普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅱ卷数学试题文科解析版.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试全国新课标卷数学试题文科解析版2014 年新课标 II 卷数学试卷（文科）第 I 卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.设集合 A=-2,0,2， B = x | x2 - x - 2=0，则 A B =( )A B 2 C 0 D -2【答案解析】B.解析：把-2，0，2 代人 x2 - x - 2 = 0 验证，只有 2 满足不等式，故选 B. 考点：考查集合的知识，简单题.1+ 3i2. 1- i= （ ）A 1+2i B-1+2i C1-2i D-1-i【答案解析】B.1

2、+ 3i(1+ 3i)(1+ i) -2 + 4i解析： = = = -1+ 2i 1- i (1 - i)(1+ i) 2故选 B.考点：考查复数的基本知识，简单题.3.函数 f (x) 在 x = x0 处导数存在，若 p : f (x0 ) = 0, q : x = x0 是 f (x) 的极值点，则（） A p是 q的充分必要条件B p是 q的充分条件，但不是 q的必要条件C p是 q的必要条件，但不是 q的充分条件D. p既不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件【答案解析】C.解析：极值点必为导函数的根，而导函数的根不一定是极值点，即q p, p / q故选 C.从而 p是 q的必

3、要但不充分的条件考点：考查充要条件与极值的基础知识，简单题.4. 设向量a,b满足 a+ b = ， a- b = ，则ab=（ ）A 1 B2 C 3 D5【答案解析】A 解析： | a + b |= 10,| a - b |=a2 + 2a b + b2 = 10,a2 - 2a b + b2 = 6 4a b=4a b = 1故选 A考点：考查平面向量的数量积，中等题.5.等差数列an 的公差为 2，若 a2 , a4 , a8 成等比数列，则an 的前 n 项和 Sn= （ ）A n(n+1) Bn(n-1)n(n+1)C2n(n-1)D2【答案解析】A解析：数列an 是等差数列，公差

4、等于 2 a2 = a1 + 2, a4 = a1 + 6, a8 = a1 + 14 a2 , a4 , a8成等比数列 a 2 = a a (a + 6)2 = (a + 2)(a+ 14)4 2 8 1 1 1解得 a1 = 2 an = 2 + (n - 1) 2 = 2n (2 + 2n) n Sn = 2 = n(n +1)故选 A考点：考查等差数列的通项公式与求和公式，中等题.6.如图，网格纸上正方形小格子的边长为 1(表示 1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛胚切削而得到，则切削掉部分的体积与原来毛胚体积的比值为（

5、）17 5A B27 910 1C D27 3【答案解析】C.解析：毛胚的体积V = 32 6 = 54制成品的体积V = 32 2 + 22 4 = 341切削掉的体积与毛胚体积之比为：1- V1 = 1- 34 = 10 ，故选 C.V 54 27考点：考查三视图于空间几何体的体积，中等题. 7.正三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为的体积为( )，D 为 BC 中点，则三棱锥 A - B1DC13A3 B2【答案解析】C.C1 D2解析： 正三棱柱的底面边长为 2，D 为 BC中点 AD = = B1C1 = 2,CC1 =1 11 1 SB DC= 2 B1C1

6、 CC1 = 2 2 =1 1VAB C= 3 SB DC AD = 33 = 1.故选 C.1 1 1 1考点：考查空间点，线，面关系和棱锥体积公式，中等题.8.执行右图的程序框图，如果输入的 x，t均为 2，则输出的 S=( ) A4 B5 C6 D7【答案解析】D. 解析：第 1 次循环 M=2,S=5,k=1 第 2 次循环，M=2,S=7,k=2第 3 次循环 k=32,故输出 S=7，故选 D. 考点：考查算法的基本知识，简单题.x + y -1 09.设 x，y满足约束条件 x - y -1 0x - 3y + 3 0，则 z=2x+y的最大值为( )A 8 B 7 C2 D1【

7、答案解析】A 解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.10.设 F为抛物线C：y2 = 3x 的焦点，过 F且倾斜角为 30的直线交 C于 A，B两点，则|AB| =（ ）A B6 C12 D 7 3【答案解析】C. 解析： y2 = 3x抛物线 C 的焦点的坐标为： F ( 34, 0)3所以直线 AB的方程为： y = tan 30(x - )4 y =故3 (x - 3)3 4 y2 = 3x1 2从而16x2 -168x + 9 = 0 x + x= 212弦长|AB|=x1 + x2 + 2 = 12故选 C.考点：考查抛物线的几何性质，弦长计算以及分析直线和圆锥曲

8、线位置关系的能力，难度为中等题.11.若函数 f (x) = kx - ln x 在区间(1, +) 上单调递增，则 k的取值范围是( )A (-, -2B (-, -1C 2，+)D 1，+)【答案解析】D.解析： f (x) = kx - ln x f (x) = k - 1 (x 0)x f (x) 在区间(1, +) 上递增 f (x) 在区间(1, +) 上恒大于等于 0， f (x) = k - 1 0 k 1 (x (1, +)x x k 1故选 D.考点：考查导数与函数单调性的关系.中等题.0 012.设点 M (x ,1) ，若在园O : x2 + y2 = 1上存在点 N，

9、使得OMN=45，则 x 的取值范围是（ ）A -1,1【答案解析】AB -1 , 12 2C -2, 2D - , 2 2解析：设 N点的坐标为(cos, sin)（1）当 x0 0, 1 时 M点的坐标为(x0 ,1)11- sinOM,MN的斜率分别为： kOM = x, kMN = x-cos0 0 OMN = 45 tan 45 = kMN - kOM ( k- k ) = 1+ k k1+ kMN kOMMN OM MN OM即(1- sin - 1 ) = 1 + 1 - sin 1 (*)x0 - cos x0 x0 - cos x00 0 0取正号时，化简（*）式得： (1+

10、 x ) cos+ (1- x ) sin= 1+ x 20 0 0取负号化简（*）式得： (x -1 ) cos+ (1+ x ) sin= 1+ x 2故|x0 |50 50,7567,这说明市民对甲部门的评价基本在 75 分附近，对乙部门的评价基本在 67 分左右.整体看市民对甲部门的评价更好.考点：考查使用茎叶图及样本的数字特征估计总体的能力，中等题.20. （12 分）x2 y2设 F1 , F2 分别是椭圆C : a2 + b2= 1(a b 0) 的左右焦点，M是 C上一点且 MF2 与 x轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点是 N.3(I)若直线 MN的斜率为4，求 C的

11、离心率;(II)若直线 MN在 y轴上的截距为 2，且| MN |= 5 | F1 N | ，求 a，b.【答案解析】解析：解析：（I） MF2 x轴（不妨设 M在 x轴的上方） x2M的坐标满足方程组 a2y2+ =b2 1b2M (c, )3MN的斜率为4b2x = c a3 = a4 2c 2b2 = 3ac c2 = a2 - b2 2(a2 - c2 ) = 3ac又 e = c 2(1- e2 ) = 3e 2e2 + 3e - 2 = 0a椭圆离心率为e = .2(II)MN在 y轴上的截距为 2，O为 F1 , F2 的中点M的坐标为(c,4)(不妨设 M在 x轴的上方)b2

12、=由（I）得a4 (*) | M N |= 5 | NF1 | | M F1 |= 4 | NF1 |作 NF x轴于 T,由于 NTF MF F ,故有 yM= 4, 2c = 41 1 1 21 3 3-yN -c - xN yN = - 4 yM= -1,xN = - 2 c，即 N (- c, -1)29c2把 N 点的坐标代人椭圆方程得： 4a21 = 1b29(a2 - b2 ) + 1 = 9b2 - 1 = 54a2b2 1 4a2 b2(*)4a = 7把（*）与（*）联立得： b = 2考点：考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，难题.21.（12 分）已知函数 f

13、(x) = x3 - 3x2 + ax + 2 .曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x轴交点的横坐标为-2.(I)a ;(II)证明：当 k 1时，曲线 y = f (x) 与直线 y = kx - 2 只有一个交点.【答案解析】解析：（I） f (x) = x3 - 3x2 + ax + 2 f ( x) = 3 x2 - 6x + a切点为(0,2),切线过点（-2，0）0 - 2切线的斜率为 -2 - 0 = 1 f (0) = a = 1(II)由（I）知， a = 1，故 f (x) = x3 - 3x2 + x + 2记 g(x) = f (x) - (kx - 2) =

14、 x 3 - 3x 2 + (1- k )x + 4 ， g(x) = 3x2 - 6x + (1- k) = 36 + 12(1- k) = 24 + 12k（1）当 0即- 2 k 1时由 g(x) = 0 x1 =3 -2 k 1 0 x1 1, 1 x2 2， x2 =3 g(x) 0 x x2g(x) 0 x1 x x2 g(x) 在区间 (-, x1), (x2 , +)上递增，在区间(x1, x2 ) 上递减 g(x) 的极小值为 g(x2 ) = x23 - 3x2 2 + (1 - k )x2 + 4 g(x2 ) = 3x22 - 6x + 1- k = 0 x 2- 2

15、x2 =k -1 32 2 2 2 2 2 g(x ) = x (x 2 - 2x ) - x 2 + (1 - k )x + 4= x k -1 - x 2 + (1- k )x + 4 = -x 2 - 2 (k -1)x + 4(1 x 2)2 3 2 2 2 3 2 2记h(x) = - x2 - 2 (k -1)x + 4(1 x 2) h( x) = -2x - 2 (k - 1) 3 32由-2 k 1 0 -2(k -1) 2 ，由1 x 2 -4 -2x -23 -4 03 g(x2 ) = h( x2 ) 0 g(x1 ) g(x2 ) 0 （ (x1 , x2 ) 是减区

16、间）当 -2 k 1时，方程 g(x) = 0 只有一根.(2) 当 0即k 0 ，从而 g(x) 在 R 上递增当 k -2 时，方程 g(x) = 0 只有一根.综上所述，方程 g(x) = 0 在 R 上只有一根，即曲线 f (x) 直线 y = kx - 2 只有唯一交点. 考点：考查利用导数综合研究函数性质的能力，难度压轴题.22.（10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，P是 O 外一点，PA是切线，A为切点，割线 PBC与 O 相交于点 B，C，PC=2PA，D为 PC中点，AD的延长线交 O 于点 E，证明：(I)BE=EC(II)AD DE = 2PB 2【答案解析】解析：

17、(I)连接 OA,OD交 BC于 F,设PAD = ，因 PA是 O 的切线，则EAO = OEA = 90- PC = 2PA, PC = 2PD PA = PD PAD 是等腰三角形 PDA = EDF = 答案 word 版+微信 EDF + OEA = + (90 -) = 90 OE BC 故 OE平分弧 BC ,从而 BE = EC. (II) PA2 = PB PC, PC = 2PD PA2 = PB 2PD由（I）知 PD = PA PA2 = PB 2PA PA = 2 PB AD DE = BD DC = BD PA = (PD - PB ) PA = ( PA- PB)

18、 PA= PA2 - PB PA = PB PC - PB PA = PB (PC - PA)= PB (PC - PD) = PB DC = PB PA把 PA = 2PB 代人上式，得 PB PA = PB 2PB = 2PB 2 AD DE = 2PB 2考点：考查与园有关的角的知识和圆幂定理的应用.难度中等.23.（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C的极坐标方程为= 2 cos, 0, .2(I)求 C的参数方程(II)设点 D在 C上，C在 D处的切线与直线l : y =3x + 2 垂直，根据(I

19、)中你得到的参数方程，确定D的坐标.【答案解析】解析：（I）极坐标方程为= 2 cos,0, 2 2 = 2cos对应的普通方程为： x2 + y2 - 2x = 0(y 0)x = 1+ cos，即(x -1)2 + y2 = 1( y 0)版+微信对应的参数方程为 y = sin ,0,(II)设半圆的圆心为 A，则 A(1,0),又由（I）知，可以设 D 点坐标为(1+ cos, sin)直线 DA的斜率 k = tan切线与直线 y =3x + 2 垂直p tan= =3( 0,)331+ cos=, sin=2 2即 D点坐标为( , )2 2考点：本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用，难度中等题.24.（1