届高三数学二轮专题复习资料专题6空间的平行与垂直问题.docx

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届高三数学二轮专题复习资料专题6空间的平行与垂直问题

专题6：

空间的平行与垂直问题

问题归类篇

类型一:

线线平行

一、前测回顾

1,3,5

1．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若D、E是棱CC1，AB的中点，求证：

DE∥平面AB1C1．

提示：

法一：

用线面平行的判定定理来证：

“平行投影法”：

取AB1的中点F，证四边形C1DEF是平行四边形．

“中心投影法”延长BD与B1C1交于M，利用三角线中位线证DE∥AM．

法二：

用面面平行的性质

取BB1中点G，证平面DEG∥平面AB1C1．

二、方法联想

（1）证明线线平行

方法1：

利用中位线；

方法2：

利用平行四边形；

方法3：

利用平行线段成比例；

方法4：

利用平行公理；

方法5：

利用线面平行性质定理；

方法6：

利用线面垂直性质定理；

方法7：

利用面面平行．

（2）已知线线平行，可得线面平行

三、归类巩固

*1．如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为平行四边形，求证：

EF∥BC．

（平行公理证明线线平行，由线线平行得线面平行）

类型二:

线面平行

一、前测回顾

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

（1）求证：

平面A1BD∥平面B1D1C

（2）若E，F分别是A1A，C1C的中点，求证：

平面EB1D1∥平面BDF．

提示：

（1）用面面平行的判定定理证：

证明BD∥B1D1，A1B∥D1C．

（2）证明BD∥B1D1，BF∥D1E．

二、方法联想

（1）证明线面平行

方法1构造三角形（中心投影法），转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：

①在直线和平面外寻找一点P；②连接PA交平面α于点M；③连接PA交平面α于点N，④连接MN即为要找的平行线．

方法2：

构造平行四边形（平行投影法），转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：

①选择直线上两点A、B构造两平行直线和平面α相交于M、N；②连接MN即为要找的平行线．

方法3：

构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：

①过A做AC平行于平面α内一条直线A’C’；②连结BC；③平面ABC即为所要找的平行平面．

（2）已知线面平行

方法1可得线线平行，过直线l做平面β交已知平面α于直线m，则l∥m．

方法2可得面面平行

三、归类巩固

**1．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E是棱CC1，AB的上的点，且AE＝

AB，

若DE∥平面AB1C1，求

的值．

（已知线面，转化为线线平行）

*2．E，P，G，H分别是四面体的棱ABCD的棱AB、CD、CA、CB的中点，

求证：

PE∥平面PGH．

（通过面面的平行证明线面平行）

*3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1A的中点．点F在棱CC1上，使得平面EB1D1∥平面BDF．

求证：

点F为棱CC1的中点．

类型三:

面面平行

一、前测回顾

1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于O，求证：

A1O⊥平面MBD

提示：

用线面垂直的判定定理：

证BD⊥平面AA1C1C，从而得出BD⊥A1O；

在矩形AA1C1C中，用平几知识证明A1O⊥OM；

二、方法联想

（1）证明面面平行

方法在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行．

注意证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行．

（2）已知面面平行可得线线平行

三、归类巩固

*1．如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．

求证：

（1）平面EFG∥平面ABC；

（2）BC⊥SA．

答案：

证明略（考查平面与平面平行，线线垂直）

类型四:

线线垂直

一、前测回顾

1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均相等，D为BB1的中点，求证：

A1B⊥CD．

分析：

要证明A1B⊥CD，只要证明A1B与CD所在的平面垂直，或CD与A1B所在的平面垂直，

但都没有现成的平面，构造经过CD的平面与直线A1B垂直，或经过A1B的平面与直线CD垂直．

方法1：

取AB的中点E，连CE，证A1B⊥平面CDE；

方法2：

取B1C1的中点F，连BF，证CD⊥平面A1BF．

二、方法联想

（1）证明线线垂直

方法1：

利用线面垂直；

构造垂面证线线垂直要证l垂直于AB，构造垂面证线线垂直步骤:

如下图：

①过A找垂直于l的直线AC；②连结BC，③证BC垂直l，则l⊥面ABC．

方法2：

利用线线平行转移线线垂直；

方法3：

利用勾股定理；

方法4：

利用等腰三角形三线合一；

方法5：

利用菱形对角线互相垂直；

方法6：

利用四边形为矩形．

（2）已知线线垂直可得线面垂直

三、归类巩固

*1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BB1的中点，A1B⊥CD，求证：

AA1＝AB．

类型五:

线面垂直

一、前测回顾

1．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F分别是BC，CD的中点．

求证：

平面PEF⊥平面PAC．

提示：

设EF与AC交于点O，证EF⊥AC，EF⊥OP，

从而得出EF⊥平面PAC．

二、方法联想

（1）证明线面垂直

方法证明直线与平面内两条相交直线垂直．

（2）已知线面垂直可得线线垂直和面面垂直

三、归类巩固

*1．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PB＝PD，且E，F分别是BC，CD的中点，若平面PEF⊥平面PAC，求证：

四边形ABCD是菱形．

*2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC交BD于O，点M在棱CC1上，且A1O⊥平面MBD，

求证：

M为棱CC1的中点．

（线面垂直得线线垂直）

*3．在四面体ABCD中，AD⊥BC，CA＝CB＝CD＝1，BD＝

，则△ABC的面积为_____．

（计算证明线线垂直）

*4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，AB1⊥BC1，求证：

A1C⊥BC1．

（利用平行转移线线垂直，从而一条直线与两异面直线的

垂直转化为线面的垂直）

类型六:

面面垂直

一、前测回顾

1．如图，已知VB⊥平面ABC，侧面VAB⊥侧面VAC，求证：

△VAC是直角三角形．

提示：

过B作BD⊥VA，垂足为D，

由侧面VAB⊥侧面VAC，得出BD⊥侧面VAC，从面BD⊥AC，

由VB⊥平面ABC，得AC⊥VB，从而AC⊥平面VAB．

所以AC⊥VA．

二、方法联想

（1）证明面面垂直

关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直．

找垂线的一般方法：

①分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面；

②找（或作）两平面交线的垂线．

③若存在第三个平面与其中一个面垂直，则在第三个内作找或作它们的交线的垂线（可以就是第三个与另一个平面的交线），再将这个垂线转移到另一个平面内．

（2）已知面面垂直

优先在其中一个平面内找或作两个平面交线的垂线，转化为线面垂直．

三、归类巩固

**1．在四棱锥P－ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC//AB，DA＝DC＝2AB．

求证：

平面PBC⊥平面PDC.

（存在第三个面与其中一个面垂直）

提示1：

取PD中点M，则AM⊥平面PDC，下面只需将AM平移到平面PBC内．

提示2：

作出平面PAD与平面PBC的交线PN，只需证明PN⊥平面PDC．

类型七:

有关表面积、体积计算

一、前测回顾

1．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝1，PC＝2，则球O的表面积是________．

答案：

6π

2．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝

，AA1＝3，M为线段B1B上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．

答案：

二、方法联想

①表面距离问题考虑表面展开，转化成平面问题

②体积计算，先证明高，后用体积公式求体积

三、归类巩固

*1．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，

侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的

体积为．

*2．如图，在长方体ABCD―A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，

则四棱锥A―BB1D1D的体积为cm3．

答案：

6（考查空间几何体的体积计算）

*3．三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则

＝________．

答案：

　（考查空间多面体的体积的关系）

综合应用篇

一、例题分析

例1：

在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB．

（1）若F为PC的中点，求证：

PC⊥平面AEF；

（2）求证：

CE∥平面PAB．

提示：

（1）证明：

PC⊥AF，PC⊥EF．

（2）①中心投影法：

延长CD与AB交于G，证明CE∥PG．

②平行投影法：

取PA中点M，过C作CN∥AD交AB于N．

证四边形CEMN是平行四边形，从而得CE∥MN．

③面面平行的性质：

取AD中点H，证明平面CEH∥平面PAB．

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．证明直线与平面垂直．

方法：

（1）定义法：

a⊥b，b为平面α内任意一条直线⇒a⊥平面α．

（2）线面垂直的判定定理：

a⊥m，a⊥n，m⊂平面α，n⊂平面α，m∩n＝A⇒a⊥平面α．

（3）面面垂直的性质定理：

平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，a⊂平面α，a⊥l⇒a⊥平面α．

2．证明直线与平面平行．

方法：

（1）定义法：

常常借助反证法完成；

（2）判定定理：

a∥b，a⊄平面α，b⊂平面α⇒a∥平面α．

用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，

其方法有：

中心投影法与平行投影法．

证明线线平行常用方法：

①平面几何的方法：

三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等．

②面面平行的性质：

α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n⇒m∥n．

③线面垂直的性质：

a⊥平面α，b⊥平面α⇒a∥b．

④公理4：

a∥c，b∥c⇒a∥b．

（3）面面平行的性质：

平面α∥平面β，a⊂平面α⇒a∥平面α．

二、方法选择与优化建议：

1．用方法

（2），方法

（2）是证明线面垂直的常用方法。

方法

（1）一般不常用，方法（3）的前提是条件中要有面面垂直，否则，证明面面垂直还需用到线面垂直。

本题中有线线垂直，线面垂直的条件，便于找以直线与直线的垂直，因而用方法

（2）比较好．

2．用方法

（2）与方法（3）均可以，但显然方法

（2）比方法（3）要简单些，因为方法（3）要先证明面面平行，而证明面面平行，要先证明两个线面平行；对于方法

（2），一般中心投影法和平行投影法均可，证明时，要视所给的条件来定，本题中找中心投影较方便．

例2：

如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，

AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°．

（1）证明：

AA1⊥BD；

（2）证明：

CC1∥平面A1BD．

提示：

（1）证明：

BD⊥平面ADD1A1．

（2）利用平行投影法，设AC∩BD＝E，连接EA1，

证明CC1∥EA1．

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．证明直线与直线垂直．

方法：

（1）证明线面垂直，即证明一条直线与另一直线所在的平面垂直；

（2）利用线线平行，即证明一条直线的平行线与另一直线垂直；

（3）利用平面几何的知识来证明：

如：

勾股定理；利用等腰三角形三线合一；利用菱形对角线互相垂直；利用矩形的性质等．

2．证明直线与平面平行．

方法：

（1）定义法：

常常借助反证法完成；

（2）判定定理：

a∥b，a⊄平面α，b⊂平面α⇒a∥平面α．

用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，

其方法有：

中心投影法与平行投影法．

证明线线平行常用方法：

①平面几何的方法：

三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等．

②面面平行的性质：

α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n⇒m∥n．

③线面垂直的性质：

a⊥平面α，b⊥平面α⇒a∥b．

④公理4：

a∥c，b∥c⇒a∥b．

（3）面面平行的性质：

平面α∥平面β，a⊂平面α⇒a∥平面α．

二、方法选择与优化建议：

1．用方法

（1），方法

（1）是证明两异面直线垂直的常用方法；方法（3）是证明共面直线垂直常用的方法；方法

（2）只是转化为证明另一直线与直线的垂直．本题中所证明两直线是异面直线，因而考虑用方法

（1），由于条件中有DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD，因而目标是证明：

BD⊥平面ADD1A1，．

又因为BD与AD共面，所以下一步考虑证明BD⊥AD．

2．证明线面平行，既可有判定定理来证，也可有面面平行的性质来证，但以用判定定理来证要容易些，而用判定定理关键是找到平面内与已知直线平行的直线，所以要学会“中心投影法”与“平行投影法”．

例3：

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．

（1）求证：

AD⊥PC；

（2）求三棱锥P－ADE的体积；

（3）在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

提示：

（1）证明：

AD⊥平面PDC．

（2）答案：

．

（3）当M为AC中点时，PA∥平面EDM，此时AM＝

．

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．证明直线与直线垂直．

方法：

（1）证明线面垂直，即证明一条直线与另一直线所在的平面垂直；

（2）利用线线平行，即证明一条直线的平行线与另一直线垂直；

（3）利用平面几何的知识来证明：

如：

勾股定理；利用等腰三角形三线合一；利用菱形对角线互相垂直；利用矩形的性质等．

2．求几何体的体积问题：

方法：

根椐几何体的类型及体积计算公式，考虑计算所需的量．对于高要先证明垂直关系．

3．探究命题成立的条件问题：

（1）对命题条件的探索常采用以下三种方法：

①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；

③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．

（2）对命题结论的探索常采用以下方法：

首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设．

二、方法选择与优化建议：

1．用方法

（1），方法

（1）是证明两异面直线垂直的常用方法；本题中所证明两直线是异面直线，因而考虑用方法

（1），

2．多面体体积的计算，关键是找到多面体的高，另一方面对于不易找高的多面体，可以利用几何体体积之间的关系进行转化，转化为比较容易计算的几何体体积．．

3．本题是对命题条件的探索；采用方法②，先找到使得PA∥平面EDM所应具备的条件，再反过来去证明．

二、反馈巩固

*1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的有．

①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；

③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m∥α，m⊥n，则n⊥α．

答案：

②（考查空间直线与平面位置关系的判定）

*2．设α、β为空间任意两个不重合的平面，则：

①必存在直线l与两平面α、β均平行；②必存在直线l与两平面α、β均垂直；

③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．

其中正确的是___________．（填写正确命题序号）

答案：

①④．（考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力）

**3．圆锥的侧面展开图是圆心角为

π，面积为2

π的扇形，则圆锥的体积是______．

答案：

π．（考查圆锥的侧面展开图及体积的计算）．

**4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝2

，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为　　　　　　．

答案：

（考查：

线面垂直的性质，点到直线的距离）．

**

5．如图，PA⊥菱形ABCD所在的平面，M是PC上的一个动点，当点M满足　　　　　　　时，平面MDB⊥平面PCD．

答案：

或

（考查：

线面垂直，面面垂直的判定定理）．

**6．已知底面边长为1，侧棱长为

的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为．

答案：

4π（考查球的表面积）

*7．设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且

＝

，

则

的值是．

答案：

（考查体积）

*

8．如图，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，

CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F是B1C1的中点．

求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE．

答案：

证明略（考查平面与平面平行，直线与平面平行）

**

9．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，

BC＝8，DF＝5．

求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC.

答案：

证明略（考查线面平行，面面垂直）

**10．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE.

（1）求证：

EF∥平面ABC；

（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．

答案：

（1）证明略；

（2）

（考查折叠问题，平面与平面平行，面面垂直的性质定理，体积计算）

**

11．已知如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝

．

（1）求证：

平面BCF∥平面AED；

（2）若BF＝BD＝a，求四棱锥ABDEF的体积．

答案：

（２）

a3

（考查：

面面平行的判定定理；棱锥体积公式）．

**12．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝

，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

（1）证明：

MN∥平面A′ACC′；

（2）求三棱锥A′－MNC的体积．

答案：

（２）

（考查：

线面平行的判定定理；面面平行的性质；体积变换）

**

13．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF＝2a.

（1）求证：

C1E∥平面ADF；

（2）试在BB1上找一点G，使得CG⊥平面ADF；

（3）求三棱锥DAB1F的体积．

答案：

（1）

（2）证明略；（3）

a

（考查直线与平面平行，探索性问题，线面垂直的判定定理，体积计算）

**14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在面ABC中，AB＝2

，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N．

（1）求证：

N为AC中点；

（2）平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．

答案：

证明略

（考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，

综合考查空间想象及逻辑推理能力）．

**15．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋

，过A作AE⊥CD，垂足为E，G，F分别为AD，CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC，如图所示．

（1）求证：

BC⊥平面CDE；

（2）求证：

FG∥平面BCD；

（3）在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．

答案：

（3）

（考查：

线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理；

面面垂直的判定定理和性质定理）．