福建省福州市学年高二下学期期中考试数学理试题Word版含答案.docx
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福建省福州市学年高二下学期期中考试数学理试题Word版含答案
福建省福州市2016-2017学年高二下学期期中考试
数学（理）试题
一、选择题（60分）
1．若复数
满足
（
为虚数单位），则
（）
A.
B.
C.
D.
2．某公司
位员工的月工资为
，
，…，
，其
均值和方差分别为
和
，若从下
月起每位员工的月工资增加
元，则这
位员工下月工资的均值和方差分别为（）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
3．对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为
和
，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（）
A.
B.
C.
D.
4．已知双曲线过点
，渐进线方程为
，则双
曲线的标准方程是（）
A.
B.
C.
D.
5．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。
某人从篮子
中随机取出两个球，记事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个红球，一个白球”，则
（）
A、
B、
C、
D、
6．一次数学模块考试中约有
1000人参加考试，且考试成绩
，统计结果显示考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的
，则此次数学考试成绩不低于110分的学生数约为（）
A.600B.400C.300D.200
7．春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（）
A.964
B.1080C.1152D.1296
8．下面给出了四个类比推理：
（1）由“若
则
”类比推出“若
为三个向量则
”；
（2）“a,b为实数，
则a=b=0”类比推出“
为复数，若
”
（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”
（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．
上述四个推理中，结论正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．已知
是奇函数，且
，当
时，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
10．函数
在
的图象大致为（）
11．已知
是椭圆
的左焦点，
为右顶点，
是椭圆上一点，
轴，若
，则该椭圆的离心
率是（）
A.
B.
C.
D.
12．定义在
上的函数
使不等式
恒成立，其中
是
的导数，则（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（20分）
13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是__________．（用数字做答）
14．若
的展开式中
项的系数为4，则
_________.
15．过抛物线
的焦点
作直线
交抛物线于
.若
，则
的斜率是_____．
16．函数
的定义域为实数集
，
对于任意的
，
，若在区间
上函数
恰有三个不同的零点，则实数
的取值范围是．
三、解答题
17．（12分）已知函数
（
），
.
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若函数
，
，求
的单调区间和最小值.
18．（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（1）求图中
的值；
（2）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为2:
1，若在满意度评分值为的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量
，求
的分布列和数学期望．
19．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定
从全班
名男同学，
名女同学中随机抽取一个容量为
的样本进行分析.
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？
（只要求写出计算式即可，不
必计算出结果）
（2）随机抽取
位，他们的数学分数从小到大排序是：
，物理分数从
小到大排序是：
.
若规定
分以上（包括
分）为
优秀，求这
位同学中恰有
位同学的数学和物理分数均
为优秀的概率；
若这
位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：
根据上表数据，由变量
与
的相关系数可知物理成绩
与数学成绩
之间具有较强的线性相关关系，现求
与
的线性回归方程（系数精确到
）.
参考公式：
回归直线的方程是：
，其中对应的回归估计值
，
参考数据：
，
，
，，
，.
20．（12分）已知两点
，动点
在
轴上的投影是
，且
.
（1）求动点
的轨迹
的方程；
（2）过
作互相垂直的两条直线交轨迹
于
，且
分别是
的中点.求证：
直线
恒过定
点.
21．（12分）函数
，
．
（1）讨论
的极值点的个数；
（2）若对于任意
，总有
成立，求实数
的取值范围.
22．（10分）选修4—4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中,
以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
直线
的参数方程为
（
为参数），直线
和圆
交于
两点.
（1）求圆心的极坐标；
（2）直线
与
轴的交点为
，求
.
福建省福州市2016-2017学年高二下学期期中考试
数学（理）试题参考答案
1．ADCC5．BDCB9．DCBB
13．3614．
15．
16．
17．解析：
（1）因为
，
由
即
，得
，
则
的解析式为
，即有
，
所以所求切线方程为
.
（2）∵
，∴
，
由
，得
或
，
由
，得
，∵
，
∴
的单调增区间为
，减区间为
，
∵
，∴
的最小值为
.
18．解析：
（1）
由
，解得
．
（2）满意度评分值在内有
人，
其中男生6人，女生3人．
则X的值可以为0，1，2，3．
，
，
，
．
则X分布列如下：
X
0
1
2
3
P
所以X的期望
．
19．【答案】
（1）
；
（2）①
；②线性回归方程是
.
②设
与
的线性回归方程是
，根据所给数据，可以计算出
，
，所以
与
的线性回归方程是
........12分
20．解析
（1）设点
坐标为
∴点
坐标为
∵
∴
∴点
的轨迹方程为
（2）当
两直线的斜率都存在且不为0时，设
联立方程得，
，
，∴
恒成立
∴
，
∴
中点
坐标为
同理，
中点
坐标为
∴
∴
的方程为
，∴
过点
当两直线的斜率分别为0和不存在时，
的方程为
，也过点
综上所述，
过定点
.
21．解析：
（1）
①当
，即
时，
对
恒成立，
在
单调增，
没有极值点；
②当
，即
时，方程
有两个不等正数解
，
不妨设
，则当
时，
增；
时，
减；
时，
增，所以
分别为
极大值点和极小值点，
有两个极值点.
综上，当
时
没有极值点；当
时
有两个极值点.
（2）
，由
，即
对于
恒成立，设
，
，
，
时，
减，
时，
增，
，
．
22．试题解析：
（1）由
得
得
故圆
的普通方程为
所以圆心坐标为
圆心的极坐标为
.
（2）把
代入
得
，
所以点A、B对应的参数分别为
令
得点
对应的参数为
所以
法二：
把
化为普通方程得
令
得点Ｐ坐标为
，又因为直线
恰好经过圆C的圆心，
故
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