专题175 二项分布与正态分布精讲精析篇原卷版.docx

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专题175二项分布与正态分布精讲精析篇原卷版

《新高考高中数学核心知识点全透视》

专题17.5二项分布与正态分布（精讲精析篇）

提纲挈领

点点突破

热门考点01独立重复试验的概率

n次独立重复试验

（1）定义

一般地，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．

（2）公式

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn（k）＝C

pk（1－p）n－k，（k＝0,1,2，…，n）．

【典例1】（2015·全国高考真题（理））投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312

【典例2】（多选题）（2020·襄阳市第一中学月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：

①从中任取3球，恰有一个白球的概率是

；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为

；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为

；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

.则其中正确命题的序号是（）

A．①B．②C．③D．④

【总结提升】

1独立重复试验的特点

（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的.

（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．

2.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．

3．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验；

4．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．

热门考点02二项分布及其应用

1.若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P（X＝k）＝C

pkqn－k（k＝0,1,2，…，n）

于是得到X的分布列

X

0

1

…

k

…

n

P

C

p0qn

C

p1qn－1

…

C

pkqn－k

…

C

pnq0

由于表中第二行恰好是二项式展开式

（q＋p）n＝C

p0qn＋C

p1qn－1＋…＋C

pkqn－k＋…＋C

pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B（n，p）．

【典例3】（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（理））已知随机变量

服从二项分布

，则

（）．

A．

B．

C．

D．

【典例4】为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：

以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：

年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：

年用电量2161至4200度（含4200度），执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：

年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度．

某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：

用户编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

年用电量（度）

1000

1260

1400

1824

2180

2423

2815

3325

4411

4600

（1）试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？

（2）现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列；

（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．

【规律方法】

1.判断随机变量X服从二项分布的条件（X～B（n，p））

（1）X的取值为0,1,2，…，n.

（2）P（X＝k）＝C

pk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…，n，p为试验成功的概率）．

提醒：

在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．

2.二项分布满足的条件

（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的．

（2）各次试验中的事件是相互独立的．

（3）每次试验只有两种结果：

事件要么发生，要么不发生．

（4）随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．

3.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”

一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即

与

，每次试验中

.我们将这样的试验称为

次独立重复试验，也称为伯努利试验．在

次独立重复试验中，每次试验事件

发生的概率均为

，即

，

.由于试验的独立性，

次试验中，事件

在某指定的

次发生，而在其余

次不发生的概率为

.而在

次试验中，事件

恰好发生

次的概率为

，

.它恰好是

的二项展开式

中的第

项．

4.牢记且理解事件中常见词语的含义：

（1）

、

中至少有一个发生的事件为

；

（2）

、

都发生的事件为

；

（3）

、

都不发生的事件为

；

（4）

、

恰有一个发生的事件为

；

（5）

、

至多一个发生的事件为

.

热门考点03与二项分布有关的均值与方差

二项分布的期望、方差：

若

，则

.

若

，则

．

【典例5】（2019·天津高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：

30之前到校的概率均为

.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用

表示甲同学上学期间的三天中7：

30之前到校的天数，求随机变量

的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设

为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：

30之前到校的天数比乙同学在7：

30之前到校的天数恰好多2”，求事件

发生的概率.

【典例6】（2019·河北高二期末（理））互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式.某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究.采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占

，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人.

（1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；

（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：

凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折.已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.

【总结提升】

与二项分布有关的期望、方差的求法

（1）求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B（n，p），则用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大减少计算量．

（2）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同样还可求出D（aξ＋b）．

热门考点04正态曲线及其性质

1．正态曲线及其性质

（1）正态曲线：

函数φμ，σ（x）＝

e－

，x∈（－∞，＋∞），其中实数μ，σ（σ>0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

（2）正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值

；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：

甲　　　　　　　　　　　乙

2．正态分布

一般地，如果对于任何实数a，b（a

φμ，σ（x）dx，则称随机变量X服从正态分布（normaldistribution）．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N（μ，σ2）．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N（μ，σ2）．

3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值

①P（μ－σ

②P（μ－2σ

③P（μ－3σ

4．3σ原则

通常服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取（μ－3σ，μ＋3σ）之间的值．

【典例7】（2020·湖北十堰·期末）设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：

服从正态分布

，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在

，

内的个数约为

附：

若

，则

，

．

A．134B．136C．817D．819

【典例8】（多选题）（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高二期末）若随机变量

，

，其中

，下列等式成立有（）

A．

B．

C．

D．

【规律方法】

1.求正态曲线的两个方法

（1）图解法：

明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为

．

（2）待定系数法：

求出μ，σ便可．

2.正态分布下2类常见的概率计算

（1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.

（2）利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）中的哪一个．

3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略

（1）充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1．

（2）熟记P（μ－σ

（3）注意概率值的求解转化：

①P（X

②P（X<μ－a）＝P（X≥μ＋a）；

③若b<μ，则P（X

．

特别提醒：

正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称．

热门考点05正态分布及其应用

【典例9】（2020·开封模拟）某商场经营的某种包装的大米质量ξ（单位：

kg）服从正态分布N（10，σ2），根据检测结果可知P（9.9≤ξ≤10.1）＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为（　　）

A．10　　　　　　　　　B．20

C．20D．40

【典例10】（2020·全国高三其他（理））某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图

（1）所示的频率分布直方图，其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图

（2）所示，以