二元一次方程组竞赛题集.docx
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二元一次方程组竞赛题集
.
二元一次方程组典型例题
【例1】已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.
【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.
（１）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，
y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.
（２）把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的
值.
（３）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可
求出k的值.
把代入①，得，解得k=-4.
解法二：
①×3－②×２，得17y=k-22，
解法三：
①+②，得5x-y=2k+11.
又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.
【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思
考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想
;..
.
到的话，那就应该用巧妙解
二元一次方程组能力提升讲义
知识提要
1．二元一次方程组
a1x
b1y
c1的解的情况有以下三种：
a2x
b2y
c2
①当a1
b1
c1
时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效）
a2
b2
c2
②当a1
b1
c1
时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的）
a2
b2
c2
③当a1
b1
（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
a2
b2
c1b2
c2b1
x
a2b1
a1b2
（这个解可用加减消元法求得）
c2a1
c1a2
y
a2b1
a1b2
2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按
二元一次方程整数解的求法进行。
3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解
含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）
例题
5xy7
例1.选择一组a,c值使方程组1.有无数多解，2.无解，3.有唯一的
ax2yc
解
【例2】解方程组
【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系
数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否
为零.
解：
由①，得y=4－mx，③
把③代入②，得2x+5（4－mx）=8，
解得（2－5m）x=-12，当2－5m＝0，
;..
.
即m＝时，方程无解，则原方程组无解.
当2－5m≠0，即m≠时，方程解为
将代入③，得
故当m≠时，
原方程组的解为
例3.a取什么值时，方程组
例4.m取何整数值时，方程组
x
y
a
5x
3y
的解是正数？
31
2xmy4
的解x和y都是整数？
x4y1
二元一次方程组的特殊解法
1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。
2、灵活消元
（1）整体代入法
;..
.
y
1
x2
1.解方程组4
3
2x
3y
1
（2）先消常数法
4x
3y
3
1
2.解方程组
2y
15
2
3x
（3）设参代入法
x3y
2
1
3.解方程组
4:
3
2
x:
y
（4）换元法
x
y
xy
4.解方程组2
6
3
3x
y
4xy
;..
.
（5）简化系数法
5.解方程组4x3y
3
1
3x4y
4
2
课堂练习
1．不解方程组，判定下列方程组解的情况：
x2y3
2x
y3
3x
5y
1
①
②
2y3
③
5y
1
3x6y9
4x
3x
2．a取哪些正整数值，方程组
x2y5a
3x4y2a
的解x和y都是正整数？
xkyk
3．要使方程组的解都是整数，k应取哪些整数值？
x2y1
二元一次方程组应用探索
;..
.
【知识链接】
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
（1）审：
通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
（2）找：
找出能够表示题意两个相等关系；
（3）列：
根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（4）解：
解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：
在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.
二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，
大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：
一、数字问题
例1一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位
上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
分析：
设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其
之间的关系可用下表表示：
十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系
原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9
新两位数yｘ10y+x10y+x=10x+y+27
10xyxy9
x
1
14．
解方程组
，得
，因此，所求的两位数是
10yx10xy27
y
4
点评：
由于受一元一次方程先入为主的影响，
不少同学习惯于只设一元，
然后列一元一
次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，
如果
直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于
x的方程．一
般地，与数位上的数字有关的求数问题，
一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程
组解之．
二、利润问题
例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利
20%；如果打八折出售可以盈利
10元，
;..
.
问此商品的定价是多少？
分析：
商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为
x元，进价为
y元，则打九折时的卖出价为
0.9x元，获利（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时
的卖出价为
0.8x元，获利（0.8x-y）元，可得方程0.8x-y=10.
0.9xy20%y
x
200
解方程组
10
，解得
y
，
0.8xy
150
因此，此商品定价为
200
元．
点评：
商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，
不要误为是相对于定价或卖出价．
利
润的计算一般有两种方法，一是：
利润
=卖出价-进价；二是：
利润=进价×利润率（盈利百分
数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．
三、配套问题
例3某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓
25个或螺母
20个，如果一
个螺栓与两个螺母配成一套，
那么每天安排多名工人生产螺栓，
多少名工人生产螺母，
才能
使每天生产出来的产品配成最多套？
分析：
要使生产出来的产品配成最多套，
只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，
根据
题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：
每天生产的螺栓数
×2=每天生产的螺母数×1．因
此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓
25ｘ个，螺母
20ｙ个，依题
意，得
xy
120
x
20
50x
，解之，得
y
．
220y1
100
故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．
点评：
产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好
配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关
系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：
（1）“二合一”问题：
如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等
甲产品数乙产品数
于乙产品数的ａ倍，即；
ab
（2）“三合一”问题：
如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种
甲产品数乙产品数丙产品数
产品数应满足的相等关系式是：
．
abc
;..
.
四、行程问题
例4在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，
B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时
以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令
后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就
被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶
上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则
3
x
y120
x
y
40
x
80
，
x
y
，整理，得
x
y
，解得
y
40
120
120
因此，巡逻车的速度是
80千米/时，犯罪团伙的车的速度是
40千米/时．
点评：
“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存
在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：
“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；
“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．
五、货运问题
典例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中
甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重
和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？
分析：
“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则
x
y300
x
y
300
x
150
6x
，整理，得
3x
y
，解得
y
，
2y1200
600
150
因此，甲、乙两重货物应各装
150
吨．
点评：
由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注
意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或
两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．
六、工程问题
例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服
装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内
;..
.
只能完成订货的
4；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，
每天可生产这种工作服200
5
套，这样不仅比规定时间少用
1天，而且比订货量多生产25
套，求订做的工作服是几套？
要求的期限是几天？
分析：
设订做的工作服是
x套，要求的期限是
y天，依题意，得
150y
4x
x
3375
5
，解得
.
200y
1x
25
y
18
点评：
工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时
间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时
间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1表”示总工作量．
【例7】某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币
各若干张，买了一件这种商品.若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱
的张数）？
哪种付款方式付出的张数最少？
【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解.我们先找出
问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式.然后找出已知量和未知量设元，
列方程组求解.
最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.
解：
设付出２元钱的张数为x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数.依
题意可得方程：
2x+5y=33.
因为5y个位上的数只可能是０或５，
所以2x个位上数应为３或８.
又因为２x是偶数，所以２x个位上的数是８，从而此方程的解为：
由得x+y=12；由得x+y=15.所以第一种付款方式付
出的张数最少.
;..
.
答：
付款方式有３种，分别是：
付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和
３张５元钱；付出１４张２元钱和１张５元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少.
【例8】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，
其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：
当同时
开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧
门时，4分钟可以通过800名学生.
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在
紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室
最多有45名学生，问：
建造的这4道门是否符合安全规定？
请说明理由.
【思考与解】
（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生.
根据题意，得
所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人.
（2）这栋楼最多有学生4×8×45=1440（人）.拥挤时5分钟4道门能通过
5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.
因为1600>1440，所以建造的4道门符合安全规定.
答:
平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门
符合安全规定.
【例9】某水果批发市场香蕉的价格如下表：
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、
第二次分别购买香蕉多少千克？
【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉
的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分
;..
.
三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次
买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购
买香蕉的千克数.
解：
设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克．由题意，得0
①当0
②当040时，由题意，得（与0
盾，不合题意，舍去）．
③当20合题意，舍去）.
综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.
答：
张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.
【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大
吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.
【例10】用如图１中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图２的竖式和横式两
种无盖纸盒.现在仓库里有１０００张正方形纸板和２000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？
【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2００
０，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数.而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定
数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板
和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：
每个竖式纸盒要用的正方形纸板数×竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的正方形纸板
数×横式纸盒个数=正方形纸板的总数
每个竖式纸盒要用的长方形纸板数×竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的长方形纸板
数×横式纸盒个数=长方形纸板的总数
通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用１张正方形纸板和４张长方形纸板，每个横式
;..
.
纸盒分别要用２张正方形纸板和３张长方形纸板.
解：
由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.
设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个.根据题意，得
①×4-②，得５y=2000，解得y=400.
把y=400代入①，得x+800=1000，解得x=200.
所以方程组的解为
因为200和400均为自然数，所以这个解符合题意.
答：
竖式纸盒做２００个，横式纸盒做４００个，恰好将库存的纸板用完.
;..
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