届高三数学二轮专题复习资料专题6空间的平行与垂直问题.docx

1、届高三数学二轮专题复习资料专题6空间的平行与垂直问题专题6：空间的平行与垂直问题问题归类篇类型一: 线线平行一、前测回顾1,3,51如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若D、E是棱CC1，AB的中点，求证：DE平面AB1C1提示：法一：用线面平行的判定定理来证：“平行投影法”：取AB1的中点F，证四边形C1DEF是平行四边形“中心投影法”延长BD与B1C1交于M，利用三角线中位线证DEAM法二：用面面平行的性质 取BB1中点G，证平面DEG平面AB1C1二、方法联想（1）证明线线平行 方法1：利用中位线；方法2：利用平行四边形；方法3：利用平行线段成比例；方法4：利用平行公理；方法5：利用

2、线面平行性质定理；方法6：利用线面垂直性质定理；方法7：利用面面平行（2）已知线线平行，可得线面平行三、归类巩固*1如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为平行四边形，求证：EFBC(平行公理证明线线平行，由线线平行得线面平行)类型二: 线面平行一、前测回顾1在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求证：平面A1BD平面B1D1C(2)若E，F分别是A1A，C1C的中点，求证：平面EB1D1平面BDF提示：(1)用面面平行的判定定理证： 证明BDB1D1，A1BD1C (2)证明BDB1D1，BFD1E二、方法联想（1）证明线面平行方法1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行寻找平面内

3、平行直线步骤，如下图：在直线和平面外寻找一点P；连接PA交平面于点M；连接PA交平面于点N，连接MN即为要找的平行线方法2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行寻找平面内平行直线步骤，如下图：选择直线上两点A、B构造两平行直线和平面相交于M、N；连接MN即为要找的平行线方法3：构造面面平行构造平行平面步骤，如下图：过A做AC平行于平面内一条直线AC；连结BC；平面ABC即为所要找的平行平面（2）已知线面平行方法1 可得线线平行，过直线l做平面交已知平面于直线m，则lm 方法2 可得面面平行三、归类巩固*1如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D、E是棱CC1，AB的上的点，且AEA

4、B，若DE平面AB1C1，求的值（已知线面，转化为线线平行）*2E，P，G，H分别是四面体的棱ABCD的棱AB、CD、CA、CB的中点，求证：PE平面PGH（通过面面的平行证明线面平行）*3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1A的中点点F在棱CC1上，使得平面EB1D1平面BDF 求证：点F为棱CC1的中点类型三: 面面平行一、前测回顾1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于O，求证：A1O平面MBD 提示：用线面垂直的判定定理： 证BD平面AA1C1C，从而得出BDA1O； 在矩形AA1C1C中，用平几知识证明A1OOM； 二、方法联想（1）证明面面平行

5、 方法 在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行注意 证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行（2）已知面面平行 可得线线平行三、归类巩固*1 如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB，过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：（1）平面EFG平面ABC； （2）BCSA答案：证明略 (考查平面与平面平行，线线垂直)类型四: 线线垂直一、前测回顾1在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均相等，D为BB1的中点，求证：A1BC D分析：要证明A1BC D，只要证明A1B与CD所在的平面垂直，或CD与A1B所在的

6、平面垂直，但都没有现成的平面，构造经过CD的平面与直线A1B垂直，或经过A1B的平面与直线CD垂直方法1：取AB的中点E，连CE，证A1B平面CDE；方法2：取B1C1的中点F，连BF，证CD平面A1BF二、方法联想（1）证明线线垂直方法1：利用线面垂直；构造垂面证线线垂直 要证l垂直于AB，构造垂面证线线垂直步骤:如下图：过A找垂直于l的直线AC；连结BC，证BC垂直l ，则l面ABC方法2：利用线线平行转移线线垂直；方法3：利用勾股定理；方法4：利用等腰三角形三线合一；方法5：利用菱形对角线互相垂直；方法6：利用四边形为矩形（2）已知线线垂直 可得线面垂直三、归类巩固*1在正三棱柱ABCA

7、1B1C1中， D为BB1的中点， A1BCD，求证：AA1AB类型五: 线面垂直一、前测回顾1如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PBPD，且E，F分别是BC， CD的中点求证：平面PEF平面PAC提示：设EF与AC交于点O，证EFAC，EFOP， 从而得出EF平面PAC二、方法联想（1）证明线面垂直方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直（2）已知线面垂直 可得线线垂直和面面垂直三、归类巩固*1如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PBPD，且E，F分别是BC， CD的中点，若平面PEF平面PAC，求证：四边形ABCD是菱形*2在正方体ABCDA1B1C1D1

8、中，AC交BD于O，点M在棱CC1上，且A1O平面MBD，求证：M为棱CC1的中点（线面垂直得线线垂直）*3在四面体ABCD中，ADBC，CACBCD1，BD，则ABC的面积为_（计算证明线线垂直）*4在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB1BC1，求证：A1CBC1 （利用平行转移线线垂直，从而一条直线与两异面直线的垂直转化为线面的垂直）类型六: 面面垂直一、前测回顾1如图，已知VB平面ABC，侧面VAB侧面VAC，求证：VAC是直角三角形提示：过B作BDVA，垂足为D， 由侧面VAB侧面VAC，得出BD侧面VAC，从面BDAC， 由VB平面ABC，得ACVB，从而AC平面VAB 所

9、以ACVA二、方法联想（1）证明面面垂直关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直找垂线的一般方法：分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面；找（或作）两平面交线的垂线若存在第三个平面与其中一个面垂直，则在第三个内作找或作它们的交线的垂线（可以就是第三个与另一个平面的交线），再将这个垂线转移到另一个平面内（2）已知面面垂直优先在其中一个平面内找或作两个平面交线的垂线，转化为线面垂直三、归类巩固*1在四棱锥PABCD中，CD平面PAD，PAD是正三角形，DC/AB，DADC2AB求证：平面PBC平面PDC.（存在第三个面与其中一个面垂直）提示1：取PD中点M，则A

10、M平面PDC，下面只需将AM平移到平面PBC内提示2：作出平面PAD与平面PBC的交线PN，只需证明PN平面PDC类型七: 有关表面积、体积计算一、前测回顾1设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PAPB1，PC2，则球O的表面积是_答案 ：62如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M为线段B1B上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_答案：二、方法联想表面距离问题考虑表面展开，转化成平面问题体积计算，先证明高，后用体积公式求体积三、归类巩固*1在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，侧棱PA底面AB

11、CD，PA2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为 *2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm，AA12cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为 cm3 答案：6 (考查空间几何体的体积计算)*3三棱锥P ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D ABE的体积为V1，P ABC的体积为V2，则_答案：(考查空间多面体的体积的关系)综合应用篇一、例题分析例1：在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB (1)若F为PC的中点，求证：PC平面AEF；(2)求证：CE平面PAB 提示：(1)证明：PCAF，PCE

12、F (2)中心投影法：延长CD与AB交于G，证明CEPG 平行投影法：取PA中点M，过C作CNAD交AB于N 证四边形CEMN是平行四边形，从而得CEMN 面面平行的性质：取AD中点H，证明平面CEH平面PAB教学建议一、主要问题归类与方法：1证明直线与平面垂直方法：(1)定义法：ab，b为平面内任意一条直线 a平面 (2)线面垂直的判定定理：am，an，m平面，n平面，mnA a平面 (3)面面垂直的性质定理：平面平面，平面平面l，a平面，al a平面2证明直线与平面平行方法：(1)定义法：常常借助反证法完成；(2)判定定理：ab，a平面，b平面 a平面 用判定定理来证线面平行的关键是在平面

13、内找到与已知直线平行的直线，其方法有：中心投影法与平行投影法证明线线平行常用方法：平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等面面平行的性质：，m，nmn线面垂直的性质：a平面，b平面ab公理4：ac，bcab(3)面面平行的性质：平面平面， a平面 a平面二、方法选择与优化建议：1用方法(2)，方法(2)是证明线面垂直的常用方法。方法(1)一般不常用，方法(3)的前提是条件中要有面面垂直，否则，证明面面垂直还需用到线面垂直。本题中有线线垂直，线面垂直的条件，便于找以直线与直线的垂直，因而用方法(2)比较好2用方法(2)与方法(3)均可以，但显然方法(2)比方法(3)要简单些，因

14、为方法(3)要先证明面面平行，而证明面面平行，要先证明两个线面平行；对于方法(2)，一般中心投影法和平行投影法均可，证明时，要视所给的条件来定，本题中找中心投影较方便 例2：如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD提示：(1)证明：BD平面ADD1A1(2)利用平行投影法，设ACBDE，连接EA1，证明CC1EA1教学建议一、主要问题归类与方法：1证明直线与直线垂直方法：(1)证明线面垂直，即证明一条直线与另一直线所在的平面垂直；(2)利用线线平行，即证明一

15、条直线的平行线与另一直线垂直；(3)利用平面几何的知识来证明：如：勾股定理；利用等腰三角形三线合一；利用菱形对角线互相垂直；利用矩形的性质等2证明直线与平面平行方法：(1)定义法：常常借助反证法完成；(2)判定定理：ab，a平面，b平面 a平面 用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，其方法有：中心投影法与平行投影法证明线线平行常用方法：平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等面面平行的性质：，m，nmn线面垂直的性质：a平面，b平面ab公理4：ac，bcab(3)面面平行的性质：平面平面， a平面 a平面二、方法选择与优化建议：1用方法(1)，方法(

16、1)是证明两异面直线垂直的常用方法；方法(3)是证明共面直线垂直常用的方法；方法(2)只是转化为证明另一直线与直线的垂直本题中所证明两直线是异面直线，因而考虑用方法(1)，由于条件中有DD1平面ABCD，所以DD1BD，因而目标是证明：BD平面ADD1A1， 又因为BD与AD共面，所以下一步考虑证明BDAD2证明线面平行，既可有判定定理来证，也可有面面平行的性质来证，但以用判定定理来证要容易些，而用判定定理关键是找到平面内与已知直线平行的直线，所以要学会“中心投影法”与“平行投影法”例3：如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E为PC的中点 (1

17、)求证：ADPC；(2)求三棱锥PADE的体积；(3)在线段AC上是否存在一点M，使得PA平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由提示：(1)证明：AD平面PDC (2)答案： (3) 当M为AC中点时，PA平面EDM，此时AM教学建议一、主要问题归类与方法：1证明直线与直线垂直方法：(1)证明线面垂直，即证明一条直线与另一直线所在的平面垂直；(2)利用线线平行，即证明一条直线的平行线与另一直线垂直；(3)利用平面几何的知识来证明：如：勾股定理；利用等腰三角形三线合一；利用菱形对角线互相垂直；利用矩形的性质等2求几何体的体积问题： 方法：根椐几何体的类型及体积计算公式，考虑计算所

18、需的量对于高要先证明垂直关系3探究命题成立的条件问题： (1)对命题条件的探索常采用以下三种方法： 先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件(2)对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设二、方法选择与优化建议：1用方法(1)，方法(1)是证明两异面直线垂直的常用方法；本题中所证明两直线是异面直线，因而考虑用方法(1)，2多面体体积的计算，关键是找到多面体的高，另一方面对于不易

19、找高的多面体，可以利用几何体体积之间的关系进行转化，转化为比较容易计算的几何体体积 3本题是对命题条件的探索；采用方法，先找到使得PA平面EDM所应具备的条件，再反过来去证明二、反馈巩固*1已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的有 若m，n，则mn；若m，n，则mn；若m，mn，则n；若m，mn，则n答案： (考查空间直线与平面位置关系的判定)*2设 、为空间任意两个不重合的平面，则：必存在直线l与两平面 、均平行； 必存在直线l与两平面 、均垂直；必存在平面与两平面 、均平行； 必存在平面与两平面 、均垂直其中正确的是_（填写正确命题序号）答案：(考查学生空间线面，面面位置关系及

20、空间想象能力)*3圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为2的扇形，则圆锥的体积是_答案：(考查圆锥的侧面展开图及体积的计算) *4在ABC中，ACB90，AB8，BAC60，PC平面ABC，PC2，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为答案： (考查：线面垂直的性质，点到直线的距离)*5如图，PA菱形ABCD所在的平面，M是PC上的一个动点，当点M满足时，平面MDB平面PCD答案：或(考查：线面垂直，面面垂直的判定定理)*6已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 答案：4 (考查球的表面积)*7设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若

21、它们的侧面积相等，且，则的值是 答案： (考查体积)*8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且ADDE，F是B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE答案：证明略 (考查平面与平面平行，直线与平面平行) *9如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC，PA6，BC8，DF5求证： (1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.答案：证明略 (考查线面平行，面面垂直)*10如图，在矩形ABCD中，AD2，AB4，E，F分别为边AB，AD的中点

22、现将ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE.(1) 求证：EF平面ABC；(2) 若平面ADE平面BCDE，求四面体FDCE的体积答案：（1）证明略；（2） (考查折叠问题，平面与平面平行，面面垂直的性质定理，体积计算)*11已知如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED平面ABCD，BAD(1)求证：平面BCF平面AED；(2)若BFBDa，求四棱锥ABDEF的体积答案：（）a3(考查：面面平行的判定定理；棱锥体积公式)*12如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体

23、积答案：（）(考查：线面平行的判定定理；面面平行的性质；体积变换)*13如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13a，BC2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF2a.(1) 求证：C1E平面ADF；(2) 试在BB1上找一点G，使得CG平面ADF；(3) 求三棱锥DAB1F的体积答案：（1）（2）证明略；（3）a(考查直线与平面平行，探索性问题，线面垂直的判定定理，体积计算)*14如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，A1AC60o在面ABC中，AB2，BC4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N (1)求证：N为AC中点； (2)平面A1B1MN平面A1ACC1答案：证明略(考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力)*15已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1，过A作AECD，垂足为E，G，F分别为AD，CE的中点，现将ADE沿AE折叠，使得DEEC，如图所示(1)求证：BC平面CDE；(2)求证：FG平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由答案：（3）(考查：线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理；面面垂直的判定定理和性质定理)