二元一次方程组竞赛题集.docx

1、二元一次方程组竞赛题集.二元一次方程组典型例题【例 1】 已知方程组 的解 x，y 满足方程 5x-y=3 ，求 k 的值 .【思考与分析】 本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法 .（） 由已知方程组消去 k，得 x 与 y 的关系式，再与 5x-y=3 联立组成方程组求出 x，y 的值，最后将 x，y 的值代入方程组中任一方程即可求出 k 的值 .（） 把 k 当做已知数，解方程组，再根据 5x-y=3 建立关于 k 的方程，便可求出 k 的值.（） 将方程组中的两个方程相加，得 5x-y=2k+11 ，又知 5x-y=3 ，所以整体代入即可求出 k 的值 .把 代入，得 ，解得

2、 k=-4.解法二： 3，得 17y=k-22 ，解法三： +，得 5x-y=2k+11.又由 5x-y=3 ，得 2k+11=3，解得 k=-4.【小结】 解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到， 有思考巧妙解法的时间， 可能这道题我们已经用一般解法解了一半了， 当然， 巧妙解法很容易想;.到的话，那就应该用巧妙解二元一次方程组能力提升讲义知识提要1 二元一次方程组a1 xb1 yc1 的解的情况有以下三种：a2 xb2 yc2 当 a1b1c1时，方程组有无数多解。（两个方程等效）a2b2c2 当 a1b1c1时，方程组无解。（两个方程是矛盾的）a2b2c2 当 a1

3、b1（即 a1 b2 a2b1 0）时，方程组有唯一的解：a2b2c1 b2c2b1xa2b1a1 b2（这个解可用加减消元法求得）c2 a1c1a2ya2b1a1 b22 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例 2、 3）例题5x y 7例 1. 选择一组 a,c 值使方程组 1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的ax 2 y c解【例 2】 解方程组【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组 . 解含字

4、母系数的方程组同解含字母系数的方程一样， 在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时， 也需要弄清字母的取值是否为零 .解：由，得 y=4 mx， 把代入，得 2x+5 （ 4 mx） =8，解得 （2 5m） x=-12 ，当 2 5m 0，;.即 m 时，方程无解，则原方程组无解 .当 2 5m 0，即 m 时，方程解为将 代入，得故当 m 时，原方程组的解为例 3. a 取什么值时，方程组例 4. m 取何整数值时，方程组xya5x3y的解是正数？312x my 4的解 x 和 y 都是整数？x 4 y 1二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法， 是代入消元法和加减消元法。这

5、两种方法都是从“消元”这个基本思想出发， 先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程， 在“消元”法中， 包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。2、灵活消元（ 1）整体代入法;.y1x 21. 解方程组432 x3y1（ 2）先消常数法4 x3y312. 解方程组2 y1523x（ 3）设参代入法x 3y213. 解方程组4 : 32x : y（ 4）换元法xyx y4. 解方程组2633 xy4 x y;.（ 5）简化系数法5. 解方程组 4 x 3y313x 4 y42课堂练习1 不解方程组，判定下列方程组解的情况：x 2y 32xy 33x5y12

6、y 35 y13x 6 y 94x3x2 a 取哪些正整数值，方程组x2 y 5 a3x 4 y 2a的解 x 和 y 都是正整数？x ky k3 要使方程组 的解都是整数， k 应取哪些整数值？x 2y 1二元一次方程组应用探索;.【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为 “审、找、列、解、答 ”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（ 5）答：在对求出的方程的解做出

7、是否合理判断的基础上，写出答案 .二元一次方程组是最简单的方程组， 其应用广泛， 尤其是生活、 生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题例 1 一个两位数， 比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大 27，求这个两位数分析：设这个两位数十位上的数为 x，个位上的数为 y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数 个位上的数 对应的两位数 相等关系原两位数 x y 10x+y 10x+y=x+y+9新两位数 y 10y+x 10y+x=10x+y+2710

8、x y x y 9x114解方程组，得，因此，所求的两位数是10y x 10x y 27y4点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为 x，或只设十位上的数为 x，那将很难或根本就想象不出关于x 的方程一般地， 与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为 “元 ”，然后列多元方程组解之二、利润问题例 2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10 元，;.问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，

9、设此商品的定价为x 元，进价为y 元，则打九折时的卖出价为0.9x 元，获利 (0.9x-y) 元，因此得方程 0.9x-y=20%y ；打八折时的卖出价为0.8x 元，获利 (0.8x-y) 元，可得方程 0.8x-y=10.0.9x y 20% yx200解方程组10，解得y，0.8x y150因此，此商品定价为200元点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价 -进价；二是：利润 =进价 利润率（盈利百分数）特别注意 “利润 ”和 “利润率 ”是不同的两个概念三、配套问题例 3 某厂共有 120 名生产工人，每个工

10、人每天可生产螺栓25 个或螺母20 个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数2=每天生产的螺母数 1因此，设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓25个，螺母20个，依题意，得x y120x2050x，解之，得y2 20 y 1100故应安排 20 人生产螺栓， 100 人生产螺母点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一， 如何分配生产力， 使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人

11、员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（ 1） “二合一 ”问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品数的倍等甲产品数 乙产品数于乙产品数的倍，即 ；a b（ 2） “三合一 ”问题：如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种甲产品数 乙产品数 丙产品数产品数应满足的相等关系式是： a b c;.四、行程问题例 4 在某条高速公路上依次排列着 A 、B 、C 三个加油站， A 到 B 的距离为 120 千米，B 到 C 的距离也是 120 千米分别在 A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾

12、车沿高速公路逃离现场，正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往 A 、 C 两个加油站驶去，结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为 x、 y 千米 /时，则3xy 120xy40x80，xy，整理，得xy，解得y40120120因此，巡逻车的速度是80 千米 /时，犯罪团伙的车的速度是40 千米 /时点评： “相向而遇 ”和“同向追及 ”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，

13、 这个关系涉及到两者的速度、 原来的距离以及行走的时间， 具体表现在：“相向而遇 ”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及 ”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离五、货运问题典例 5 某船的载重量为 300 吨，容积为 1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为 6 立方米， 乙种货物每吨的体积为 2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析： “充分利用这艘船的载重和容积 ”的意思是 “货物的总重量等于船的载重量 ”且 “货物的体积等于船的容积 ”设甲种货物装 x 吨，乙种货物装 y 吨，则xy 300xy3

14、00x1506x，整理，得3xy，解得y，2 y 1200600150因此，甲、乙两重货物应各装150吨点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简， 因此，解实际问题的方程组时要注意先化简， 再考虑消元和解法， 这样可以减少计算量，增加准确度化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等六、工程问题例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力， 每天可生产这种服装 150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内;.只能完成订货的4 ；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服 2005套，这样不仅比

15、规定时间少用1 天，而且比订货量多生产 25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得150y4 xx33755，解得.200 y1 x25y18点评：工程问题与行程问题相类似， 关键要抓好三个基本量的关系， 即 “工作量 =工作时间 工作效率 ”以及它们的变式 “工作时间 = 工作量 工作效率，工作效率 = 工作量 工作时间”其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用 “1表”示总工作量【例 7】 某种商品价格为每件元，某人身边只带有元和元两种面值的人民币各若干张， 买了一件这种商品 . 若无需找零钱， 则付款方式有哪几种 （

16、指付出元和元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】 本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解 . 我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式 . 然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解 .最后，比较各个解对应的 x+y 的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少 .解： 设付出元钱的张数为 x，付出元钱的张数为 y，则 x，y 的取值均为自然数 . 依题意可得方程： 2x+5y=33.因为 5y 个位上的数只可能是或，所以 2x 个位上数应为或 .又因为 x 是偶数，所以 x 个位上的数是，从而此方程的解为：由 得 x+y=12；由 得 x+y=15.

17、 所以第一种付款方式付出的张数最少 .;.答： 付款方式有种，分别是： 付出张元钱和张元钱；付出张元钱和张元钱；付出张元钱和张元钱 . 其中第一种付款方式付出的张数最少 .【例 8】某中学新建了一栋 4 层的教学大楼，每层楼有 8 间教室，这栋大楼共有 4 道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同 . 安全检查中，对 4 道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时， 2 分钟内可以通过 560 名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时， 4 分钟可以通过 800 名学生 .（ 1） 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（ 2） 检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效

18、率将降低 20. 安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离 . 假设这栋教学大楼每间教室最多有 45 名学生，问：建造的这 4 道门是否符合安全规定？请说明理由 .【思考与解】 （1）设平均每分钟一道正门可通过 x 名学生，一道侧门可以通过 y 名学生 .根据题意，得所以平均每分钟一道正门可以通过学生 120 人，一道侧门可以通过学生 80 人 .（ 2） 这栋楼最多有学生 4 8 45=1440（人） . 拥挤时 5 分钟 4 道门能通过5 2（ 120+80 ）（ 1-20%） =1600（人） .因为 16001440 ，所以建造的 4 道门符合安全

19、规定 .答 : 平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过 120 名学生、 80 名学生；建造的这 4 道门符合安全规定 .【例 9】某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉 50 千克（第二次多于第一次），共付款 264 元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手 . 通过观察图表我们可知香蕉的价格分;.三段， 分别是 6 元、 5 元、4 元 . 相对应的香蕉的千克数也分为三段， 我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内， 利用分类讨论的方法求

20、得张强第一次、 第二次分别购买香蕉的千克数 .解：设张强第一次购买香蕉 x 千克，第二次购买香蕉 y 千克由题意，得 0x25 当 0x 20， y 40 时，由题意，得当 040 时，由题意，得 （与 0x 20， y 40 相矛盾，不合题意，舍去）当 20x25 时， 25y30此时张强用去的款项为 5x+5y=5（ x+y） =5 50=250264（不合题意，舍去） .综合可知，张强第一次购买香蕉 14 千克，第二次购买香蕉 36 千克 .答： 张强第一次、第二次分别购买香蕉 14 千克、 36 千克 .【反思】 我们在做这道题的时候， 一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大

21、吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意 .【例 10】 用如图中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒 . 现在仓库里有张正方形纸板和 000 张长方形纸板， 问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？【思考与分析】 我们已经知道已知量有正方形纸板的总数 1000，长方形纸板的总数 2，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数 . 而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成， 如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：每个竖式纸盒要用的正方形纸板数 竖式纸盒个数 + 每个横式

22、纸盒要用的正方形纸板数 横式纸盒个数 = 正方形纸板的总数每个竖式纸盒要用的长方形纸板数 竖式纸盒个数 + 每个横式纸盒要用的长方形纸板数 横式纸盒个数 = 长方形纸板的总数通过观察图形， 可知每个竖式纸盒分别要用张正方形纸板和张长方形纸板， 每个横式;.纸盒分别要用张正方形纸板和张长方形纸板 .解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系 .设竖式纸盒做 x 个，横式纸盒做 y 个 . 根据题意，得 4- ，得 y=2000，解得 y=400.把 y=400 代入，得 x+800=1000 ，解得 x=200.所以方程组的解为因为 200 和 400 均为自然数，所以这个解符合题意 .答： 竖式纸盒做个，横式纸盒做个，恰好将库存的纸板用完 .;.