第五讲单自由度无阻尼强迫振动.docx

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第五讲单自由度无阻尼强迫振动

第五讲单自由度无阻尼强迫振动

简谐激励下的无阻尼强迫振动

求解微分方程

方程

（2）的通解包含两部分：

齐次通解（F=0）和特解

X=%!

+x2

齐次通解为

=CjcosCDnt+C2sin（Dnt

特解可表示为

x2=Xsincot

（3）

（4）

（5）

（6）

将式（5）代入运动方程

（2）得

X。

研co2-CD2n

求解微分方程

因此，微分方程

（2）的通解为

x=C{cosa）dt+C2sina）dt+Xsincot

常数G由初始条件确定，X由式（6）确定。

对应于初始条件x（o）=心x（o）=i0

可确定常数C2

因此，对应于该初始条件的解为

•x（r）=

・*

x0coscont+—sincont

5

「自由振动（初始条件）

自由伴随振动一

（简谐激励）

—

Q

*j―X。

sino）rltH

卜X。

sincot

J稳态强迫振动

激励不仅激起强迫振动，且激起自由振动

对应于零初始条件的解为

=X.sincot+sincot

'71-Q20"I—。

？

0

自由伴随振动

稳态强迫振动

零初始条件X0=丙⑴+勺（0=一

01・

sinqf+5~X“sincot

l-Q20"1-Q20

（1）□<1（^<®J（T>T）

稳态强迫振动进行一个循环时间内,自由伴随振动完成多个循环

强迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动

（2）Q>1（^>^0）（T

自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态强迫振动完成多个循环

强迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动

由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解

]无+cd^x=Xqg）^sincot

L（0）=0,双0）=0

nvc+kx=F^sincot_x+co^x=0兀（0）=和x（0）=x01x（0）=x0,x（0）=x0

X]（0=x0cos（oQt+—sinco^t

%

x2（t）=-Xqsincont+亍X。

sinmt

通解：

x（Z）=Xj（t）+x2（t）

=Xqcoscd」+-sin（DfjtX。

sin（ontHX。

sincot

con1-Q]_G_

初始条件响应

自由伴随振动

强迫响应

振动特性

稳态强迫振动

）=-―孑X。

sincot

1•当0<0<1时，响应与激励力同相，振幅随频率比单调递增；

2•当1<0时，响应与激励力反相，振幅随频率比童调递渝。

3•当。

—1时，振幅可能达到非常大的值，即发生共振。

振动特性■共振3—®，0T1）

对于零初始条件

A*（f）=yX。

（sinot—0sinoJ）

1—0

口2亠禺亦少2聞4

1-Q2022

令：

q-

22

CDn一（O

c1v・Q+©

=27~sinstcos1

1-Q202

2

（0“.CD+CD

——sinstcosG）+a）n）2s2

=2

=-XQ（0tCOSG）t

2U刃n

評频在固频领域内忙占

这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”

达到最大值所需时间:

共振时的响应

兀⑴=—XQa）tcoscot

试验

振幅随时间增大而线性增大，时间无限长时，系统响应将无限大

共振建立需要时间，激频很快通过固频时，不会发生太大振幅

例：

计算初始条件，以使nvc+kx=F0sincotF

Y—r（的响应只以频率。

振动Q~7

解：

0=皀

jwc+kx=Fosincot的全解：

（°n

x（t）=+Msino—%巴山1百d■—sincot

如果要使系统响应只以Q为频率振动

解：

mx+kx=F0coscot的全解：

/、兔.XnQ

x（t）=x0cosa）nt+—sin（Dnt—

o）n]_

全解：

兀（r）=C]cosa）nt+c2sina）nt+

正确？

X

X。

.#

sincot+一sin（otn1-°2

-coscot

1—QY由v（0）=X0c\=xo5

1—L2

求一阶导数：

垃）=—c®nsincont+c2（Dncos（ont-冬sincot

1—Q

由i（0）=x0^=>对之2©□==>C2=x0/con

x

全解:

XO=qcosco^t+c?

sinCDftHLycoscot

1—QX。

_c_

2

GF—吋d®

XxX

因此:

x（f）=（x0）cos（ont+—sincoJ+冷coscot

1—Qcon1—Q

九.XoX。

=Xr\coscotHsin（OtCOS（OtHcoscot

0“©“1-Q2”]_Q2

nvc+kx=Fosincot的全解：

/、易.XQ.X。

.

x（t）=x（scoscotHsincotz-sincotHsincot

0”©“1-①“]_Q2

相同

不同

例：

计算初始条件，以使m^+kx=Fqcoset的响应只以频率。

振动

全解：

z\X（\•n（\

x（t）=xncoscd?

+—sin®tcos^yt+cos血

0”c“1-Q2“1-Q2

n

=0

如果要使系统响应只以。

为频率振动

V

初始条件：

兀0=匚占亍x0=0