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1、完整版高一数学竞赛培训教材有讲解和答案高中思维训练班高一数学第 1 讲 集合与函数 (上)本讲要点 : 复杂的集合关系与运算、函数定义的深化 重点掌握 : 函数的迭代1. 定义 M 与 P 的差集为 M-P=x | x M且 x 不P , 若 A=y | y=x 2 B=x | -3x3 , 再定义 MN =( M-N)(N-M)，求 A B数.若 A B a1,a4 , a1a410.且An1000，*4.函数 f (n)f(f(n5),n10005.练 习 : 定 义 : fn(x)f(f(f (x)n个3. 已知集合 Aa1,a2,a3,a4f10(x) 1024x 1023 求 f (

2、x) 的解析式 (本讲重点迭代法 ) y)=f(x) f(y) xy。求 f(x) ( 本求 f (7)( 本讲重点迭代2. 集合 A=1,2,3 中, 任意取出一个非空子集 , 计算它的各元素之和 . 则所有非空子集 的元素之和是 . 若 A=1,2,3, ,n , 则所有子集的元素之和9. 求集合 A = 1,2,3, ,10 所有非空子集的元素之和10.已知不等式 ax2+bx+c0, 的解集是 x|m x0, 求不等式 cx2+bx+a0的解集作业答案 :7.8,8. 1/ n2+3n+1,9. 略,10. x1/m答案:B-A=x|- 3x 0 A B=x|- 3x 32. 【解】分

3、析已知 1,2, ,n的所有的子集共有 2n个. 而对于 i 1,2, ,n , 显 然1,2, ,n中包含 i的子集与集合 1,2, ,i 1,i 1, , n的子集个数相等 . 这就说明 if 2(x)=ff(x)=a(ax b) b=axb(a1)f 3(x)=fff(x)=aa 2xb(a1) b=a3x b(a 2a1)10 依次类推有： f 10(x)=a 10x b(a 9a8 a1)=a10x b(1 a ) 1a由题设知：10a10=1024 且 b(1 a ) =1023 1aa=2，b=1 或 a= 2， b=3f(x)=2x 1 或 f(x)= 2x38. 解：令 y=

4、1，得 f(x 1)=f(x) x1再依次令 x=1，2， n1，有f(2)=f(1) 2f(3)=f(2) 3n(n 1)2f(n 1)=f(n 2) (n1) f(n)=f(n 1) n 依次代入，得f(n)=f(1) 23 (n1) n=x( x 1)f(x)= 2方法 3. 抽象函数的周期问题*1 例 f(x) 在 x0 上为增函数 ,且 f(x) f (x) f(y).求: y(1) f (1)的值 .当 x0 时 ,f(x)2(2) 若 f (6) 1, 解不等式 f (x 3) f (1) 2 x(1)求证 :f(x) 在 R上是增函数(2)若 f(1)=5/2, 解不等式 f(

5、2a-3) 0 的函数 , 且 f(xy) = f(x) + f(y); 当 x1 时有 f(x)1 上是增函数(3) 在 x 1 上, 若不等式 f(x) + f(2-x) 0 上, 当 x1 时 ,f(x)0; 对任意的正实数 x 和 y 都有 f(xy) = f(x) + f(y).(1) 证明 f(x) 在 x0 上为增函数(2) 若 f(5) = 1, 解不等式 f(x+1) f(2x) 2*7 已知函数 f(x) 对任意实数 x, 都有 f(x m) 1 f(x) , 求证 f(x) 是周期函数1 f(x)7. 当 n10 时,f(n)=n-3; 当 n1 时有 =2(n 1) 。

6、求 f(n) (n N+)(本5 f (n) f ( n 1)讲重点顺序拼凑法 )9. 求集合 A = 1,2,3, ,10 所有非空子集的元素之和10.已知不等式 ax2+bx+c0, 的解集是 x|m x0, 求不等式 cx2+bx+a0的解集作业答案 :6. 0x1/49 7. 周期 T=4m7. 当 n10时,f(n)=n-3; 当n1 时有 =2(n 1) 。求 f(n) (n N+)(本5 f (n) f ( n 1)讲重点顺序拼凑法 )9. 求集合 A = 1,2,3, ,10 所有非空子集的元素之和10.已知不等式 ax2+bx+c0, 的解集是 x|m x0, 求不等式 cx

7、2+bx+af(x+2m)=f(x)g(x) 的周期为 3， -g(x+3n)=g(x)2与 3的最小公倍数是 6，-f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x)f(x+6s) g(x+6s)=f(x) g(x) f(x) g(x) 是周期为 6 的周期函数；f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x) f(x)g(x) 也是周期为 6 的周期函数。高中思维训练班 高一数学 第 4 讲 函数的对称专题 ( 下 )第 5 讲 对称与周期的关系本讲要点 : 较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系 知识点 1: 两个函数的图象对称性性质 1： yf (x) 与 yf (x)关于 x

8、轴对称。换种说法：y f (x) 与y g(x)若满足 f (x)g(x) ，即它们关于 y0对称。性质 2： yf (x) 与 yf( x) 关于 Y轴对称。换种说法：y f (x) 与y g(x) 若满足 f (x)g( x) ，即它们关于 x0对称。性质 3： yf (x) 与 yf (2a x) 关于直线 xa 对称。换种说法：y f (x) 与y g(x) 若满足 f (x)g(2a x) ，即它们关于x a 对称性质 4： y f (x)与 y 2a f (x)关于直线 y a对称。换种说法： y f (x)与 y g(x)若满足 f (x) g(x) 2a ，即它们关于 y a对

9、称。性质 5： y f (x)与y 2b f(2a x) 关于点 (a,b)对称。换种说法： y f (x)与 y g(x)若满足 f (x) g(2a x) 2b ，即它们关于点 (a,b)对称。 性质 6： y f(a x)与 y (x b)关于直线 x a b 对称。2知识点 2: 单个函数的对称性性质 1：函数 y f(x)满足 f(a x) f(b x)时，函数 y f (x)的图象关于直线 x a b对 2称。证明：性质 2：函数 y f(x)满足 f(a x) f(b x) c时，函数 y f (x)的图象关于点( a b， 2 c )对称。2证明：性质 3：函数 y f(a x

10、)的图象与 y f(b x) 的图象关于直线 x b a对称。2证明：知识点 3: 对称性和周期性之间的联系性质 1：函数 y f (x) 满足 f (a x) f(a x) ， f(b x) f(b x) (a b) ，求证：函数y f ( x) 是周期函数。证明：性质 2：函数 y f(x)满足 f(a x) f(a x) c和 f(b x) f(b x) c (a b)时，函数y f ( x)是周期函数。(函数 y f (x)图象有两个对称中心( a，c )、( b， c )时，函 22数 y f (x) 是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期)证明： 性质 3：函数 y f

11、 (x)有一个对称中心( a，c)和一个对称轴 x b ( ab)时，该 函数也是周期函数，且一个周期是 4(b a)证明：推论：若定义在 R上的函数 f(x) 的图象关于直线 x a和点(b,0) (a b)对称，则 f(x) 是 周期函数， 4(b a) 是它的一个周期证明：性质 4：若函数 f(x) 对定义域内的任意 x满足： f(x a) f(x a), 则2a为函数 f(x) 的周期。(若 f(x)满足 f(x a) f(x a)则 f(x) 的图象以 x a为图象的对称轴，应 注意二者的区别 )证明：性质 5：已知函数 y f x 对任意实数 x ,都有 f a x f x b ，

12、则 y f x 是以 2a为周期的函数证明：例题与习题 :1例(2005高考福建理) f (x)是定义在 R上的以 3 为周期的奇函数，且 f(2) 0， 则方程 f(x) 0 在区间( 0，6)内解的个数的最小值是( )A 3 B4 C5 D7*2 例 f(x)的定义域是 R，且 f(x 2)1 f(x) 1 f(x),若 f(0) 2008. 求f (2008) 的值。3练函数 f x 对于任意实数 x 满足条件 f x 2 f1x ，若 f 15, 则ff5 _。解：由 f x 21得 f x 41 f (x) ， 所 以 f (5) f (1)5，则fxf x 2ff5 f( 5)f

13、( 1)11f ( 1 2)5*4例 若函数 f (x)在R上是奇函数，且在 1，0 上是增函数，且 f(x 2) f(x).求 f (x) 的周期； 证明 f (x) 的 图 象关 于点 (2k,0) 中 心 对 称 ; 关 于 直 线 x 2k 1 轴对 称 , (k Z);讨论 f(x)在 (1,2) 上的单调性；解: 由已知 f (x) f (x 2) f (x 2 2) f (x 4) ，故周期 T 4.设 P(x, y) 是图象上任意一点 , 则 y f(x) , 且 P 关于点 (2k,0) 对称的点为P1(4k x, y) . P关于直线 x 2k 1对称的点为 P2(4k 2

14、 x, y) f (4k x) f ( x) f (x) y, 点 P1在图象上 ,图象关于点 (2k,0) 对称.又 f (x)是奇函数 , f (x 2) f(x) f( x) f (4k 2 x) f (2 x) f(x) y点 P2在图象上 , 图象关于直线 x 2k 1对称 .设 1 x1 x2 2，则 2 x2 x1 1， 0 2 x2 2 x1 1 f (x)在 ( 1,0) 上递增 , f (2 x1) f (2 x2 ) (*)又 f (x 2) f (x) f ( x) f(2 x1) f(x1), f(2 x2) f (x2) .所以： f(x2) f (x1) ， f(

15、x) 在 (1,2)上是减函数 .5 例 已 知 函 数 y f (x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 函 数 ， 周 期 T 5 ， 函 数 y f(x) ( 1 x 1)是奇函数 . 又知 y f (x) 在0,1 上是一次函数， 在1,4上是二次函 数，且在 x 2 时函数取得最小值 5.( 1)证明： f(1) f (4) 0；(2)求 y f(x),x 1,4 的解析式；* (3)求 y f (x) 在 4,9 上的解析式 .解 ： f (x) 是 以 5 为 周 期 的 周 期 函 数 ， 且 在 1,1 上 是 奇 函 数 ， 当 x 1,4 时，由题意可设 f (x)a(

16、x 2) 25 (a 0) ，由 f (1)f (4) 0 得 a(1 2)2 5 a(42)2 50，a 2 ， f (x)2(x 2)2 5(1 x 4). yf (x)( 1 x 1) 是奇函数，f(0)0，又知 yf (x) 在 0,1 上是一次函数，可设f (x)kx(0 x1)而 f (1)22(1 2)2 5 3 ，k3，当 0 x 1时， f(x)3x，从而 1x 0时， f(x) f ( x)3x ，故1x1时，f (x) 3x当 4x 6 时，有 1 x 5 1 ， f(x)f (x 5) 3(x5) 3x当 6 x9时， 1 x 5 4 ， f (x)2f (x 5) 2

17、(x 5) 22 522(x 7)25 f (x)3x 15, 4 x 62(x 7)2 5, 6 x 9课后作业:f(1) f ( 1) f (5 1) f(4) ， f (1) f(4) 0.6练 已知定义在 R上的奇函数 f(x) 满足 f(x15.2) f (x)，则 f(6) 的值为( B )(D)2故函数， f (x) 的周期为 4(A) 1 (B) 0 (C) 1解：因为 f ( x)是定义在 R上的奇函数所以 f (0) 0，又 f(x 4) f (x 2) f (x)，所以 f (6) f (2) f(0) 0，选 B7练定义在 R上的非常数函数满足： f (10+x) 为偶

18、函数，且 f (5x) = f (5+x), 则 f (x) 一定是( A ) (第十二届高中数学希望杯 第二题)(A) 是偶函数，也是周期函数 (B) 是偶函数，但不是周期函数(C) 是奇函数，也是周期函数 (D) 是奇函数，但不是周期函数解：f (10+x) 为偶函数， f (10+x) = f (10 x).f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此 f (x) 是以10为其一个周期的周期函数， x =0即y轴也是 f (x) 的对称轴，因此 f (x) 还是一个偶函数。故选 (A)8 练设 f(x) 是定义在 R上的奇函数，且 f(x+2)= f(x), 当 0x1时，f

19、(x) = x ，则 f (7.5 ) = ( B )(A) 0.5 (B) 0.5 (C) 1.5 (D) 1.5解：y = f (x) 是定义在 R上的奇函数，点( 0，0)是其对称中心；又f (x+2 )= f (x) = f ( x) ，即 f (1+ x) = f (1 x) ， 直线 x = 1是 y = f (x) 对称轴，故 y = f (x) 是周期为 2 的周期函数。f (7.5 ) = f (8 0.5 ) = f ( 0.5 ) = f (0.5 ) = 0.5 故选(B)高中思维训练班 高一数学 第 6 讲 归纳总结 , 作业回顾物理*5 例如图 1一 8所示，有两根

20、不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为 l1 和l2， 它们的下端在 C 点相连接并悬挂一质量为 m的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环 A、B 相连，圆环套在圆形水平横 杆上 A、 B 可在横杆上滑动，它们与 横杆间的动摩擦因数分别为 1和 2， 且l1 l2 。试求 1和2 在各种取值情 况下，此系统处于静态平衡时两环之 间的距离 AB。物理 6 作业 A跳伞运动员打开伞后经过一段时间 , 将在空中保持匀速降落 ,已知运动员和他身上装备的总重量为 G1，圆顶形降落伞伞面的重量为 G2，有 12 条相同的拉线(拉线重量不计) , 均匀分布在伞面边缘上 , 每根拉线和竖直方 向都成 30角。则每根拉

21、线上的张力大小为： ( 答案在本页最下边 )物理 7 作业如图 27 所示， AO是质量为 m的均匀细杆，可绕 O轴 在竖直平面内自动转动。 细杆上的 P 点与放在水平桌面上的圆柱体 接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡， 已知杆的倾角为 ， AP长度是杆长的 1 ，各处的摩擦都不计， 则挡板对圆柱体的作用力4等于 。( 答案在本页最下边 )化学 *5 作业 三氟化溴溶于水可发生如下反应： BrF3 H2O HBrO 3 Br2 HF O2(1) 其中发生自身氧化还原反应的物质是 ；(2)当有 5.0 mol 水参加反应时， 由水还原的 BrF 3的物质的量为 ，由 BrF3 还原的 BrF

22、3 的物质的量为 ；(3)当有 5.0 mol 水作还原剂参加化学反应时，由水还原的 BrF3 的物质的量为 ，由 BrF3 还原的 BrF 3的物质的量为 ；(4)当有 5.0 mol 水未参加氧化还原反应时，由水还原的 BrF3 的物质的量为 ，由 BrF3 还原的 BrF 3的物质的量为 。答案： (1)BrF 3 (2)1.3 mol 0.67 mol (3)3.3 mol 1.7 mol( 或 1.8mol) (4)2.2 mol 1.1 mol高中思维训练班 高一数学 第 6 讲 第一阶段考试 (数学 )满分 :150 分 时间:120 分钟 姓名 分数、选择题：(本大题共 10

23、小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题只有一项是符合要求的)1、 已知集合 A= x y2x ,xZ ， B= y y2x ,xZ ，则 A与 B 的关系是ABAI B设全集 U =1 ，2，2、3， 4，5, ACUB1,2，则集合 CU A B的子集个数最多A. 3B. 4C. 7D.3、列各图中能表示从集合 A到集合 B 的映设 A= x|02,B= y|0 y2,x0x312y1 2 3 x D.射是4、已知函数 f (x)ax2c ，且 f(x)0 的解集为(2，1)则函数 yf ( x) 的图象为5、设集合 A= 0,12 , B=12,1 ,函数f(x)=1,x21x ,x

24、若 x 0 A, B,(x 0) A, 则 x 0的取值范围是111A. 0,1B.442A. 1 B.2C. 3)6、若一系列函数的解析式相同，(C.D.0,38D. 4值域相同，但定义域不同，则称这些函数为生函数”，那么函数解析式为 y 2x2 1，值域为 1 ，7 的“孪生函数”共有A10个B9个C8 个D4个()D是奇函数又) 上是减函数，如7、函数 y 1 x 是x 1 x 2A奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数是偶函数8、已知 y = f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数 , 且在( 0 , +果 x1 0 ,且| x 1 | 0 B. f ( xC. f ( x1 ) f ( x2 ) 0 D. f ( x 1 ) f ( x 2 ) 09、设函数 f(x) 2x, bxx c,0x. 0,若f( - 4)=f(0),f( - 2)= - 2,则关于 x的方程 f(x) x 2, x 0.的解的个数为(A). 1 (B)2 ( C)3 (D)4 ( )10、