高中数学题库之不等式综合部分百题尖子生高考数学分类汇编.docx

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高中数学题库之不等式综合部分百题尖子生高考数学分类汇编

高中数学题库之不等式综合部分（百题尖子生高考数学分类汇编）

一、选择题（共30小题；共150分）

1.已知，，且，则下列不等式中一定成立的是

A.B.C.D.

2.已知命题；命题，则下列判断正确的是

A.是假命题B.是真命题

C.是真命题D.是真命题

3.已知变量，满足约束条件则的最大值为

A.B.C.D.

4.设集合，，则等于

A.B.

C.D.

5.下列结论正确的是

A.若，则B.若，则

C.若，，则D.若，则

6.已知，，满足，且，则下列选项中不能恒成立的是

A.B.C.D.

7.若，且，则下列不等式一定成立的是

A.B.

C.D.

8.设，且，则

A.B.C.D.

9.集合，，则

A.B.C.D.

10.已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是

A.B.

C.D.

11.已知，满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为

A.或B.或C.或D.或

12.过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于，，，四点，且，则的最大值等于

A.B.C.D.

13.“成立”是“成立”的

A.充分必要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

14.已知，满足约束条件则的取值范围为

A.B.C.D.

15.已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是

A.B.C.D.

16.已知变量，满足约束条件则的最大值为

A.B.C.D.

17.不等式的解集为

A.B.

C.D.

18.已知全集，，则

A.B.

C.D.

19.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是

A.B.

C.D.

20.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为

A.B.

C.D.

21.设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为

A.B.C.D.

22.若变量，满足约束条件则的最大值是

A.B.C.D.

23.关于的不等式的解集中，恰有个整数，则的取值范围是

A.B.

C.D.

24.若，满足且的最小值为，则的值为

A.B.C.D.

25.已知实数，满足则目标函数的最大值为

A.B.C.D.

26.在中，角，，的对边分别为，，，且，若的面积，则的最小值为

A.B.C.D.

27.已知函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若对于任意实数，有，则

A.

B.

C.

D.与大小不能确定

28.定义域为的函数满足，当时，若时，恒成立，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

29.已知函数，若恒成立，则的取值范围是

A.B.C.D.

30.设，若直线与圆相切，则的取值范围是

A.

B.

C.

D.

二、填空题（共30小题；共150分）

31.关于的不等式的解集为，且，则 ．

32.已知，则函数的最小值为 ．

33.不等式的解集是 ．

34.已知，则函数的值域是 ．

35.已知，，，则的最小值是 ．

36.若对于，恒成立，则的取值范围是 ．

37.设，，，则的最大值为 ．

38.已知函数，，，使成立，则实数的取值范围是 ．

39.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．

40.若对，，总有不等式成立，则实数的取值范围是 ．

41.已知，且满足，则的最小值为 ．

42.若，，则的最小值为 ．

43.已知偶函数在单调递减，，若，则的取值范围是 ．

44.不等式的解集是 ．

45.已知函数若，则实数的取值范围是 ．

46.关于实数的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ．

47.若集合，，则 ．

48.已知，，分别为三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为 ．

49.已知为的外心，，，，若，则的最小值为 

50.已知、均为实数，为正数，点在圆上，其中，则的取值范围是 ．

51.已知四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于 

52.不等式对任意及任意恒成立，则实数的取值范围是 ．

53.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．

54.已知函数，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 ．

55.已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为 ．

56.设，，则当 时，取得最小值．

57.设，，则的最小值为 ．

58.若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 ．

59.在等腰梯形中，已知，，，．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为 ．

60.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．

三、解答题（共40小题；共520分）

61.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：

试问：

怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?

62.已知不等式．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，解不等式．

63.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于分钟，广告的总播放时间不少于分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的倍．分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

（1）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多?

64.已知集合，．

（1）当时，求；

（2）求使的实数的取值范围．

65.设，函数（，）的最小正周期为，且．

（1）求和的值；

（2）在给定坐标系中作出函数在上的图象；

（3）若，求的取值范围．

66.已知函数．

（1）若的定义域和值域均为，求实数的值；

（2）若在区间上是减函数，且对任意的，总有成立，求实数的取值范围；

（3）若在区间上有零点，求实数的取值范围；

67.已知二次函数的最小值为，且．

（1）求的解析式；

（2）若在区间上单调，求实数的取值范围；

（3）当时，图象恒在的图象上方，求的取值范围．

68.已知：

函数对一切实数，都有成立，且．

（1）求的值．

（2）求的解析式．

（3）已知，设当时，不等式恒成立；当时，是单调函数．如果满足成立的的集合记为，满足成立的的集合记为，求（为全集）．

69.已知集合，．

（1）当时，求；

（2）求使的实数的取值范围．

70.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要，，三种主要原料．生产车皮甲种肥料和生产车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有种原料吨，种原料吨，种原料吨，在此基础上生产甲乙两种肥料．已知生产车皮甲种肥料，产生的利润为万元；生产车皮乙种肥料，产生的利润为万元．分别用、表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.

（1）用，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润?

并求出此最大利润．

71.命题：

关于的不等式的解集是空集，命题：

已知二次函数满足，且当时，最大值是，若命题“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围．

72.设函数

（1）当，求的值；

（2）若，求的值；

（3）若对一切正实数恒有，求的范围．

73.小强家装修房屋，需A，B两种不同规格的玻璃分别为块、块．已知建材市场出售的大块玻璃每块元，可同时裁得A种规格的玻璃块，B种规格的玻璃块；小块玻璃每块元，可同时裁得A，B两种不同规格的玻璃各块．分别用，表示购买大、小玻璃的块数．

（1）用，列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（2）为满足装修需要，大、小玻璃各买多少块花费资金最少?

并求出最少资金数．

74.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产吨甲、乙产品可获利润分别为万元、万元，则该企业每天可获得最大利润为多少?

75.解关于的不等式，．

76.已知不等式的解集为．

（1）求实数，的值；

（2）解不等式．

77.已知函数和的图象关于原点对称，且，

（1）求函数的解析式；

（2）解不等式；

（3）若在上是增函数，求实数的取值范围．

78.设函数，曲线过，且在点处的切线斜率为．

（1）求，的值；

（2）当时，求的最值；

（3）证明：

．

79.已知，命题：

对任意，不等式恒成立；命题：

存在，使得成立．

（1）若为真命题，求的取值范围；

（2）当时，若且为假，或为真，求的取值范围；

（3）若且是的充分不必要条件，求的取值范围．

80.设函数的定义域为，集合．

（1）若，求；

（2）若集合中恰有一个整数，求实数的取值范围．

81.已知函数满足，，，使成立的实数只有一个．

（1）求函数的表达式；

（2）若数列满足，，，，证明数列是等比数列，并求出的通项公式；

（3）在

（2）的条件下，证明：

．

82.某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：

元）与日产量（单位：

吨）满足函数关系式，每日的销售额（单位：

元）与日产量满足函数关系式，已知每日的利润，且当时，．

（1）求的值；

（2）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．

83.已知关于的不等式．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，解不等式．

84.给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的短轴长为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，与其“伴随圆”交于，两点，当时，求面积的最大值．

85.已知函数，其中．

（1）当时，求曲线在点处切线的方程；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）若，证明对任意，恒成立．

86.已知函数在处的切线与直线平行．

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．

87.已知函数，，，令．

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（3）若，正实数，满足，证明：

．

88.已知且，函数．

（1）求的定义域及其零点；

（2）讨论并证明函数在定义域上的单调性；

（3）设，当时，若对任意存在，使得，求实数的取值范围．

89.设函数，其中是自然对数的底数．

（1）当时，求函数的极值

（2）若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围．

（3）设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

90.已知椭圆的离心率，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点）面积的最大值．

91.已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围；

（3）在

（1）的条件下，证明：

．

92.已知函数，其中．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间上，恒成立，求的取值范围．

93.已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；

（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

94.已知函数，，．

（1）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且函数在处取得极值，求函数的解析式，并确定的单调递减区间；

（2）在（Ⅰ）的条件下，如果对于任意的，都有成立，试求实数的取值范围.

95.已知函数，．

（1）求的单调区间；

（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：

对于任意的实数，都有；

（3）若方程（为实数）有两个正实数根，，且，求证：

．

96.已知函数．

（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；

（2）当时，，当时，与有两个交点，求实数的取值范围；

（3）证明：

．

97.已知函数，．

（1）若函数在区间无零点，求实数的最小值；

（2）若对任意给定的，在上方程总存在两个不等的实根，求实数的取值范围．

98.已知函数，，其中，且．

（1）讨论的单调性；

（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：

对于任意的正实数，都有；

（3）若关于的方程（为实数）有两个正实数根，，求证：

．

99.设函数，，其中．

（1）求的单调区间；

（2）若存在极值点，且，其中，求证：

；

（3）设，函数，求证：

在区间上的最大值不小于．

100.设函数，．

（1）解方程：

；

（2）令，求的值；

（3）若是实数集上的奇函数，所以，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

答案

第一部分

1.C2.C【解析】由题可知，是真，是假，为真．

3.C【解析】可行域如图所示．由图可知在点处，有最大值，

4.A5.D

6.D7.B8.D【解析】A选项，当时，，故A不正确；B选项，当时，显然不正确；C选项，当，时，，C不正确；D选项，因为是单调增函数，所以当时，，D正确．

9.B【解析】因为集合，所以，所以．

10.A

【解析】根据题意，函数的图象如图：

令，其图象与轴相交与点，

在区间上为减函数，在为增函数，

若不等式在上恒成立，则函数的图象在上的上方或相交，

则必有，

即，

解可得．

11.D【解析】将化为，相当于直线的纵截距，由题意可得，与或与平行，故或．

12.D【解析】如图所示，

由抛物线可得焦点．

设直线的方程为：

，

因为，可得直线的方程为．

设，，，．

联立化为，

得，．

同理可得，．

所以

同理可得．

所以

当且仅当时取等号．

所以的最大值等于．

13.C14.C【解析】根据不等式组作出可行域，当直线过点时，取最大值，由，求得，此时，当直线过点时，由，求得故．综上，的取值范围为．

15.A

【解析】当时，关于的不等式在上恒成立，

即为，

即有，

由的对称轴为，

可得处取得最大值；

由的对称轴为，

可得处取得最小值，

则

当时，关于的不等式在上恒成立，

即为，

即有，

由（当且仅当）取得最大值；

由（当且仅当）取得最小值．

则

由可得，．

16.B17.D【解析】原不等式化为，即或解得或，即且．

18.B【解析】，，所以．

19.C【解析】由是偶函数，得．因为在区间上单调递增，所以，即，亦即，解得．

20.D

【解析】．

（1）当时，，又因为在上为增函数，，所以．

（2）当时，，因为在上也为增函数，，所以．

21.B22.C【解析】作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的及其内部，其中，，，

设，将直线进行平移，

当经过点时，目标函数达到最大值，

所以．

23.D【解析】原不等式可化为，当时，解得，此时解集中的整数应为，，，则；当时，解得，则；当时，不等式的解集为，不符合题意．故．

24.D25.C

【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，

其中，，，

设，将直线进行平移，

当经过点时，目标函数达到最大值，

所以．

26.B27.A【解析】当，有．代入得.

28.A【解析】令，则，

所以

又，所以，

所以

因此在的值域为，

所以令

解得．

29.C【解析】因为恒成立，所以恒成立．

①当时，恒成立，即恒成立．

此时．

②当时，恒成立，即恒成立，即恒成立．

即．

综上，的取值范围为．

30.D

【解析】直线与圆相切，

圆心到直线的距离为

所以

设，则，解得

第二部分

31.

32.

33.

34.

35.

36.

【解析】由题意恒成立，

，

所以．

37.

【解析】设，则，当且仅当时，等号成立，即，．所以的最大值为．

38.

【解析】设在上的值域为，在上的值域为，由题意可知：

只需要满足即可．

不难算出，故当，令，解得；当时，令解得，综合可得．

39.

【解析】若恒成立，只须的最小值大于．

．，．

40.

【解析】因为，即恒成立．

只需．

而

令，．

因为，当且仅当时取等号，

所以在上为减函数，所以当时，取最小．

所以，所以．

41.

42.

【解析】，，

所以

当且仅当时等号成立，即

即，或，时取“”；

所以上式的最小值为．

43.

【解析】函数在单调递增，且．所以，解之即可．

44.

45.．

【解析】由题意，得是奇函数，且在上单调增，于是由，得即，解得．

46.

【解析】分离参数得，即求的最小值．当时，取得最小值为，而，

所以．

47.

【解析】由题意知，，

所以．

48.

【解析】由正弦定理及，得．

又因为，所以．

所以．由余弦定理得．

因为，所以．由，得，当且仅当时等号成立，即．所以．故面积的最大值为．

49.

【解析】利用向量投影的定义可得：

由，代入整理后得：

得

整理得

所以．

50.

【解析】因为为正数，

所以或如下图所示：

依题意可知，圆与阴影部分有交点，

所以且．

51.

【解析】

以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系．设，，，．因为，，则有，所以．又因为点为内（含边界）的动点，设，点在平面区域上运动，利用线性规划，则目标函数在点时取得最大值，此时．

52.

53.

【解析】可变形为，，即，由题意可知，所以两边可同除以．

当时，可得，所以，即，所以或，又，所以．

当时，可得，因为，所以不可能恒成立．

综上所述．

54.或

【解析】在直角坐标系内作出的图象，如下图所示：

因为对任意的，都有成立，所以可知．

由图象可知．

方法一，由绝对值的几何意义可知．所以令，解得或．

方法二，当时，

．

当时，

，

．

综上所述，．

所以令，解得或．

55.

【解析】先由正弦定理，得；再由余弦定理，得，然后结合均值定理，得（当且仅当时取等号）；最后由三角形面积公式，得．

56.

【解析】

当，时，取得最小值．由，，解得．

57.

【解析】当时，