北京市中考数学专题复习一次函数反比例函数综合题含答案.docx

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北京市中考数学专题复习一次函数反比例函数综合题含答案

一、简单专题集训

一次函数、反比例函数综合题（连续 5 年考查）

类型一根据线段关系确定参数取值范围

（8 年 2 考：

2017.23、2016.21）

1. （2019 海淀区二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝x＋b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，

2

与双曲线 y＝x的交点为 M，N.

（1）当点 M 的横坐标为 1 时，求 b 的值；

（2）若 MN≤3AB，结合函数图象，直接写出 b 的取值范围.

第 1 题图

m

2）.

（1）求 m 的值；

m

x

x 轴交于点 D.

①当点 C 是线段 BD 的中点时，求 b 的值；

②当 BC>BD 时，直接写出 b 的取值范围.

第 2 题图

3. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，3）、点 B（3，0），一次函数 y＝－2x 的图象与直线 AB 交于

点 P.

（1）求点 P 的坐标；

（2）若点 Q 是 x 轴上一点，且△PQB 的面积为 6，求点 Q 的坐标；

（3）若直线 y＝－2x＋m 与△AOB 三条边只有两个公共点，求 m 的取值范围.

第 3 题图

类型二根据区域内整点个数确定参数取值范围

（8 年 2 考：

2019.25、2018.23）

1. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：

y＝kx＋b（k≠0）与直线 y＝kx（k≠0）平行，与直线 y＝3 相交于点

A（3，3）.

（1）求 k 和 b 的关系式；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记直线 l∶y＝kx＋b、y＝kx、y＝3 与 x 轴构成的封闭区域（不含

边界）为 W.

①当 k＝2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数；

②若区域 W 内恰有 2 个整点，直接写出 k 的取值范围.

2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，B（3，－3），C（5，0），以 OC，CB 为边作平行四边形 OABC，函

k

（1）求 k 的值；

k

x

①求直线 l 的表达式；

k

区域（含边界）为 W.结合函数图象，直接写出区域 W 内（含边界）的整点个数.

第 2 题图

k

k

x

E.

（1）求 k 的值；

k

x

围成的区域（不含边界）为 W.

1

①当 m＝2时，直接写出区域 W 内的整点个数；

②若区域 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，求 m 的取值范围.

第 3 题图

类型三根据面积关系确定参数取值范围

1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：

y＝kx＋1（k≠0）交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B（3，0），平行

于 y 轴的直线 x＝2 交 AB 于点 D，交 x 轴于点 E，点 P 是直线 x＝2 上一点，且在点 D 的上方，设 P（2，n）.

（1）求直线 l 的表达式和点 A 的坐标；

（2）连接 AP、BP，若 

 ABP≤2

 ABO，求 n 的取值范围.

第 1 题图

a

A（3，a－2）.

（1）求 a，b 的值；

（2）直线 l2：

y＝－x＋m 与 x 轴交于点 B，与直线 l1 交于点 C，若 S△ABC≥6，求 m 的取值范围.

类型四根据线段、面积、图形求点坐标

（8 年 2 考：

2015.23、2012.17）

2

（1）求△AOB 的面积；

（2）过点 B 作直线 BC 与 x 轴相交于点 

，若ABC 的面积是 16，求点 C 的坐标.

第 1 题图

8

（1）求 n 及 k 的值；

（2）点 B 是 y 轴正半轴上的一点，且△OAB 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 B 的坐标.

k

A（1，m）.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）点 B 在反比例函数的图象上，且点 B 的横坐标为 2.若在 x 轴上存在一点 M，使 MA＋MB 的值最小，

求点 M 的坐标.

第 3 题图

k

4. （2019 西城区二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：

y＝ax＋b 与双曲线 y＝x交于点 A（1，m）和点

B（－2，－1），点 A 关于 x 轴的对称点为点 C.

（1）①求 k 的值和点 C 的坐标；

②求直线 l 的表达式；

（2）过点 B 作 y 轴的垂线与直线 AC 交于点 D，经过点 C 的直线与直线 BD 交于点 E.若 30°≤∠CED≤45°，

直接写出点 E 的横坐标 t 的取值范围.

参考答案

类型一根据线段关系确定参数取值范围

2

x

∴点 M 的坐标为（1，2）.

∵点 M 是直线 y＝x＋b 上的点，

∴b＝1；

（2）b≤－1 或 b≥1.

【解法提示】当 b＝±1 时，满足 MN＝3AB，如解图，结合函数图象可得， 的取值范围是 b≤－1 或 b≥1.

第 1 题解图

m

x

解得 m＝2；

（2）①如解图①，过点 C 作 x 轴的垂线，交直线 l 于点 E，交 x 轴于点 F.

∵点 C 是线段 BD 的中点，

∴CE＝CF＝1.

∴点 C 的纵坐标为 1.

2

得 x＝2.

∴点 C 的坐标为（2，1）.

把 C（2，1）代入函数 y＝2x＋b 中得：

1＝4＋b，

解得 b＝－3；

第 2 题解图①

②b＞3.

1

1

2

第 2 题解图②

3. 解：

（1）如解图，∵A（0，3）、点 B（3，0），

∴直线 AB 的解析式为 y＝－x＋3.

⎧⎪y＝－2x，

由⎨

⎩

⎪y＝－x＋3，

⎧⎪x＝－3，

解得⎨

⎩

⎪y＝6，

∴P（－3，6）；

（2）设 Q（m，0），

1

解得 m＝5 或 1，

∴Q（1，0）或 Q（5，0）；

（3）当直线 y＝－2x＋m 经过点 O 时，m＝0，

当直线 y＝－2x＋m 经过点 B 时，m＝6，

∴若直线 y＝－2x＋m 与△AOB 三条边只有两个公共点，则 M 的取值范围为 0＜m＜6.

第 3 题解图

类型二根据区域内整点个数确定参数取值范围

1. 解：

（1）∵直线 l：

y＝kx＋b 过点 A（3，3），

∴3＝3k＋b.

∴k 和 b 的关系式为 b＝3－3k；

（2）①如解图所示，

当 k＝2 时，直线 l 表达式为 y＝2x－3，直线 y＝kx 为 y＝2x，

结合函数图象，区域 W 内的整点个数有 2 个；

第 1 题解图

②1＜k≤2.

【解法提示】当直线 y＝kx 过点（2，2）时，此时直线的表达式为 y＝x，∵直线 l：

y＝kx＋b 过点（3，3）

且与 y＝x 平行，故此时直线 l 的表达式也为 y＝x，区域 w 内没有整点，又由

（1）可知，当区域 W 内有 2 个

整点时，k＝2.综上所述，若区域 W 内恰有 2 个整点时，k 的取值范围为 1

2. 解：

（1）∵B（3，－3），C（5，0），四边形 OABC 是平行四边形，

∴AB＝OC＝5.

∴点 A 的坐标为（－2，－3）.

∴k＝6；

（2）①设直线 OB 的表达式为 y＝mx，

由 B 点坐标（3，－3），可得 m＝－1，

∵过点 A 的直线 l 平行于直线 OB，

∴设直线 l 的表达式为 y＝－x＋b，

把点 A 的坐标（－2，－3）代入上式并解得 b＝－5，

∴直线 l 的表达式为 y＝－x－5；

②区域 W 内（含边界）有两个整点．

6

或－3，由

（1）知 A（－2，－3），

∴点 D 的坐标为（－3，－2），

∴区域 W 内（含边界）只有 D、A 两个整点．

3. 解：

（1）∵正方形 OABC 的边长为 2，

∴B（2，2）.

k

（2）①区域 W 内有 2 个整点；

113

作出图象如解图①所示，结合函数图象，区域 W 内有 2 个整点．

第 3 题解图①

31

当直线 y＝mx＋m＋1 过（0，2）时，区域 W 内恰好有 3 个整点，如解图②所示，

第 3 题解图②

则 2＝m＋1，解得 m＝1，

1

类型三根据面积关系确定参数取值范围

1. 解：

（1）∵直线 l：

y＝kx＋1（k≠0）交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B（3，0），

∴0＝3k＋1.

1

∴k＝－3 .

1

当 x＝0 时，y＝1，

∴点 A（0，1）；

（2）如解图，过点 A 作 AM⊥PD，垂足为点 M，则有 AM＝2，

11

1

1111

∵B（3，0），

∴点 B 到直线 x＝2 的距离为 

，即BDP 的边 PD 上的高长为 1，

1111

31

1

317

17

第 1 题解图

a

x

a

∴a－2＝3 .

∴a＝3.∴A（3，1）.

∵点 A 在 y＝x＋b 图象上，

∴1＝3＋b.

∴b＝－2；

（2）由

（1）知直线 l1 为 y＝x－2.设直线 l1∶y＝x－2 与 x 轴的交点为 D，

∴D（2，0）.

①当点 C 在点 A 的上方如解图①，

第 2 题解图①

∵直线 y＝－x＋m 与 x 轴交点为 B，

∴B（m，0）.

∵点 C 在点 A 的上方，

∴m＞4.

∵直线 y＝－x＋m 与直线 y＝x－2 相交于点 C，

⎧y＝x－2，

∴⎨

⎪y＝－x＋m，

2

2

⎩y＝m－2．

m＋2m－2

2

∵

 ABC＝

 BCD－

 ABD≥6，

1m－21

2

∴m≥8；

②若点 C 在点 A 下方，如解图②，

此时 m＜4.

第 2 题解图②

∵

 ABC＝

 ABD＋

 BCD≥6，

112－m

∴2 （2－m）×1＋2 （2－m）· 2

∴m≤－2.

综上所述，m≥8 或 m≤－2.

≥6.

类型四根据线段、面积、图形求点坐标

2

3

∴B（0，4），

22

解得 x＝－6，

∴A（－6，0），

1

（2）根据题意得：

点 B 到 AC 的距离为 4，

1

解得 AC＝8，

即点 C 到点 A 的距离为 8，

∴点 C 的坐标为（－14，0）或（2，0）.

8

x

8

∴点 A 的坐标为（2，4）.

将 A（2，4）代入 y＝kx，得：

4＝2k，

解得 k＝2；

5

2

【解法提示】分三种情况考虑，过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C，如解图所示．

①当 AB1＝AO 时，CO＝CB1＝4，

∴点 B1 的坐标为（0，8）；

②当 OA＝OB2 时，∵点 A 的坐标为（2，4），

∴OC＝4，AC＝2.

∴OA＝ OC2＋AC2 ＝2 5 .

∴OB2＝2 5 .

∴点 B2 的坐标为（0，2 5 ）；

2

③当 B3O＝B3A 时，设 OB3＝m（m＞0），则 CB3＝4－m，AB3＝m，

在 Rt△ACB3 中，AB3 ＝CB23 ＋AC2，即 m2＝（4－m）2＋22，

5

5

5

综上所述：

点 B 的坐标为（0，8），（0，2 5 ），（0，2 ）.

第 2 题解图

3. 解：

（1）∵A（1，m）在一次函数 y＝2x 的图象上，

∴m＝2.

k

2

（2）如解图所示，作点 A 关于 x 轴的对称点 A′，连接 A′B 交 x 轴于点 M，此时 MA＋MB 最小，

∴点 A 关于 x 轴的对称点 A′（1，－2），

∵B（2，1），

⎧－2＝n＋b，

设 A′B 的表达式为 y＝nx＋b，代入点 A′、B 得⎨

⎪1＝2n＋b，

⎧⎪n＝3，

解得⎨

⎩

⎪b＝－5，

∴直线 A′B 的表达式为 y＝3x－5.

5

第 3 题解图

k

x

∴k＝（－2）×（－1）＝2.

2

∴反比例函数解析式为 y＝x .

2

∴m＝2.

∴A（1，2）.

∵点 A 关于 x 轴的对称点为点 C，

∴C（1，－2）；

②∵直线 l：

y＝ax＋b 经过点 A（1，2）和点 B（－2，－1），

⎧⎪2＝a＋b，

得⎨

⎩

⎪－1＝－2a＋b，

⎧⎪a＝1，

解得⎨

⎪⎩b＝1.

∴直线 l 的解析式为 y＝x＋1；

（2）1－ 3 ≤t≤0 或 2≤t≤1＋ 3 .

【解法提示】如解图，∵点 A 关于 x 轴的对称点为点 C，

∴AC∥y 轴．

∵BD⊥y 轴，

∴∠BDC＝90°，D（1，－1）.

∵C（1，－2），

∴CD＝1.

①当点 E 在点 D 左侧时，

当∠CED＝45°时，DE＝CD＝1，

∴t＝0.

当∠CE′D＝30°时，DE′＝ 3 CD＝ 3 ，

∴t＝1－ 3 .

∵30°≤∠CED≤45°，

∴1－ 3 ≤t≤0；

②当点 E 在点 D 右侧时，同理可得，2≤t≤1＋ 3 ，

综上所述，1－ 3 ≤t≤0 或 2≤t≤1＋ 3 .

第 4 题解图