等差等比数列以及数列求和专题.docx

1、等差等比数列以及数列求和专题6.2 等差数列一课程目标1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问 题；4.了解等差数列与一次函数的关系 .二知识梳理1.定义如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 .数学语言表达式： an1 and（nN*，d 为常数 ），或 anan1 d（n2， d 为常数 ）.2.通项公式若等差数列 an 的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 ana

2、1（n1）d.3.前 n 项和公式等差数列的前 n项和公式： Sn na1 n（n 1）d n（a1 an） 其中 nN*，a1为首项，22d 为公差， an 为第 n 项 ）.3.等差数列的常用性质已知数列 an是等差数列， Sn是an的前 n 项和.(1)通项公式的推广： an am (n m)d(n, m N*)(2)若 mnpq(m，n，p，qN*)，则有 am an ap aq 。特别的，当 m n 2p时， am a n 2a p(3)等差数列 an的单调性： 当d0时， an是递增数列； 当 d0，d0，则 Sn存在最大值；若 a10，则 Sn存在最小 值.考点梳理1.等差数列的

3、概念及运算例1.(2016 全国卷)已知等差数列 an前9项的和为 27，a108，则 a100( )A.100 B.99 C.98 D.97例 2.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，S36， S4 12，则 S6 练习 1.(2015 全国卷)已知 an是公差为 1的等差数列， Sn为 an的前 n项和.若S84S4，则 a10 等于( )17 19A. 2 B. 2 C.10 D.122.等差数列的性质例1.(2015 全国卷)设 Sn是等差数列 an的前 n项和，若 a1a3a53，则 S5( )例2.设等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 S39，S636，则 a7a8a9等于

4、( )A.63 B.45 C.36 D.27例 3.若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390 ，则这个数列的项数为 ( )A.13 B.12 C.11 D.10例 4.(2015 广东卷 ) 在等差数列 an 中，若 a3a4a5a6a7 25，则 a2 a8 .例 5.(2016 武汉调研 )已知数列 an 是等差数列， a1 a7 8， a2 2，则数列 an 的公差 d等于()A.1B.2 C. 3 D.4例6.设等差数列 an，bn的前 n项和分别为 Sn，Tn，若对任意自然数 n都有TSnn 24nn33，则3.等差数列与函数例 1.等

5、差数列 an的前 n项和为 Sn，已知 a113，S3S11，当 Sn最大时， n 的值是 ( )a6 9例 2.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，a10 且 ，则当 Sn取最大值时， n 的值为 ( ) a5 11A.9 B.10 C.11 D.12例 3.已知等差数列 an满足 a1a2a3a1010，则有 ( )例4.已知正项等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 S1224，则 a6a7的最大值为 ( )例5.设 Sn 是公差为 d(d 0 )的无穷等差数列 an 的前n项和，则下列命题错误的是 ( )A.若 d0，则数列 Sn 有最大项B.若数列 Sn 有最大项，则 d0D.若

6、对任意 n N*，均有 Sn 0，则数列 Sn 为递增数列例 6.设等差数列 an满足 a27，a43，Sn是数列an的前 n项和，则使得 Sn0 成立的最大A9 B10 C 11 D12方法总结：求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前 n项和 SnAn2Bn(A，B为常数 )看作二次函数，根据二次函数的性质 求最值 .6.3 等比数列一课程目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应

7、的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数 列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q(q0表) 示 .数学语言表达式： an q(n2，q为非零常数 )，或 an 1 q(nN * ， q为非零常数 ).an 1 an(2)如果三个数 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，其中 G ab.2.等比数列的通项公式及前 n 项和公式(1)若等比数列 an的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 ana1qn1；通项公式的推广： an amq

8、nm.a1( 1 qn) a1 anq(2)等比数列的前 n项和公式：当 q1时， Snna1；当 q1时， Sn 1q 1 q3.等比数列的性质已知 an是等比数列， Sn是数列an的前 n项和.(1)若 kl mn(k，l，m，nN*)，则有 akalaman.21(2)数列c an(c 0), an ,an bn ( bn 是等比数列)， an2， 等也是等比数列。an(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，akm， ak2m，仍是等比数列，公比为 qm.(4)当 q1，或 q1且 n 为奇数时， Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 qn.(5)等比数列

9、an 的单调性：当 q1，a10 或 0q1，a11，a10 或 0q0 时，数列 an 是递减数列； 当 q1 时，数列 an是常数列 .(6) 当 n 是偶数时， S偶 S奇 q;当 n 为奇数时， S奇 a1 S偶 q三考点梳理1.等比数列的概念及运算5例 1.在单调递减的等比数列 an 中，若 a3 1， a2 a4 5 ，则 a1 ( )例3.(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前 n项和.若 Sn126，则 n .2.等比数列的性质例 1.(2016 全国 卷 )设等比数列满足 a1a310，a2a4 5，则 a1a2an 的最大值为例 2.设等比数列

10、 an的前 n 项和为 Sn，若SS63，则SS9( )783 C.3例 3.(2015 全国 卷)已知等比数列 an 满足 a13， a1 a3a521，则 a3 a5 a7 ( )A.21 B.42 C.63 D.84例 4.设各项都是正数的等比数列 an ，Sn为前 n项和，且 S1010，S3070，那么 S40等于 ( )A.150 B. 200C.150 或 200 D.400 或 50例 5.在正项等比数列 an 中，已知 a1a2a3 4，a4a5a6 12，an1anan1 324，则 n 等于 ( )A.12B.13C.14D.15例 6.数列 an 中，已知对任意nN*，

11、a1a2a3 an3n1，则 a12 a22 a32 an2等于( )A.(3 n 1)21nB.2(9n 1) C.9n 11D.14(3n1)例 7.在等比数列 an中， a21，则其前 3项的和 S3的取值范围是 例 8. 已知数列 an满足 log3an1 log3an1(nN*)，且 a2a4a69，则 log 1(a5 a7 a9 ) 3的值是 ( )11A 5 B 5 C 5 D 5例 10.若等比数列 an的前 n 项均为正数，且 a10a11 a9a12 2e5 ，则 ln a1 ln a2 ln a20 .6.3 数列求和课程目标：1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公

12、式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法二知识梳理1.求数列的前 n 项和的方法(1)公式法等差数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式 ( 当) q1时， Sn na 1；(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 .(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法即等比数列求和主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，公式的推导过程的推广2.常见的裂项公式(3)三 考点梳理1.求数列的通项公式。

13、是等差数列，并求出 an 的通项公式；并且求出数列 a n的通项公式；满足：b 374 ，且 3bn bn 1 n 1（ nN*且 n2）求数列 an 的通项公式；）求证：数列 bn an 为等比数列；列，并求数列 an 的通项公式；通项公式。(1)求数列 an 的通项公式 ;4 n 1(2)令bn= + 2n 1an， 求数列 bn的前 n项和.an an 15 7 5 2a1 , a2 an 2 an 1 an例 7.数列 an 中， 3 3 ，且 3 3 （n N *） （1）求 a3,a4 ；（2）求数列 an 的通项公式；求通项公式的方法：根据目标数列构造等差、等比数列，然后通过等差

14、、等比数列的通项公式反推出原数列 的通项公式；如果递推公式是有数列的前后三项组成，可先构造等比或等差数列，然后按照 2 的步骤 进行反推。2.数列求和（1）分组转化法若数列 cn 的通项公式为 cnan bn，且 an，bn为等差或等比数列，可采用分组 求和法求数列 cn 的前 n 项和 .an， n为奇数，若数列 cn 的通项公式为 cn 其中数列 an ， bn 是等比数列或等差数bn，n为偶数，列，可采用分组求和法求 an的前 n 项和.例1.在数列 an 中，已知 a1 1,an 1 1，bn 2 3log1 an（n N*）4 an 4 4（1）求数列 an 的通项公式；（2）求证：

15、数列 bn 是等差数列；（3）设数列 cn 满足 cn = an bn ，求 cn 的前 n 项和 Sn 例 2. 已知 an是等比数列，前 n项和为 Sn(nN*)，且 1 1 2 ， S6 63. a1 a2 a3(1)求an 的通项公式；求数列 ( 1) bn 的前 2n项和 .(2)若对任意的 nN*，bn是log 2 an和log 2 an 1的等差中项，1 1 1 1 例 3.数列 112， 314，518，7116，21A.n2 12n21C.n212n11，（2n1）2n，的前 n项和 Sn的值等于 （21B.2n2n 12n21D.n2n 12n例 4.数列 an的通项公式

16、an ncosn ，其前 n项和为 Sn，则 S2 016等于 ( )2A.1 008 B.2 016 C.504 D.02）裂项相消法：剩两项，后面也剩两项将通项公式裂项后， 有时候需要调整前面的系数， 使裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等 .例 1.（2015 全国 卷）Sn 为数列 an 的前 n 项和 .已知 an0， an2 2an 4Sn 3.(1)求an 的通项公式；1(2)设 bn 1 ，求数列 bn的前 n 项和. anan1例 2.设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，已知 S3a7，a82a33.(1) 求 an；1(2)设 bnS ，求数列 bn的前 n 项和

17、为 Tn.1 n- 1例 3.已知数列 an的前 n 项和 Sn= an（ ）n- 1 +2（ nN*），数列 b n满足 bn=2nan21）求证数列 b n是等差数列，并求数列 a n的通项公式；2）设 cn= log 2an ，数列 c c2 的前 n项和为 Tn，求满足 Tn25（nN*）的 n的最 a n c ncn 2 21大值例 4.已知数列 a n的前 n 项和为 Sn，a1=1，且 an+1=2Sn+1，nN1）求数列 a n的通项公式；1?（2）令 c=log3a2n，bn= ，记数列 b n的前 n 项和为 Tn，若对任意 nN?，Tn 恒cncn 2成立，求实数 的取值

18、范围（3）错位相减法： bn的公比，然后作差求解。一般地，如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 anbn的前 n 项和时，可 采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列在写出 “Sn”与 “qSn”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐 ”以便下一步准确写出 “SnqSn ”的表达式 .例 1.已知等差数列 an的前 n 项和 Sn满足 S36，S515 (1)求an 的通项公式；3an 32 (nN +)Sn例 2.已知数列 a n 的前 n 项和为 Sn，1)求数列 an 的通项公式；nN+)2)若数列 b n 满足 an?bn=log 3a4n+1 ，记 Tn=b1+

19、b2+b3+ +bn，求证：例 3.（2016 山东 ）已知数列 an 的前 n项和 Sn3n28n， bn是等差数列，且 anbnbn1（1）求数列 bn的通项公式；（an 1）n 1 （2）令 cn n n ，求数列 cn的前 n 项和 Tn（bn 2）4）倒序相加法：如果一个数列 an ，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和 与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法4 x 1 24x 2，求 S f ( 2013) f ( 2013)1 ）求 m 的值；12n1f( ) f (1) ，求an； n2)已知数列 an满足 an f(0) f( ) f( ) nn1例 3.已知函数 f(x) 4x 2，P1(x1,y1),P2(x2,y2) 是函数 f ( x)图象上的任意两点， 且线1段 P1P2 的中点的横坐标为1 2 2(1)求证：点 P 的纵坐标为定值；(2)数列 an中，若 a1 f ( ),a2 f( ), ,am 1 f( ),am f( )，求数列m m m m a n 的前 m 项的和 Sm