证明垂直平分线与角平分线.docx
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证明垂直平分线与角平分线
第二节证明
（二）
垂直平分线与角平分线
【知识要点】
1你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗？
从做法上你得到什么启示？
2•你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗？
从做法上你得到什么启示？
3.你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗？
4•你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗？
【典型例题】
#例1如图，AB=ACDE垂直平分AB交AB于D,交AC
于E.若ABC的周长为28,BC=8求BCE的周长.
#例2如图，AB>ACA的平分线与BC的
垂直平分线DM相交于D,自D作DEAB于E,
DFAC于F.求证：
BE=CF
#例3
如图，
在
ABC中，A108,
AB=AC
1
2.
求证：
BC=AC+CD
#例4如图，AB=ACBC,BAC的平分线AF
交DE于F.求证：
AF为DE的垂直平分线.
例5如图，P为ABC的BC边的垂直平分线PG上
1
一点，且PBC-A.BP,CP的延长线分别交
2
AC,AB于点D,E.求证：
BE=CD
例6如图，在ABC中，ABC3C,
12,ADBD•求证：
AC=AB+2BD
例7如图，已知AD是ABC中A的平分线，DE//AC交AB于E,DF//AB交AC于F.
求证：
点E,F关于直线AD对称
例8如图，在ABC中，AB>BC,B60，BAC，
ACB的平分线交于点G
（1）图中是否有相等的线段？
若
有，请写出相等的线段，并证明.
（2）图中线段AC是否等于
其他两条线段的和？
若有，请写出等式，并证明；若无，请说明理由.
*例9如图，ABC是边长为1的正三角形，BDC
是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一
个60角，角的两边分别交AB于M交AC于N,连接
MN形成AMN•求证：
AMN的周长等于2
*例10设ABC的外心为O,在其边AB和BC上分别
取点M和点N,使得2MONAOC.
求证：
MBN的周长不小于边AC的长.
大展身手
姓名：
成绩：
#1如图，已知AC平分PAQ，点B,B'分别在边
AP,AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB，那么
该条件可以是（）
A.BB'丄ACB.BC=B'C
C.ACB=ACB'D.ABC=ZAB'C
#2.MN,A,B是同一平面上的四个点，如果MA=MBNA=NB
则点、_在线段的垂直平分线上.
#3.设线段AB的垂直平分线MN交AB于点C,P是MN上不同于点C的一点，那么PAB是三角形，PC是PAB的
线、线和..
#4.在ABC中，E为BC中点，DEBC交AB于点D,
若B25,AD=CD贝yB25,AD=CD贝UADC
ACB=
#5.在ABC中，AB=AQDE是AB边的中垂线，垂足为E,交AC于D.若BDC的周长为24,AB=14,则BC=;
若A40，贝UDBC=.
#6.在ABC中，BAC120.PM为AB边的中垂线，
垂足为M,交BC于P;QN为AC边的中垂线，垂足为N,交BC
于Q,贝UPAQ=，或BC=9cm贝UAPQ的周长为
cm.
BDC100•贝UA的度数为
#8•在ABC中，B,C的平分线交于D点，过D作
EF//BC,分别交ABAC于E,F两点，若AB=6,AC=5贝UAEF
的周长为.
#9•如图，在RtABC中，C90,BE平分
ABC，交AC于E,DE是斜边AB的垂直平分线，
且DE=1cm贝VAC=cm.
10.如图，P为正方形外一点,求证：
PDC为等边三角形.
11•在ABC中，C2B,BC2AC•求A的度数.
12•如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB
的外角平分线相交于点D,过D作DE//BC分别交
AB,AC于E,F.求证：
EF=BE-CF
13.如图，在ABC中，AB=ACA36，
12,E为AB中点，EDBC延长线交于点F.
求证：
AB=CF
14•如图，ABC中，1
2,AB=2ACDA=DB
求证：
AC丄CD
B
15.如图，在ABC中，ABC90,ACB60,
BAC和
ABC的平分线ADBE相交于点F.求证:
EF=DF
16.A,B两港在大湖南岸，C港在大湖北岸.A,B,C三港
恰为一等边三角形的三个顶点.A港的甲船与B港的乙船同时出
发都沿直线向C港匀速行驶，当乙船行驶出40千米时，甲、乙
两船与C港位置恰是一个直角三角形的三个顶点；而当甲船行驶达C港时，乙船尚距C港20千米•问：
A，B两港之间的距离是多少千米？
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