D．4个
（）
D．是奇函数又
）上是减函数，如
7、函数y1x是
x1x2
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数
是偶函数
8、已知y=f（x）是定义在R上的偶函数,且在（0,+
果x1<0,x2>0,
且|x1|<|x2|,则有（）
A．f（－x1）+f（－x2）>0B.f（x
C.f（－x1）－f（－x2）>0D.f（x1）－f（x2）<0
9、设函数f（x）2x,bxxc,0x.0,若f（-4）=f（0）,f（-2）=-2,则关于x的方程f（x）x2,x0.
的解的个数为
（A）.1（B）2（C）3（D）4（）
10、
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