秋人教B版必修3第八章 向量的数量积与三角恒等变换章末复习课.docx

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秋人教B版必修3第八章向量的数量积与三角恒等变换章末复习课

章末复习课

[网络构建]

[核心归纳]

1．两非零向量a与b的数量积

a·b＝|a||b|·cosθ.

2．两个非零向量平行、垂直的等价条件

若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则：

（1）a∥b⇔a＝λb（λ≠0）⇔x1y2－x2y1＝0，

（2）a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

3．平面向量的三个性质

（1）若a＝（x，y），则|a|＝

＝

.

（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），则|

|＝

.

（3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为a与b的夹角，则cosθ＝

＝

.

4．向量的投影

向量a在b方向上的投影数量为|a|cosθ＝

.

5．三角恒等变换

本章的公式多不易记住，解决这个问题的最好办法就是掌握每个公式的推导过程：

首先用向量方法推导出Cα－β，再用－β代替Cα－β中的β得到Cα＋β；接着用诱导公式sin（α±β）＝cos

＝cos

得到Sα＋β与Sα－β；将Sα＋β除以Cα＋β得到Tα＋β，将Sα－β除以Cα－β得到Tα－β；将Sα＋β、Cα＋β、Tα＋β中的β换为α，得到S2α、C2α、T2α.

6．熟练掌握常用的角的变换是提高解题速度、提高分析问题和解决问题的能力的有效途径．常用的角的变换有：

α＝2·

、4α＝2·2α、

－

＝

、2α＝（α＋β）＋（α－β）＝（α＋β）－（β－α）、2β＝（α＋β）－（α－β）＝（α＋β）＋（β－α）、α＝（α＋β）－β＝β－（β－α）、β＝

－

、

＝

－

、

＝

－

.这些变换技巧需要同学们在平时解题的过程中多多摸索，而探索的方法就是认真观察已知条件中的角与待求式中的角之间的关系．

7．时刻注意考虑角的范围是避免解题出错的唯一方法，首先是本章的某些公式中的角就有范围限制，如tan2α＝

中的α的限制条件是α≠kπ＋

且α≠

＋

（k∈Z）；其次是题中角的范围也是有限制的.

要点一　向量的数量积

数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：

（1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），

a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，

a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

（2）求向量的夹角和模的问题

①设a＝（x1，y1），则|a|＝

.

②两向量夹角的余弦值（0≤θ≤π）

cosθ＝

＝

.

【例1】　已知a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），且|ka＋b|＝

|a－kb|（k>0）．

（1）用k表示数量积a·b；

（2）求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小．

解　

（1）由|ka＋b|＝

|a－kb|，

得（ka＋b）2＝3（a－kb）2，

∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.

∴（k2－3）a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0.

∵|a|＝

＝1，|b|＝

＝1，

∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，

∴a·b＝

＝

（k>0）．

（2）a·b＝

＝

≥

×2

＝

.

∴当k＝1时，f（k）min＝f

（1）＝

×（1＋1）＝

，

此时a与b的夹角θ的余弦值cosθ＝

＝

，

又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.

【训练1】　已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则

·

的值为（　　）

A．－

B.

C.

D.

解析　∵

＝

－

，

＝

＋

＝

＋

＝

＋

，

∴

·

＝（

－

）·

＝

×1×1×

－

＋

－

×1×1×

＝

＋

－

－

＝

.

答案　B

要点二　向量的夹角及垂直问题

1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：

（1）cosθ＝

，求解的前提是：

求出这两个向量的数量积和模．

（2）cosθ＝

，求解的前提是：

已知两个向量的坐标．

2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．

3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：

选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两基底向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．

【例2】　已知三个点A（2，1），B（3，2），D（－1，4）．

（1）求证：

AB⊥AD；

（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

（1）证明　∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4），

∴

＝（1，1），

＝（－3，3）．

∵

·

＝1×（－3）＋1×3＝0，

∴

⊥

，即AB⊥AD.

（2）解　∵

⊥

，四边形ABCD为矩形，∴

＝

.

设C点坐标为（x，y），则

＝（x＋1，y－4），

∴

解得

∴点C坐标为（0，5）．

从而

＝（－2，4），

＝（－4，2），且|

|＝2

，|

|＝2

，

·

＝8＋8＝16，

设

与

的夹角为θ，

则cosθ＝

＝

＝

.

∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为

.

【训练2】　已知向量

＝（2，0），

＝（2，2），

＝（

cosα，

sinα），则

与

夹角的范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

解析　建立如图所示的直角坐标系．

∵

＝（2，2），

＝（2，0），

＝（

cosα，

sinα），

∴点A的轨迹是以C（2，2）为圆心，

为半径的圆．

过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连接CM、CN，如图所示，则向量

与

的夹角范围是∠MOB≤〈

，

〉≤∠NOB.

∵|

|＝2

，∴|

|＝|

|＝

|

|，

知∠COM＝∠CON＝

，但∠COB＝

.

∴∠MOB＝

，∠NOB＝

，

故

≤〈

，

〉≤

.

答案　C

要点三　向量的长度（模）与距离的问题

向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a|2＝a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|＝

，将它转化为实数问题，使问题得以解决．

【例3】　设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．

解　法一　∵|3a－2b|＝3，∴9a2－12a·b＋4b2＝9.

又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝

.

∴|3a＋b|2＝（3a＋b）2＝9a2＋6a·b＋b2

＝9＋6×

＋1＝12.∴|3a＋b|＝2

.

法二　设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）．

∵|a|＝|b|＝1，∴x

＋y

＝x

＋y

＝1.

∵3a－2b＝（3x1－2x2，3y1－2y2），

∴|3a－2b|＝

＝3.

∴x1x2＋y1y2＝

.

∴|3a＋b|＝

＝

＝2

.

【训练3】　设0<|a|≤2，f（x）＝cos2x－|a|sinx－|b|的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b|.

解　f（x）＝1－sin2x－|a|sinx－|b|

＝－

＋

－|b|＋1.

∵0<|a|≤2，

∴当sinx＝－

时，

－|b|＋1＝0；

当sinx＝1时，－|a|－|b|＝－4.

由

得

∴|a＋b|2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2

＝22＋2×2×2cos45°＋22＝8＋4

，

∴|a＋b|＝

＝2

.

要点四　三角函数式的化简、求值

三角函数式的化简，主要有以下几类：

①对整式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数值；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段．

三角函数求值主要有三种类型，即

（1）“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．

（2）“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．要注意角的范围．

（3）“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．

【例4】　化简：

sin2αsin2β＋cos2αcos2β－

cos2αcos2β.

解　法一　原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－

（2cos2α－1）·（2cos2β－1）

＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－

（4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1）

＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－

＝sin2αsin2β＋cos2α（1－cos2β）＋cos2β－

＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－

＝sin2β（sin2α＋cos2α）＋cos2β－

＝sin2β＋cos2β－

＝1－

＝

.

法二　原式＝sin2αsin2β＋（1－sin2α）cos2β－

cos2αcos2β

＝cos2β－sin2α（cos2β－sin2β）－

cos2αcos2β

＝cos2β－sin2αcos2β－

cos2αcos2β

＝cos2β－cos2β

＝

－cos2β

＝

－

cos2β＝

.

法三　原式＝

·

＋

·

－

cos2αcos2β＝

（1＋cos2αcos2β－cos2α－cos2β）＋

（1＋cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β）

－

cos2αcos2β＝

＋

＝

.

法四　原式＝（sinαsinβ－cosαcosβ）2＋2sinαsinβ·cosαcosβ－

cos2αcos2β

＝cos2（α＋β）＋

sin2αsin2β－

cos2αcos2β

＝cos2（α＋β）－

cos（2α＋2β）

＝cos2（α＋β）－

[2cos2（α＋β）－1]＝

.

【训练4】　已知sin

sin

＝

，α∈

，求

的值．

解　∵sin

sin

＝

，

∴sin

cos

＝

，sin

＝

，

即cos2α＝

.

又α∈

，2α∈（π，2π），

∴sin2α＝－

＝－

＝－

.

∴

＝

＝

＝－

.

要点五　三角函数与向量的综合问题

三角函数与向量的综合问题是近几年高考题的热点，目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变形、运算和推理能力，一般来说题目难度不大，解决这类问题，应利用平面向量的坐标、数量积、平行与垂直的条件、夹角公式等知识将向量转化为三角函数问题．

【例5】　已知a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ）（0<α<β<π）．

（1）求证：

a＋b与a－b互相垂直；

（2）若ka＋b与a－kb长度相等（其中k为非零实数），求β－α的值．

（1）证明　法一　∵a＝（cosα，sinα），b＝