普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅱ卷数学试题文科解析版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅱ卷数学试题文科解析版
2014年新课标II卷数学试卷（文科）
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.设集合A={-2,0,2}，B={x|x2-x-2=0}，则A⋂B=（）
A．∅B．{2}C．{0}D．{-2}
【答案解析】B.
解析：
把-2，0，2代人x2-x-2=0验证，只有2满足不等式，故选B.考点：
考查集合的知识，简单题.
1+3i
2.1-i
=（）
A．1+2iB．-1+2iC．1-2iD．-1-i
【答案解析】B.
1+3i
（1+3i）（1+i）-2+4i
解析：
===-1+2i
1-i（1-i）（1+i）2
故选B.
考点：
考查复数的基本知识，简单题.
3.函数f（x）在x=x0处导数存在，若p:
f（x0）=0,q:
x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案解析】C.
解析：
极值点必为导函数的根，而导函数的根不一定是极值点，即
q⇒p,p⇒/q
故选C.
从而p是q的必要但不充分的条件
考点：
考查充要条件与极值的基础知识，简单题.
4.设向量a,b满足a+b=，a-b=，则a∙b=（）
A．1B．2C．3D．5
【答案解析】A．解析：
|a+b|=10,|a-b|=
∴a2+2a⋅b+b2=10,a2-2a⋅b+b2=6
∴4a⋅b=4
∴a⋅b=1
故选A．
考点：
考查平面向量的数量积，中等题.
5.等差数列{an}的公差为2，若a2,a4,a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn
=（）
A．n（n+1）
）B．
n（n-1）
n（n+1）
C．
2
n（n-1）
D．
2
【答案解析】A．
解析：
∵数列{an}是等差数列，公差等于2
∴a2=a1+2,a4=a1+6,a8=a1+14
∵a2,a4,a8
成等比数列
∴a2=a⋅a⇒（a+6）2=（a+2）（a
+14）
428111
解得a1=2⇒an=2+（n-1）⋅2=2n（2+2n）⋅n
∴Sn=2=n（n+1）
故选A．
考点：
考查等差数列的通项公式与求和公式，中等题.
6.如图，网格纸上正方形小格子的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛胚切削而得到，则切削掉部分的体积与原来毛胚体积的比值为（）
175
A．B．
279
101
C．D．
273
【答案解析】C.
解析：
毛胚的体积V=π⋅32⋅6=54π
制成品的体积
V=π⋅32⋅2+π⋅22⋅4=34π
1
∴切削掉的体积与毛胚体积之比为：
1-V1=1-34π=10
，故选C.
V54π27
考点：
考查三视图于空间几何体的体积，中等题.7.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为
的体积为（）
，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1
3
A．3B．
2
【答案解析】C.
C．1D．
2
解析：
∵正三棱柱的底面边长为2，D为BC中点
∴AD==
∵B1C1=2,CC1=
11
11
∴SBDC
=2⋅B1C1⋅CC1=2⋅2⋅=
11
∴VABC
=3⋅SBDC
⋅AD=⋅
3
3⋅=1
.故选C.
1111
考点：
考查空间点，线，面关系和棱锥体积公式，中等题.
8.执行右图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7
【答案解析】D.解析：
第1次循环M=2,S=5,k=1第2次循环，M=2,S=7,k=2
第3次循环k=3>2,故输出S=7，故选D.考点：
考查算法的基本知识，简单题.
⎧x+y-1≥0
⎪
9.设x，y满足约束条件⎨x-y-1≤0
⎩
⎪x-3y+3≥0
，则z=2x+y的最大值为（）
A．8B．7C．2D．1
【答案解析】A．解析：
作图即可.
考点：
考查二元一次不等式组的应用，中等题.
10.设F为抛物线C：
y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|=
（）
A．B．6C．12D．73
【答案解析】C.解析：
∵y2=3x
∴抛物线C的焦点的坐标为：
F（3
4
0）
3
所以直线AB的方程为：
y=tan30︒（x-）
4
⎧
⎪y=
故⎨
3（x-3）
34
⎩
⎪y2=3x
12
从而16x2-168x+9=0⇒x+x
=21
2
∴弦长|AB|=x1+x2+2=12
故选C.
考点：
考查抛物线的几何性质，弦长计算以及分析直线和圆锥曲线位置关系的能力，难度为中等题.
11.若函数f（x）=kx-lnx在区间（1,+∞）上单调递增，则k的取值范围是（）
A．（-∞,-2]
B．（-∞,-1]
C．[2，+∞）
D．[1，+∞）
【答案解析】D.
解析：
f（x）=kx-lnx
∴f'（x）=k-1（x>0）
x
f（x）在区间（1,+∞）上递增
∴f（x）在区间（1,+∞）上恒大于等于0，
∴f'（x）=k-1≥0⇒k≥1（∀x∈（1,+∞））
xx
∴k≥1
故选D.
考点：
考查导数与函数单调性的关系.中等题.
00
12.设点M（x,1），若在园O:
x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x的取值范围是
（）
A．[-1,1]
【答案解析】A．
B．[-
1,1]
22
C．[-
2,2]
D．[-,]22
解析：
设N点的坐标为（cosθ,sinθ）
（1）当x0≠0,±1时
∵M点的坐标为（x0,1）
1
1-sinθ
∴OM,MN的斜率分别为：
kOM=x
kMN=x
-
cosθ
00
∵∠OMN=45︒
∴tan45︒=±kMN-kOM
⇒±（k
-k）=1+kk
1+kMNkOM
MNOMMNOM
即±（
1-sinθ-1）=1+1-sinθ⋅1
（*）
x0-cosθx0x0-cosθx0
000
取正号时，化简（*）式得：
（1+x）cosθ+（1-x）sinθ=1+x2
000
取负号化简（*）式得：
（x-1）cosθ+（1+x）sinθ=1+x2
∴
∴
故|x0|<1
且x0≠0
sin（θ+ϕ）=1+x2
≥1+x2⇒x4≤1⇒|x|≤1
（2）当x0=0时，取N（1,0）,此时满足题设.
（3）当x0=±1时，取N（0,1），此时也满足题设.
综上所述，-1≤x0≤1
，故选A．
从上面解法可以看到选择N的几个特殊位置观察，即可以猜出答案，这样就可以简化解法.考点：
考查应用斜率与倾斜角的概念，直线方程，园的方程,分析问题的能力.困难题.
第II卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.甲乙两名运动员各自从红，白，蓝3种颜色的运动服从选择1种，则他们选择相同颜色的运动服的概率为.
1
【答案解析】.
3
解析：
P==1.
3⋅33
考点：
考查古典概型的概念.简单题.
14.函数f（x）=sin（x+ϕ）-2sinϕcosx的最大值为.
【答案解析】1
解析：
因为f（x）=sinxcosϕ+cosxsinϕ-2sinϕcosx
=sinxcosϕ-sinϕcosx=sin（x-ϕ）
所以最大值为1.
考点：
考查和差角公式，简单题.
15.偶函数y=f（x）的图像关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（-1）=.
【答案解析】3
解析：
因
f（x）
是偶函数，所以
f（-1）=f
（1）
，因f（x）关于
x=2
，所以
f
（1）=f（2⋅2-1）=f（3）=3.
考点：
考查偶函数的概念，轴对称的概念.简单题.
1
n
16.数列{an}满足an+1=1-a，a2=2，则a1=.
1
【答案解析】
2
1
n
解析：
∵an+1=1-a
，a2=2
111
1
∴a2=1-a
⇒2=
1-a1
⇒a1=2
考点：
考查递推数列的概念，简单题.三、解答题（本大题共8小题）
17.（12分）
四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2.
（I）求C和BD；
（II）求四边形ABCD的面积.
【答案解析】解析：
（I）
AB=1,BC=3,CD=DA=2,A+C=180︒
∴BD2=BC2+CD2-2BC⋅CDcosC
BD2=AB2+AD2-2AB⋅ADcos（180︒-C）
∴22+32-2⋅3⋅2cosC=12+22+2⋅1⋅2cosC
∴cosC=1⇒C=60︒2
∴BD2=22+32-2⋅3⋅2cos60︒=7⇒BD=
11
（II）由（I）得，四边形ABCD的面积S=
=1⋅1⋅2sin（180︒-60︒）+1⋅2⋅3sin60︒=222
考点：
考查余弦定理的应用，中等题.
18.（12分）
AB⋅ADsinA+
22
3
BC⋅DC⋅sinC
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD中点.
（I）证明:
PB||平面AEC;
（II）设AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离.
4
【答案解析】解析：
（I）连接EF,因为四边形ABCD是矩形，故F为AC中点，又因为E为PD
中点，故EF是△PBD的中位线，从而EF||PB,故PB||面AEC.
（II）设AB=a，因AD=3,PA=1
1111
则VP-ABD=
所以a=3
2
⋅（AB⋅AD）⋅PA=⋅（a⋅3）⋅1=
32324
过A作AG垂直PB于G.
因为PA⊥面ABCD,BC⊂面ABCD⇒PA⊥BC,
又因为AB⊥BC
所以BC⊥面PAB,又BC⊂面PBC
故面PBC⊥面PAB⇒AG⊥面PBC
所以AG为点A到面PBC的距离.
因PB===
2
所以1PB⋅AG=122
PA⋅AB⇒AG=PA⋅AB=
PB
313
13
故点A到面PBC的距离为.
13
考点：
考查空间点线面的位置关系与空间距离.中等题.
19.（12分）
某市为了考核甲乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50为市民对这两部门的平分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：
（I）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数；
（II）分别估计该市的市民对对甲，乙两部门的评分高于90的概率；
（III）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价.
【答案解析】解析：
（I）甲部门的得分共50个，50个数字从小到大排列起来位于中间位置的数为第25，第26个数，它们分别是：
75，75，故甲部门得分的中位数是75.
乙部门的得分也是50个数，它们从小到大排列起来的第25，26个数字分别是：
66，68，
66+68
故乙部门的中为数为
2
=67.
（II）市民对甲，乙两部门的评分各有n=50个，对甲部门评分高于90分的分数有m=5个，
m
对乙部门的评分高于90分的s=8个，故对甲部门评分高于90分的概率为
n
=5=0.1，50
s
对乙部门的评分高于90的概率为
n
=8=0.16.
50
34
（III）观察茎叶图的形状，甲的分数在茎6，7处形成单峰，出现在这里面的数据频率为，
50
29
其中位数为75，乙的分数在茎5，6，7处形成单峰，出现在这个单峰里面的数据频率为，
50
3429
中位数为67.因为>
5050
75>67,这说明市民对甲部门的评价基本在75分附近，对乙部门
的评价基本在67分左右.整体看市民对甲部门的评价更好.
考点：
考查使用茎叶图及样本的数字特征估计总体的能力，中等题.
20.（12分）
x2y2
设F1,F2分别是椭圆C:
a2+b2
=1（a>b>0）的左右焦点，M是C上一点且MF2与x
轴垂直，直线MF1与C的另一个交点是N.
3
（I）若直线MN的斜率为
4
，求C的离心率;
（II）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b.
【答案解析】解析：
解析：
（I）∵MF2⊥x轴（不妨设M在x轴的上方）
⎧x2
⎨
∴M的坐标满足方程组⎪a2
y2
+=
b21
⇒
b2
M（c,）
3
∵MN的斜率为
4
b2
⎪⎩x=ca
3
∴=a
42c
⇒2b2=3ac
∵c2=a2-b2⇒2（a2-c2）=3ac
又∵e=c⇒2（1-e2）=3e⇒2e2+3e-2=0
a
∴椭圆离心率为e=.
2
（II）∵MN在y轴上的截距为2，O为F1,F2的中点
∴M的坐标为（c,4）（不妨设M在x轴的上方）
b2=
由（I）得
a
4（*）
∵|MN|=5|NF1|
∴|MF1|=4|NF1|
作NF⊥x轴于T,由于△NTF∽△MFF,故有yM
=4,2c=4
1112
133
-yN-c-xN
∴yN=-4yM
=-1,
xN=-2c
，即N（-c,-1）
2
9c2
把N点的坐标代人椭圆方程得：
4a2
1=1
b2
9（a2-b2）+1=⇒9b2-1=5
∴
4a2
b214a2b2
（**）
4
⎧⎪a=7
把（*）与（**）联立得：
⎨
⎪⎩b=2
考点：
考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，难题.
21.（12分）已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2.曲线y=f（x）在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
（I）a;
（II）证明：
当k<1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点.
【答案解析】解析：
（I）f（x）=x3-3x2+ax+2⇒f'（x）=3x2-6x+a
∵切点为（0,2）,切线过点（-2，0）
0-2
∴切线的斜率为-2-0=1
∴f'（0）=a=1
（II）由（I）知，a=1，故f（x）=x3-3x2+x+2
记g（x）=f（x）-（kx-2）=x3-3x2+（1-k）x+4，
∴g'（x）=3x2-6x+（1-k）
∴∆=36+12（1-k）=24+12k
（1）当∆≥0即-2≤k<1时
由g'（x）=0⇒x1=3
-2≤k<1
∴0，x2=3
∴g'（x）≥0⇔xx2
g'（x）≤0⇔x1∴g（x）在区间（-∞,x1）,（x2,+∞）
上递增，在区间
（x1,x2）上递减
∴g（x）的极小值为g（x2）=x23-3x22+（1-k）x2+4
∵g'（x2）=3x2
2-6x+1-k=0⇒x2
-2x2=
k-13
222222
∴g（x）=x（x2-2x）-x2+（1-k）x+4
=x⋅k-1-x2+（1-k）x+4=-x2-2（k-1）x+4（1≤x
<2）
23222322
记h（x）=-x2-2（k-1）x+4（1≤x<2）⇒h'（x）=-2x-2（k-1）33
2
由-2≤k<1⇒0<-
2
（k-1）≤2，由1≤x<2⇒-4<-2x≤-2
3
∴-4<-2x-
（k-1）≤0⇒h'（x）≤0
3
∴h（x）在区间[1,2）递减⇒h（x）≥h
（2）=-2（k-1）>0
3
∴g（x2）=h（x2）>0⇒g（x1）≥g（x2）>0（∵（x1,x2）是减区间）
∴当-2≤k<1时，方程g（x）=0只有一根.
（2）当∆<0即k<-2时，
有g'（x）=3x2-6x+（1-k）>0，从而g（x）在R上递增
∴当k<-2时，方程g（x）=0只有一根.
综上所述，方程g（x）=0在R上只有一根，即曲线f（x）直线y=kx-2只有唯一交点.考点：
考查利用导数综合研究函数性质的能力，难度压轴题.
22.（10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，
D为PC中点，AD的延长线交O于点E，证明：
（I）BE=EC
（II）AD⋅DE=2PB2
【答案解析】解析：
（I）连接OA,OD交BC于F,设
∠PAD=α，因PA是O的切线，则
∠EAO=∠OEA=90︒-α
∵PC=2PA,PC=2PD
∴PA=PD⇒PAD是等腰三角形
∴∠PDA=∠EDF=α
答案word版+微信
∵∠EDF+∠OEA=α+（90︒-α）=90︒
∴OE⊥BC故OE平分弧BC,从而BE=EC.（II）∵PA2=PB⋅PC,PC=2PD
∴PA2=PB⋅2PD
由（I）知PD=PA
∴PA2=PB⋅2PA⇒PA=2PB
∴AD⋅DE=BD⋅DC=BD⋅PA=（PD-PB）⋅PA=（PA-PB）⋅PA
=PA2-PB⋅PA=PB⋅PC-PB⋅PA=PB⋅（PC-PA）
=PB⋅（PC-PD）=PB⋅DC=PB⋅PA
把PA=2PB代人上式，得PB⋅PA=PB⋅2PB=2PB2
∴AD⋅DE=2PB2
考点：
考查与园有关的角的知识和圆幂定理的应用.难度中等.
23.（10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为
ρ=2cosθ,θ∈
π
[0,].
2
（I）求C的参数方程
（II）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:
y=
3x+2垂直，根据（I）中你得到的参
数方程，确定
D的坐标.
π
【答案解析】解析：
（I）∵极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,]
2
∴ρ2=2ρcosθ
∴对应的普通方程为：
x2+y2-2x=0（y≥0）
⎧x=1+cosϕ
，即（x-1）2+y2=1（y≥0）
版+微信
⎩
∴对应的参数方程为⎨y=sinϕ,ϕ∈[0,π]
（II）设半圆的圆心为A，则A（1,0）,又由（I）知，可以设D点坐标为（1+cosϕ,sinϕ）
∴直线DA的斜率k=tanϕ
∵切线与直线y=
3x+2垂直
p
∴tanϕ=⇒ϕ=
3
（ϕ∈[0,π]）
3
3
∴1+cosϕ=
sinϕ=
22
即D点坐标为（,）
22
考点：
本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用，难度中等题.
24.（1
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