等差等比数列以及数列求和专题.docx
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等差等比数列以及数列求和专题
§6.2等差数列
一．课程目标
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；
4.了解等差数列与一次函数的关系.
二．知识梳理
1.定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
数学语言表达式：
an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数），或an－an－1＝d（n≥2，d为常数）.
2.通项公式
若等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋（n－1）d.
3.前n项和公式
等差数列的前n项和公式：
Snna1n（n1）dn（a1an）其中n∈N*，a1为首项，
22
d为公差，an为第n项）.
3.等差数列的常用性质
已知数列｛an｝是等差数列，Sn是｛an｝的前n项和.
（1）通项公式的推广：
anam（nm）d（n,mN*）
（2）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则有amanapaq。
特别的，当mn2p时，aman2ap
（3）等差数列｛an｝的单调性：
当d>0时，｛an｝是递增数列；当d<0时，｛an｝是递减数列；当d＝0时，｛an｝是常数列.
（4）若｛an｝是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，⋯（k，m∈N*）是公差为md的等差数列.
（5）若｛an｝,｛bn｝是等差数列，则｛panqbn｝仍是等差数列.
4.与等差数列各项和相关的性质
S
1）若｛an｝是等差数列，则｛n｝也是等差数列，其首项与｛an｝的首项相同，公差为｛an｝的n
1公差的1。
2
2）数列Sm,S2mSm,S3mS2m⋯也是等差数列
3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。
an
an1
a.若项数为2n，则S偶S奇nd,S奇
S偶
5.等差数列的前n项和公式与函数的关系：
1）Sdn2（a1d）n，数列{an}是等差数列
22
（2）在等差数列｛an｝中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
．考点梳理
1.等差数列的概念及运算
例1.（2016·全国∈卷）已知等差数列｛an｝前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）
A.100B.99C.98D.97
例2.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝
练习1.（2015·全国∈卷）已知｛an｝是公差为1的等差数列，Sn为｛an｝的前n项和.若S8＝4S4，则a10等于（）
1719
A.2B.2C.10D.12
2.等差数列的性质
例1.（2015·全国∈卷）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝（）
例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于（）
A.63B.45C.36D.27
例3.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个
数列的项数为（）
A.13B.12C.11D.10
例4.（2015·广东卷）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝.
例5.（2016·武汉调研）已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d
等于（
）
A.－1
B.－2C.－3D.－4
例6.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有TSnn＝24nn－－33，则
3.等差数列与函数
例1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是（）
a69
例2.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，a1>0且＝，则当Sn取最大值时，n的值为（）a511
A.9B.10C.11D.12
例3.已知等差数列｛an｝满足a1＋a2＋a3＋⋯＋a101＝0，则有（）
例4.已知正项等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S12＝24，则a6·a7的最大值为（）
例5.设｛Sn｝是公差为d（d0）的无穷等差数列｛an｝的前n项和，则下列命题错误的是（）
A.若d<0，则数列｛Sn｝有最大项
B.若数列｛Sn｝有最大项，则d<0
C.若数列｛Sn｝为递增数列，则对任意nN*，均有Sn>0
D.若对任意nN*，均有Sn>0，则数列｛Sn｝为递增数列
例6.设等差数列｛an｝满足a2＝7，a4＝3，Sn是数列｛an｝的前n项和，则使得Sn>0成立的最大
A．9B．10C．11D．12
方法总结：
求等差数列前n项和的最值，常用的方法：
（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；
（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；
（3）将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.
§6.3等比数列
一．课程目标
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.了解等比数列与指数函数的关系
．知识梳理
1.等比数列的概念
（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0表）示.
数学语言表达式：
an＝q（n≥2，q为非零常数），或an1＝q（n∈N*，q为非零常数）.
an－1an
（2）如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
（1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：
an＝amqn－m.
a1（1－qn）a1－anq
（2）等比数列的前n项和公式：
当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝1－q＝
－1－q
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
（1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝am·an.
21
（2）数列{can}（c0）,{an},{anbn}（{bn}是等比数列），{an2}，{}等也是等比数列。
an
（3）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，⋯仍是等比数列，公比
为qm.
（4）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
（5）等比数列{an}的单调性：
当q>1，a1>0或0当q>1，a1<0或00时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，数列{an}是常数列.
（6）当n是偶数时，S偶S奇q;
当n为奇数时，S奇a1S偶q
三．考点梳理
1.等比数列的概念及运算
5
例1.在单调递减的等比数列｛an｝中，若a31，a2a45，则a1＝（）
例3.（2015·全国∈卷）在数列｛an｝中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为｛an｝的前n项和.若Sn＝126，则n＝.
2.等比数列的性质
例1.（2016·全国∈卷）设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2⋯an的最大值为
例2.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若SS6＝3，则SS9＝（）
78
3C.3
例3.（2015·全国∈卷）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝（）
A.21B.42C.63D.84
例4.设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于（）
A.150B.－200
C.150或－200D.400或－50
例5.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于（）
A.12
B.13
C.14
D.15
例6.数列{an}中，
已知对任意
n∈N*，a1＋a2＋a3＋⋯＋an＝3n－1，
则a12＋a22＋a32＋⋯＋an2等
于（）
A.（3n－1）2
1n
B.2（9n
－1）C.9n－1
1
D.14（3n－1）
例7.在等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是
例8.已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1（n∈N*），且a2＋a4＋a6＝9，则log1（a5a7a9）3
的值是（）
11
A．－5B．－5C．5D．5
例10.若等比数列{an}的前n项均为正数，且a10a11a9a122e5，则lna1lna2lna20.
6.3数列求和
．课程目标：
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法
二．知识梳理
1.求数列的前n项和的方法
（1）公式法
∈等差数列的前n项和公式
∈等比数列的前n项和公式
（∈当）q＝1时，Sn＝na1；
（2）分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解
（3）裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.
（4）倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广
（5）错位相减法
即等比数列求和
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，
公式的推导过程的推广
2.常见的裂项公式
（3）
三．考点梳理
1.求数列的通项公式。
是等差数列，并求出{an}的通项公式；
并且求出数列{an}的通项公式；
满足：
b37
4，且3bnbn1n1（n∈N*且n≥2）．
∈）求数列{an}的通项公式；
∈）求证：
数列{bnan}为等比数列；
列，并求数列{an}的通项公式；
通项公式。
（1）求数列{an}的通项公式;
4n1
（2）令bn=+2n1an，求数列{bn}的前n项和.
anan1
5752
a1,a2an2an1an
例7.数列{an}中，33，且33（nN*）．
（1）求a3,a4；
（2）求数列{an}的通项公式；
求通项公式的方法：
②根据目标数列构造等差、等比数列，然后通过等差、等比数列的通项公式反推出原数列的通项公式；
③如果递推公式是有数列的前后三项组成，可先构造等比或等差数列，然后按照2的步骤进行反推。
2.数列求和
（1）分组转化法
①若数列{cn}的通项公式为cn＝anbn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
an，n为奇数，
②若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数
bn，n为偶数，
列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.
例1.在数列{an}中，已知a11,an11，bn23log1an（nN*）．
4an44
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
数列{bn}是等差数列；
（3）设数列{cn}满足cn=anbn，求{cn}的前n项和Sn．
例2.已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且112，S663.a1a2a3
（1）求{an}的通项公式；
求数列{
（1）bn}的前2n项和.
（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an1的等差中项，
1111例3.数列112，314，518，7116，
21
A.n2＋1－2n
21
C.n2＋1－2n－1
1
⋯，（2n－1）＋2n，⋯的前n项和Sn的值等于（
21
B.2n2－n＋1－2n
21
D.n2－n＋1－2n
例4.数列｛an｝的通项公式anncosn，其前n项和为Sn，则S2016等于（）
2
A.1008B.2016C.504D.0
2）裂项相消法：
剩两项，后面也剩两项
∈将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
例1.（2015·全国∈卷）Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，an2＋2an＝4Sn＋3.
（1）求{an}的通项公式；
1
（2）设bn＝1，求数列{bn}的前n项和.anan＋1
例2.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.
（1）求an；
1
（2）设bn＝S，求数列{bn}的前n项和为Tn.
1n-1
例3.已知数列{an}的前n项和Sn=﹣an﹣（）n-1+2（n∈N*），数列{bn}满足bn=2nan．
2
1）求证数列｛bn｝是等差数列，并求数列｛an｝的通项公式；
2）设cn=log2
an，数列｛cc2｝的前n项和为Tn，求满足Tn<25（n∈N*）的n的最ancncn221
大值．
例4.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=2Sn+1，n∈N
1）求数列{an}的通项公式；
1?
（2）令c=log3a2n，bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意n∈N?
，λcncn2
成立，求实数λ的取值范围．
（3）错位相减法：
{bn}的公比，然后作差求解。
一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列
在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－
qSn”的表达式.
例1.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15．
（1）求{an}的通项公式；
3an3
2（n∈N+）
Sn
例2.已知数列{an}的前n项和为Sn，
1）求数列{an}的通项公式；
n∈N+）
2）若数列{bn}满足an?
bn=log3a4n+1，记Tn=b1+b2+b3+⋯+bn，求证：
例3.（2016·山东）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（an1）n1
（2）令cn＝nn，求数列{cn}的前n项和Tn．
（bn2）
4）倒序相加法：
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法
4x12
4x2，求Sf（2013）f（2013）
1）求m的值；
12
n1
f（）f
（1），求an；n
2）已知数列{an}满足anf（0）f（）f（）nn
1
例3.已知函数f（x）4x2，P1（x1,y1）,P2（x2,y2）是函数f（x）图象上的任意两点，且线
1
段P1P2的中点的横坐标为
122
（1）求证：
点P的纵坐标为定值；
（2）数列{an}中，若a1f（）,a2f（）,,am1f（）,amf（），求数列
mmmm
{an}的前m项的和Sm
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