届高三数学二轮专题复习资料专题4平面向量.docx

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届高三数学二轮专题复习资料专题4平面向量

专题4：

平面向量

问题归类篇

类型一：

向量的运算

一、前测回顾

1．已知向量a＝（2，1），b＝（1，－2），若ma＋nb＝（9，－8）（m，n∈R），则m－n的值为________.

答案：

－3．

2．

（1）已知向量a＝（0，2），|b|＝2，则|a－b|的取值范围是．

（2）若a是平面内的单位向量，若向量b满足b·（a－b）＝0，则|b|的取值范围是．

（3）已知A，B，C为圆O上的三点，若＝（＋），则与的夹角为________．

答案：

（1）[0,4]；

（2）[0,1]；（3）90°．

3．

（1）已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．

（2）若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝，则向量a，b的夹角是．

（3）已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．

（4）已知向量a＝（2，1），b＝（－1，k），a·（2a－b）＝0，则k等于______．

答案：

（1）－3；

（2）；（3）；（4）12．

4．

（1）在△ABC中，∠BAC＝120︒，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD．则·＝．

（2）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60︒，E为CD中点，

则⋅＝．

（3）已知OA＝2，OB＝2,·＝0，点C在线段AB上，且∠AOC＝60︒，则·＝________________．

（4）在△ABC中，∠BAC＝120︒，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，E为BC边上的点，且·＝0．则·＝；·＝．

答案：

（1）－；

（2）1；（3）4；（4）－,．

二、方法联想

1．向量的运算

方法1用向量的代数运算．

方法2结合向量表示的几何图形．

三、归类巩固

*1．已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围是

答案：

（0，]．

提示：

结合向量的几何图形求解．

**2．在等腰梯形ABCD中,已知AB平行于DC，AB＝2，BC＝1，ABC＝，动点E，F分别在线段BC，DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为.

答案：

．

提示：

数量积·标示为λ的函数．

***3．△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·＝________.

答案：

．

提示：

外心隐含着垂直关系．

类型二：

形如＝x＋y等式中系数x，y值的确定

1、前测回顾

1．在△ABC中，点，N满足＝2,＝．若＝x＋y，则x＋y的值为．

答案：

．

2．平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，与的夹角为，且，||＝||＝2，||＝4，若，则的值为_______．

答案：

6．

3．已知在△ABC中，为△ABC的外心，AB＝16，AC＝10，＝x＋y，且32x＋25y＝25，则||等于___________．

答案：

10．

提示：

由，可得，

，同理：

，

所以，

所以||＝10．

二、方法联想

方法1通过平面向量运算，完成向量用，表示，进而确定x，y的值．

方法2若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量等式＝x＋y，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于x，y的方程，再进行求解．

方法3若所给的图形比较特殊（矩形、正方形、正三角形、特殊梯形等），则可以建系将向量坐标化，从而得到关于x，y的方程，再进行求解．

三、归类巩固

**1．在△ABC中，为边的中点，为的中点，过点作一直线MN分别交AB，AC于点M，N，若，则x＋4y的最小值是________．

答案：

．

***2．在△ABC中，AB＝AC＝2，·＝－1，是△ABC的外心，若＝x＋y，则x＋y的值为________．

答案：

．

类型三：

平面向量的综合应用

一、前测回顾

1．平面上的向量满足，且，若，则的最小值为___________．

答案：

．

2．已知a，b是单位向量，且a，b的夹角为60°，，若向量满足|c－a＋2b|＝2，则|c|的最大值为_____．

答案：

．

3．在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为．

答案：

－．

二、方法联想

方法1基底法，即合理选择一组基底（一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量），将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．

方法2坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决．

三、归类巩固

**1．在△ABC中，已知BC=2，,则△ABC面积的最大值是_____．

答案:

．

提示：

以BC所在直线为x轴,中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则点B（-1,0）,C（1,0）。

设点,则由条件得即故△ABC面积的最大值是

**2．在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||的最大值是_____．

答案:

．

提示：

采用解析法，即建立直角坐标系，写出坐标，同时得到动点的轨迹是圆，因此可用圆的性质得出最值．

**3．在平面直角坐标系中，点在圆上，若则点的横坐标的取值范围是．

答案：

．

***4．已知向量|a|＝1，|b|＝2，a⋅b＝1，设向量c满足（2a－c）·（b－c）＝0，则｜c｜的最小值为．

答案：

－1．

***5．已知四点共面，，，，则的最大值为．

答案：

10．

综合应用篇

一、例题分析

例1

（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－3）．若向量c满足（c＋a）∥b，c⊥（a＋b），则c＝．

（2）已知向量a＝（2，1），a·b＝10，︱a＋b︱＝5，则︱b︱＝．

（3）若平面向量a，b满足｜a＋b｜＝1，a＋b平行于y轴，a＝（2，－1），则b＝．

（4）在菱形ABCD中，若AC＝4，则•＝．

答案：

（1）（－，－）；

（2）5；（3）（－2，2）或（－2，0）；（4）－8．

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件．

2．向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积．

3．第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角坐标系．

二、方法选择与优化建议：

1．第

（2）小题，方法1：

设向量b的坐标，通过解方程组求解；方法2：

直接对向量（a＋b）的模长平方求出答案．相对而言，方法2比较简单．

2．第（3）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a＋b的两要素，先求出向量a＋b的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．

3．第（4）小题解法1：

基底法，选择和与垂直的为基底；解法2：

以AC、BD为两坐标轴建立直角坐标系．

例2

（1）已知正△ABC的边长为1，＝7＋3，则·＝．

（2）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2（λ1，λ2∈R），则λ1＋λ2的值为__________。

（3）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D在斜边BC上，且CD＝2DB，则·的值为．

（4）已知a，b是单位向量，a·b＝0．若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是．

答案：

（1）－2；

（2）；（3）24；（4）[－1，＋1]．

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．三角形中研究边所在向量的数量积时，关注向量夹角的定义．

2．将所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、减法的三角形法则，突出平面向量基本定理．

3．可以关注一下向量数量积的几何意义（投影）．

4．（4）求解的方法是画图或者建立直角坐标系用坐标法．

二、方法选择与优化建议：

1．第（3）小题的求解，坐标法优于基底法．从图形的结构上发现便于建系．

2．由于向量a，b是两个相互垂直的单位向量，用坐标法解题通俗易懂．

例3

（1）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则•＝．

（2）在平面直角坐标系xOy中，已知＝（3，－1），＝（0，2）．若·＝0，＝λ，则实数λ的值为．

（3）已知A（－3，0），B（0，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝60°，＝λ＋，则实数λ的值是．

（4）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________.

答案：

（1）；

（2）2；（3）；（4）22

解析　（4）由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以（＋）·（－）＝2，即2－·－2＝2.

又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．解

（1）小题可以是基底法（以和为基底），也可以建立直角坐标系用坐标法．

2．解

（2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解．理解向量共线的意义．

3．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解．

二、方法选择与优化建议：

1．解

（1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知．

例4

（1）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝．

（2）如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点．设＝α＋β（α、β∈R），则α＋β的取值范围是．

答案：

（1）4；

（2）[3，4]．

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解．

2．解决这一类问题的基本方法为：

（1）基底法；

（2）坐标法．

二、方法选择与优化建议：

1．解决这两题用坐标法优于基底法．

2．选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易．

3．第

（2）小题坐标化后，转化为线性规划处理．

例5

（1）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为．

（2）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝，y＝．

（3）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是______．

答案：

（1）；

（2）1＋和；（3）2．

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．平面向量的基本定理，向量的分解．

方法1：

利用三角形法则，平行四边形法则以及向量共线定理．

方法2：

利用平行四边形法则进行向量分解，借助解三角形的知识，再利用共线向量长度与方向的关系来求解．

方法3：

建立坐标系，找出向量的坐标表示，再利用相等的向量坐标相等，列等式，通过解方程组求解。

二、方法选择与优化建议：

1．第

（1）小题，用方法1较方便，解题的关键是利用B，P，N三点共线，设＝λ，再利用基底表示的唯一性，求λ的值．

2．第

（2）小题，本题用方法2与方法3均可，但相比而言，方法3运算量较小．

3．第（3）小题用方法2与方法3均可，关键是自变量的选择，方法2与方法3，都可选择∠AOC＝θ作自变量，来建立x＋y的函数关系，方法2要用到解三角形的知识，方法3用向量坐标间的关系即可，运算量要小些．

例6

（1）在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若＝x＋（1－x），则x的取值范围是________.

（2）等腰△ABC中，AB＝AC＝1，A＝120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且＝m，

＝n，其中m、n∈（0，1），且m＋4n＝