福建省高一数学竞赛参考答案Word文档下载推荐.doc

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【答案】B

【解答】由，知，。

∴，。

又，因此，。

值域为。

4．给出下列命题：

（1）设，是不同的直线，是一个平面，若，，则。

（2），是异面直线，为空间一点，过总能作一个平面与，之一垂直，与另一条平行。

（3）在正四面体中，与平面所成角的余弦值为。

（4）在空间四边形中，各边长均为1，若，则的取值范围是。

其中正确的命题的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解答】

（1）显然正确。

（2）若存在平面，使得，，则。

但，是未必垂直。

故不正确。

（3）作于，则为正三角形的中心，是与平面所成角。

设，则，。

故，（3）正确。

（4）取中点，则。

由、、构成三角形知，。

故，（4）正确。

5．已知是定义在上的奇函数，且对任意，均有，当时，，则函数在区间上的零点个数为（）

A．6个B．7个C．8个D．9个

【答案】D

【解答】由知，，或。

∴在区间内有唯一零点1。

结合为奇函数知，在区间内有唯一零点。

又由知，在区间内有唯一零点2；

在区间内有唯一零点4；

在区间内有唯一零点5。

又由，知，，。

∴在区间上的零点个数为9。

6．已知函数。

给出下列四个判断：

（1）的值域是；

（2）的图像是轴对称图形；

（3）的图像是中心对称图形；

（4）方程有解。

其中正确的判断有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解答】设，，，

则。

（1）∵，与轴不相交（即、、三点不共线）。

∴等号不成立，的值域是。

（1）不正确。

（2）∵，

∴，的图像关于直线对称。

（或从几何图形上看，当与关于点对称时，）。

（2）正确。

（3）显然不正确。

（若（3）正确，则结合

（2）可得为周期函数，矛盾。

）

（4）∵，又，

∴方程有解（是方程的解）。

（4）正确。

二、填空题（每小题6分，共36分）

7．已知集合，，若，则实数的取值范围为。

【答案】

【解答】问题等价于圆在菱形内部（不含边界）。

∴，且圆心到直线的距离。

∴。

8．如图，在等腰直角三角形中，，、分别为、的中点。

将沿折起，使得折起后二面角为。

则折起后四棱锥的体积为。

【解答】由条件知，在四棱锥中，，。

∴是二面角的平面角，且。

∴，且。

作于，则。

由知，为正三角形，。

∴四棱锥的体积。

9．已知函数的图像关于点对称，则点的坐标为。

【解答】由函数定义域为；

猜测点坐标为。

下面给出证明：

∵

。

∴的图像关于点对称。

10．中，已知，若，则面积的最大值为。

【解答】以中点为坐标原点，直线为轴建立直角坐标系，则，。

设。

则由，知。

整理，得。

∴点在以为圆心，半径为的圆（除与轴的交点）上运动。

∴点到直线即轴距离的最大值为。

∴面积的最大值为。

11．已知二次函数，若对任意均有成立，则的最大值为。

【答案】8

【解答】，，，，，。

∴，

当且仅当，即时，等号成立。

∴的最大值为8。

12．不等式的解集为。

【解答】不等式化为………①；

或………②。

由，得，由于函数为增函数，且。

所以，不等式①的解为。

由，得。

设，。

如图，在同一坐标系内作函数与的图像，它们有两个交点，（），其中，。

所以，②的解为。

由①、②可知，不等式的解集为。

三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）

13．（本题满分16分）

求二次函数在区间上的最小值的表达式。

【解答】。

当时，，在区间上的最小值为。

……………4分

当时，。

若，即时，在区间上的最小值为。

……………8分

………………………12分

………………………16分

14．（本题满分16分）

已知两个同心圆：

和：

，圆上一点。

过点作圆的两条切线，切点分别为、。

（1）若点坐标为，求四边形的面积。

（2）当点在圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？

若存在，求出定圆的方程；

若不存在，请说明理由。

（1）依题意，，，且，。

∴四边形的面积为。

…………………4分

（2）设，则。

当点在圆上运动时，恒有。

∴点、在以为圆心，为半径的圆上。

该圆方程为。

……………………8分

又点、在圆：

上。

联立两圆方程，消二次项，得。

即。

∴直线方程为。

…………………12分

∵原点到直线的距离为定值。

∴圆恒与直线相切。

∴存在定圆恒与直线相切，定圆方程为。

………………16分

注：

本题也可以用平面几何方法求解：

设与的交点为，则。

…………………8分

在中，由，，，知。

…………………12分

∴以为圆心，1为半径的圆恒于直线相切。

…………………16分

15.（本题满分16分）

如图，在中，为的平分线且与交于点，为中点，、为、上的点，且。

求证：

【解答】如图，过点作的平行线交直线于点，于点。

则由为中点知，为中点。

…………………4分

∵平分，

结合知，、、、四点共圆。

……………8分

同理，。

∴，、、、四点共圆。

……………………16分

16．（本题满分16分）

给出5个互不相同的实数，若这5个数中任意两个数的和或积中至少有一个是有理数，求证：

这5个数的平方都是有理数。

【解答】设为其中的一个数，依题意，其余的4个数为或的形式，其中为有理数。

…………………………4分

（1）若这4个数中至少有2个为（）的形式，设它们为，（且，）。

则由条件知，与中至少有1个成立。

当时，，，成立。

当时，，成立。

………………………8分

（2）若这4个数中最多只有1个为（）的形式，则至少有3个数为（）的形式。

设这三个数为，，（，，互不相同，且，，）。

下面考虑这三个数的和与积。

①若，，中至少有两个为有理数。

不妨设，为有理数，

∴，成立。

………………………12分

②若，，中最多只有1个为有理数，则，，中至少有两个为有理数。

不妨设，为有理数。

则，。

两式相减，得，。

∴，成立。

由①、②知，此时成立。

综上可得，。

因此，这5个数的平方都是有理数。

……………16分

17．（本题满分14分）

（1）设集合，集合是的子集，且集合中任意两数之差都不等于6或7。

问集合中最多有多少个元素？

（2）设集合，集合是的子集，且集合中任意两数之差都不等于6或7。

（1）构造的下列13个子集：

，，，，，，，，，，，，（中每一个数恰好属于2个子集）。

由于从中任取7个元素，它们分别属于上述13个子集中的14个子集，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7。

因此，中任意7个元素都不能同时属于集合。

即中最多只有6个元素。

…………………………4分

又中任意两数之差都不等于6或7。

集合符合要求。

∴集合中最多有6个元素。

…………………………7分

（2）由

（1）知，任意连续13个正整数中最多只有6个数满足任意两数之差都不等于6或7。

由于，因此，集合中最多只有个数满足任意两数之差都不等于6或7。

……………………………11分

又显然集合是集合的子集，且集合中任意两数之差都不是6或7。

集合中有930个元素。

∴集合中最多有930个元素。

…………………………14分

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