高一数学竞赛 参考答案.docx

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高一数学竞赛参考答案

2021年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

〔考试时间：

5月11日上午8：

30－11：

00〕

一、选择题〔每题6分，共36分〕

1．集合，，假设，那么实数的取值范围为〔〕

A．B．C．D．

【答案】A

【解答】时，，符合要求。

时，，。

由知，。

，解得。

∴的取值范围为。

2．假设一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，那么该圆锥内切球的体积为〔〕

A．B．C．D．

【答案】A

【解答】设圆锥底面半径为，母线长为，那么，。

又。

因此，，。

圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。

所以，其内切球半径，其体积。

3．函数的值域为〔〕

A．B．C．D．

【答案】B

【解答】由，知，。

∴，。

又，因此，。

值域为。

4．给出以下命题：

〔1〕设，是不同的直线，是一个平面，假设，，那么。

〔2〕，是异面直线，为空间一点，过总能作一个平面与，之一垂直，与另一条平行。

〔3〕在正四面体中，与平面所成角的余弦值为。

〔4〕在空间四边形中，各边长均为1，假设，那么的取值范围是。

其中正确的命题的个数为〔〕

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解答】〔1〕显然正确。

〔2〕假设存在平面，使得，，那么。

但，是未必垂直。

故不正确。

〔3〕作于，那么为正三角形的中心，是与平面所成角。

设，那么，。

故，〔3〕正确。

〔4〕取中点，那么。

由、、构成三角形知，。

故，〔4〕正确。

5．是定义在上的奇函数，且对任意，均有，当时，，那么函数在区间上的零点个数为〔〕

A．6个B．7个C．8个D．9个

【答案】D

【解答】由知，，或。

∴在区间内有唯一零点1。

结合为奇函数知，在区间内有唯一零点。

又由知，在区间内有唯一零点2；在区间内有唯一零点4；在区间内有唯一零点5。

又由，知，，。

又。

∴在区间上的零点个数为9。

6．函数。

给出以下四个判断：

〔1〕的值域是；〔2〕的图像是轴对称图形；

〔3〕的图像是中心对称图形；〔4〕方程有解。

其中正确的判断有〔〕

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解答】设，，，

那么。

〔1〕∵，与轴不相交〔即、、三点不共线〕。

∴等号不成立，的值域是。

〔1〕不正确。

〔2〕∵，

∴，的图像关于直线对称。

〔或从几何图形上看，当与关于点对称时，〕。

〔2〕正确。

〔3〕显然不正确。

〔假设〔3〕正确，那么结合〔2〕可得为周期函数，矛盾。

〕

〔4〕∵，又，

∴方程有解〔是方程的解〕。

〔4〕正确。

二、填空题〔每题6分，共36分〕

7．集合，，假设，那么实数的取值范围为。

【答案】

【解答】问题等价于圆在菱形内部〔不含边界〕。

∴，且圆心到直线的距离。

∴。

8．如图，在等腰直角三角形中，，、分别为、的中点。

将沿折起，使得折起后二面角为。

那么折起后四棱锥的体积为。

【答案】

【解答】由条件知，在四棱锥中，，。

∴是二面角的平面角，且。

∴，且。

作于，那么。

由知，为正三角形，。

∴四棱锥的体积。

9．函数的图像关于点对称，那么点的坐标为。

【答案】

【解答】由函数定义域为；值域为。

猜想点坐标为。

下面给出证明：

∵

。

∴的图像关于点对称。

10．中，，假设，那么面积的最大值为。

【答案】

【解答】以中点为坐标原点，直线为轴建立直角坐标系，那么，。

设。

那么由，知。

整理，得。

∴点在以为圆心，半径为的圆〔除与轴的交点〕上运动。

∴点到直线即轴距离的最大值为。

∴面积的最大值为。

11．二次函数，假设对任意均有成立，那么的最大值为。

【答案】8

【解答】，，，，，。

∴，

当且仅当，即时，等号成立。

∴的最大值为8。

12．不等式的解集为。

【答案】

【解答】不等式化为………①；或………②。

由，得，由于函数为增函数，且。

所以，不等式①的解为。

由，得。

设，。

如图，在同一坐标系内作函数与的图像，它们有两个交点，，其中，。

所以，②的解为。

由①、②可知，不等式的解集为。

三、解答题〔第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，总分值78分〕

13．〔此题总分值16分〕

求二次函数在区间上的最小值的表达式。

【解答】。

当时，，在区间上的最小值为。

……………4分

当时，。

假设，即时，在区间上的最小值为。

……………8分

假设，即时，在区间上的最小值为。

………………………12分

假设，即时，在区间上的最小值为。

∴。

………………………16分

14．〔此题总分值16分〕

两个同心圆：

和：

，圆上一点。

过点作圆的两条切线，切点分别为、。

〔1〕假设点坐标为，求四边形的面积。

〔2〕当点在圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？

假设存在，求出定圆的方程；假设不存在，请说明理由。

【解答】〔1〕依题意，，，且，。

∴。

∴四边形的面积为。

…………………4分

〔2〕设，那么。

当点在圆上运动时，恒有。

∴点、在以为圆心，为半径的圆上。

该圆方程为。

……………………8分

又点、在圆：

上。

联立两圆方程，消二次项，得。

即。

∴直线方程为。

…………………12分

∵原点到直线的距离为定值。

∴圆恒与直线相切。

∴存在定圆恒与直线相切，定圆方程为。

………………16分

注：

此题也可以用平面几何方法求解：

设与的交点为，那么。

…………………8分

在中，由，，，知。

…………………12分

∴以为圆心，1为半径的圆恒于直线相切。

∴存在定圆恒与直线相切，定圆方程为。

…………………16分

15〔此题总分值16分〕

如图，在中，为的平分线且与交于点，为中点，、为、上的点，且。

求证：

。

【解答】如图，过点作的平行线交直线于点，于点。

那么由为中点知，为中点。

…………………4分

∵平分，

∴。

∴，。

结合知，、、、四点共圆。

……………8分

∴。

∴。

∴，。

同理，。

………………………12分

∴，、、、四点共圆。

∴。

……………………16分

16．〔此题总分值16分〕

给出5个互不相同的实数，假设这5个数中任意两个数的和或积中至少有一个是有理数，求证：

这5个数的平方都是有理数。

【解答】设为其中的一个数，依题意，其余的4个数为或的形式，其中为有理数。

…………………………4分

〔1〕假设这4个数中至少有2个为〔〕的形式，设它们为，〔且，〕。

那么由条件知，与中至少有1个成立。

当时，，，成立。

当时，，成立。

………………………8分

〔2〕假设这4个数中最多只有1个为〔〕的形式，那么至少有3个数为〔〕的形式。

设这三个数为，，〔，，互不相同，且，，〕。

下面考虑这三个数的和与积。

①假设，，中至少有两个为有理数。

不妨设，为有理数，

那么。

∴，成立。

………………………12分

②假设，，中最多只有1个为有理数，那么，，中至少有两个为有理数。

不妨设，为有理数。

那么，。

两式相减，得，。

∴，成立。

由①、②知，此时成立。

综上可得，。

因此，这5个数的平方都是有理数。

……………16分

17．〔此题总分值14分〕

〔1〕设集合，集合是的子集，且集合中任意两数之差都不等于6或7。

问集合中最多有多少个元素？

〔2〕设集合，集合是的子集，且集合中任意两数之差都不等于6或7。

问集合中最多有多少个元素？

【解答】〔1〕构造的以下13个子集：

，，，，，，，，，，，，〔中每一个数恰好属于2个子集〕。

由于从中任取7个元素，它们分别属于上述13个子集中的14个子集，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7。

因此，中任意7个元素都不能同时属于集合。

即中最多只有6个元素。

…………………………4分

又中任意两数之差都不等于6或7。

集合符合要求。

∴集合中最多有6个元素。

…………………………7分

〔2〕由〔1〕知，任意连续13个正整数中最多只有6个数满足任意两数之差都不等于6或7。

由于，因此，集合中最多只有个数满足任意两数之差都不等于6或7。

……………………………11分

又显然集合是集合的子集，且集合中任意两数之差都不是6或7。

集合中有930个元素。

∴集合中最多有930个元素。

…………………………14分