高中数学题库之不等式综合部分百题尖子生高考数学分类汇编.docx

1、高中数学题库之不等式综合部分百题尖子生高考数学分类汇编高中数学题库之不等式综合部分（百题尖子生高考数学分类汇编） 一、选择题（共30小题；共150分）1. 已知 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是 A. B. C. D. 2. 已知命题 ；命题 ，则下列判断正确的是 A. 是假命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是真命题 3. 已知变量 ， 满足约束条件 则 的最大值为 A. B. C. D. 4. 设集合 ，则 等于 A. B. C. D. 5. 下列结论正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 6. 已知 ， 满足 ，且 ，则下列选项中不能恒成立的是

2、 A. B. C. D. 7. 若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 8. 设 ，且 ，则 A. B. C. D. 9. 集合 ，则 A. B. C. D. 10. 已知函数 ，设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是 A. B. C. D. 11. 已知 ， 满足约束条件 若 取得最大值的最优解不唯一，则实数 的值为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 12. 过抛物线 的焦点 作直线 ， 与抛物线交于 ， 四点，且 ，则 的最大值等于 A. B. C. D. 13. “ 成立”是“ 成立”的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而

3、不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知 ， 满足约束条件 则 的取值范围为 A. B. C. D. 15. 已知函数 ，设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是 A. B. C. D. 16. 已知变量 ， 满足约束条件 则 的最大值为 A. B. C. D. 17. 不等式 的解集为 A. B. C. D. 18. 已知全集 ， 则 A. B. C. D. 19. 已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增若实数 满足 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 20. 设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为 A. B. C. D. 21. 设变

4、量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最小值为 A. B. C. D. 22. 若变量 ， 满足约束条件 则 的最大值是 A. B. C. D. 23. 关于 的不等式 的解集中，恰有 个整数，则 的取值范围是 A. B. C. D. 24. 若 ， 满足 且 的最小值为 ，则 的值为 A. B. C. D. 25. 已知实数 ， 满足 则目标函数 的最大值为 A. B. C. D. 26. 在 中，角 ， 的对边分别为 ，且 ，若 的面积 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 27. 已知函数 是定义在 上的可导函数， 为其导函数，若对于任意实数 ，有 ，则 A. B. C. D. 与 大

5、小不能确定 28. 定义域为 的函数 满足 ，当 时， 若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 29. 已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是 A. B. C. D. 30. 设 ，若直线 与圆 相切，则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共30小题；共150分）31. 关于 的不等式 的解集为 ，且 ，则 32. 已知 ，则函数 的最小值为 33. 不等式 的解集是 34. 已知 ，则函数 的值域是 35. 已知 ，则 的最小值是 36. 若对于 ， 恒成立，则 的取值范围是 37. 设 ，则 的最大值为 38. 已知函数 ， ，使 成立，则实数 的

6、取值范围是 39. 已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 40. 若对 ，总有不等式 成立，则实数 的取值范围是 41. 已知 ， 且满足 ，则 的最小值为 42. 若 ，则 的最小值为 43. 已知偶函数 在 单调递减，若 ，则 的取值范围是 44. 不等式 的解集是 45. 已知函数 若 ，则实数 的取值范围是 46. 关于实数 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是 47. 若集合 ，则 48. 已知 ， 分别为 三个内角 ， 的对边，且 ，则 面积的最大值为 49. 已知 为 的外心，若 ，则 的最小值为 50. 已知 、 均为实数， 为正数，点 在圆 上，其中 ，则

7、的取值范围是 51. 已知四边形 是边长为 的正方形，点 为 内（含边界）的动点，设 ，则 的最大值等于 52. 不等式 对任意 及任意 恒成立，则实数 的取值范围是 53. 设函数 ，对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 54. 已知函数 ，对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是 55. 已知 分别为 的三个内角 的对边， ，且 ，则 面积的最大值为 56. 设 ，则当 时， 取得最小值 57. 设 ，则 的最小值为 58. 若不等式 对满足 的所有 都成立，则 的取值范围是 59. 在等腰梯形 中，已知 ，动点 和 分别在线段 和 上，且 ，则 的最小值为 60. 设函数 ，对任

8、意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 三、解答题（共40小题；共520分）61. 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表： 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少? 62. 已知不等式 （1）当 时，解不等式；（2）当 时，解不等式 63. 电视台播放甲、 乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、 乙两套连

9、续剧时，连续剧播放时长、 广告播放时长、 收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 分钟，广告的总播放时间不少于 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 倍分别用 ， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数（1）用 ， 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多? 64. 已知集合 ，（1）当 时，求 ；（2）求使 的实数 的取值范围 65. 设 ，函数 （，）的最小正周期为 ，且 （1）求 和 的值；（2）在给定坐标系中作出函数 在 上的图象；（3）若 ，求 的取值范围

10、66. 已知函数 （1）若 的定义域和值域均为 ，求实数 的值；（2）若 在区间 上是减函数，且对任意的 ，总有 成立，求实数 的取值范围；（3）若 在区间 上有零点，求实数 的取值范围； 67. 已知二次函数 的最小值为 ，且 （1）求 的解析式；（2）若 在区间 上单调，求实数 的取值范围；（3）当 时， 图象恒在 的图象上方，求 的取值范围 68. 已知：函数 对一切实数 ， 都有 成立，且 （1）求 的值（2）求 的解析式（3）已知 ，设 当 时，不等式 恒成立； 当 时， 是单调函数如果满足 成立的 的集合记为 ，满足 成立的 的集合记为 ，求 （ 为全集） 69. 已知集合 ，（1

11、）当 时，求 ；（2）求使 的实数 的取值范围 70. 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 ， 三种主要原料生产 车皮甲种肥料和生产 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 现有 种原料 吨， 种原料 吨， 种原料 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料已知生产 车皮甲种肥料，产生的利润为 万元；生产 车皮乙种肥料，产生的利润为 万元分别用 、 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.（1）用 ， 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润?并求出此最大利润 71. 命题 ：关于 的不等式 的解集是空集，命题 ：已知二次函数 满足 ，

12、且当 时，最大值是 ，若命题“ 且 ”为假，“ 或 ”为真，求实数 的取值范围 72. 设函数 （1）当 ，求 的值；（2）若 ，求 的值；（3）若对一切正实数 恒有 ，求 的范围 73. 小强家装修房屋，需A，B两种不同规格的玻璃分别为 块、 块已知建材市场出售的大块玻璃每块 元，可同时裁得A种规格的玻璃 块，B种规格的玻璃 块；小块玻璃每块 元，可同时裁得A，B两种不同规格的玻璃各 块分别用 ， 表示购买大、小玻璃的块数（1）用 ， 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）为满足装修需要，大、小玻璃各买多少块花费资金最少?并求出最少资金数 74. 某企业生产甲、乙两种产品均需

13、用A，B 两种原料已知生产 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 吨甲、乙产品可获利润分别为 万元、 万元，则该企业每天可获得最大利润为多少? 75. 解关于 的不等式 ， 76. 已知不等式 的解集为 （1）求实数 ， 的值；（2）解不等式 77. 已知函数 和 的图象关于原点对称，且 ，（1）求函数 的解析式；（2）解不等式 ；（3）若 在 上是增函数，求实数 的取值范围 78. 设函数 ，曲线 过 ，且在 点处的切线斜率为 （1）求 ， 的值；（2）当 时，求 的最值；（3）证明： 79. 已知 ，命题 ：对任意 ，不等式 恒成立；命题 ：存在 ，使得 成立（1）若 为

14、真命题，求 的取值范围；（2）当 时，若 且 为假， 或 为真，求 的取值范围；（3）若 且 是 的充分不必要条件，求 的取值范围 80. 设函数 的定义域为 ，集合 （1）若 ，求 ；（2）若集合 中恰有一个整数，求实数 的取值范围 81. 已知函数 满足 ，使 成立的实数 只有一个（1）求函数 的表达式；（2）若数列 满足 ，证明数列 是等比数列，并求出 的通项公式；（3）在（2）的条件下，证明： 82. 某工厂生产某种产品，每日的成本 （单位：元）与日产量 （单位：吨）满足函数关系式 ，每日的销售额 （单位：元）与日产量 满足函数关系式 ，已知每日的利润 ，且当 时，（1）求 的值；（2

15、）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值 83. 已知关于 的不等式 （1）当 时，解不等式；（2）当 时，解不等式 84. 给定椭圆 ，称圆 为椭圆 的“伴随圆”，已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 （1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与椭圆 交于 ， 两点，与其“伴随圆”交于 ， 两点，当 时，求 面积的最大值 85. 已知函数 ，其中 （1）当 时，求曲线 在点 处切线的方程；（2）当 时，求函数 的单调区间；（3）若 ，证明对任意 ， 恒成立 86. 已知函数 在 处的切线 与直线 平行（1）求实数 的值；（2）若关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 的取

16、值范围；（3）记函数 ，设 ， 是函数 的两个极值点，若 ，且 恒成立，求实数 的最大值 87. 已知函数 ，令 （1）当 时，求函数 的单调递增区间；（2）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；（3）若 ，正实数 ， 满足 ，证明： 88. 已知 且 ，函数 （1）求 的定义域 及其零点；（2）讨论并证明函数 在定义域 上的单调性；（3）设 ，当 时，若对任意 存在 ，使得 ，求实数 的取值范围 89. 设函数 ，其中 是自然对数的底数（1）当 时，求函数 的极值（2）若 在其定义域内为单调函数，求实数 的取值范围（3）设 ，若在 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围 90

17、. 已知椭圆 的离心率 ，且点 在椭圆 上（1）求椭圆 的方程；（2）直线 与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的垂直平分线经过点 求 （ 为坐标原点）面积的最大值 91. 已知函数 ，（1）讨论函数 的单调性；（2）若函数 有两个极值点 ，且 ，求 的取值范围；（3）在（1）的条件下，证明： 92. 已知函数 ，其中 （1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若在区间 上， 恒成立，求 的取值范围 93. 已知函数 （1）当 时，求函数 的单调区间；（2）若函数 在区间 上为减函数，求实数 的取值范围；（3）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 94. 已知函数 ，（1）若函数 的图象

18、在点 处的切线与直线 平行，且函数 在 处取得极值，求函数 的解析式，并确定 的单调递减区间；（2）在（）的条件下，如果对于任意的 ，都有 成立，试求实数 的取值范围. 95. 已知函数 ，（1）求 的单调区间；（2）设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，求证：对于任意的实数 ，都有 ；（3）若方程 （ 为实数）有两个正实数根 ，且 ，求证： 96. 已知函数 （1）若函数 在 上为减函数，求 的取值范围；（2）当 时，当 时， 与 有两个交点，求实数 的取值范围；（3）证明： 97. 已知函数 ，（1）若函数 在区间 无零点，求实数 的最小值；（2）若对任意给定的 ，在

19、 上方程 总存在两个不等的实根，求实数 的取值范围 98. 已知函数 ，其中 ，且 （1）讨论 的单调性；（2）设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，求证：对于任意的正实数 ，都有 ；（3）若关于 的方程 （ 为实数）有两个正实数根 ，求证： 99. 设函数 ，其中 （1）求 的单调区间；（2）若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证：；（3）设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于 100. 设函数 ，（1）解方程：；（2）令 ，求 的值；（3）若 是实数集 上的奇函数，所以 ， 且 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围答案第一部分1. C 2. C 【解析】由题可

20、知， 是真， 是假， 为真3. C 【解析】可行域如图所示由图可知在点 处， 有最大值， 4. A 5. D 6. D 7. B 8. D 【解析】A选项，当 时，故A不正确；B选项，当 时，显然不正确；C选项，当 ， 时，C不正确；D选项，因为 是单调增函数，所以当 时，D正确9. B 【解析】因为集合 ，所以 ，所以 10. A 【解析】根据题意，函数 的图象如图：令 ，其图象与 轴相交与点 ，在区间 上为减函数，在 为增函数，若不等式 在 上恒成立，则函数 的图象在 上的上方或相交，则必有 ，即 ，解可得 11. D 【解析】将 化为 ， 相当于直线 的纵截距，由题意可得， 与 或与 平

21、行，故 或 12. D 【解析】如图所示，由抛物线 可得焦点 设直线 的方程为：，因为 ，可得直线 的方程为 设 ，联立 化为 ， 得 ，同理可得 ，所以 同理可得 所以 当且仅当 时取等号所以 的最大值等于 13. C 14. C 【解析】根据不等式组作出可行域，当直线 过点 时， 取最大值，由 ，求得 ，此时 ，当直线 过点 时，由 ，求得 故 综上， 的取值范围为 15. A 【解析】当 时，关于 的不等式 在 上恒成立，即为 ，即有 ，由 的对称轴为 ，可得 处取得最大值 ；由 的对称轴为 ，可得 处取得最小值 ，则 当 时，关于 的不等式 在 上恒成立，即为 ，即有 ，由 （当且仅当

22、 ）取得最大值 ；由 （当且仅当 ）取得最小值 则 由 可得，16. B 17. D 【解析】原不等式化为 ，即 或 解得 或 ，即 且 18. B 【解析】，所以 19. C 【解析】由 是偶函数，得 因为 在区间 上单调递增，所以 ，即 ，亦即 ，解得 20. D 【解析】（1）当 时，又因为 在 上为增函数，所以 （2）当 时，因为 在 上也为增函数，所以 21. B 22. C 【解析】作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的 及其内部，其中 ，设 ，将直线 进行平移，当 经过点 时，目标函数 达到最大值，所以 23. D 【解析】原不等式可化为 ，当 时，解得 ，此时解集中的整数应为

23、 ，则 ；当 时，解得 ，则 ；当 时，不等式的解集为 ，不符合题意故 24. D 25. C 【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的 及其内部，其中 ，设 ，将直线 进行平移，当 经过点 时，目标函数 达到最大值，所以 26. B 27. A 【解析】当 ，有 代入得 .28. A 【解析】令 ，则 ，所以 又 ，所以 ，所以 因此 在 的值域为 ，所以令 解得 29. C 【解析】因为 恒成立，所以 恒成立当 时， 恒成立，即 恒成立 此时 当 时， 恒成立，即 恒成立，即 恒成立 即 综上， 的取值范围为 30. D 【解析】 直线 与圆 相切， 圆心 到直线的距离为所以设 ，则

24、 ，解得第二部分31. 32. 33. 34. 35. 36. 【解析】由题意 恒成立， ，所以 37. 【解析】设 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，即 ，所以 的最大值为 38. 【解析】设 在 上的值域为 ， 在 上的值域为 ，由题意可知：只需要满足 即可不难算出 ，故当 ，令 ，解得 ；当 时，令 解得 ，综合可得 39. 【解析】若 恒成立，只须 的最小值大于 ， 40. 【解析】因为 ，即 恒成立只需 而 令 ，因为 ，当且仅当 时取等号，所以 在 上为减函数，所以当 时，取最小所以 ，所以 41. 42. 【解析】，所以 当且仅当 时等号成立，即 即 ， 或 ， 时取“”；所以上式

25、的最小值为 43. 【解析】函数 在 单调递增，且 所以 ，解之即可44. 45. 【解析】由题意，得 是奇函数，且在 上单调增，于是由 ，得 即 ，解得 46. 【解析】分离参数得 ，即求 的最小值当 时， 取得最小值为 ，而 ，所以 47. 【解析】由题意知 ，所以 48. 【解析】由正弦定理 及 ，得 又因为 ，所以 所以 由余弦定理得 因为 ，所以 由 ，得 ，当且仅当 时等号成立，即 所以 故 面积的最大值为 49. 【解析】利用向量投影的定义可得： 由 ，代入整理后得：得 整理得 所以 50. 【解析】因为 为正数，所以 或 如下图所示：依题意可知，圆 与阴影部分有交点，所以 且

26、51. 【解析】以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系设 ，因为 ，则有 ，所以 又因为点 为 内（含边界）的动点，设 ，点 在平面区域 上运动，利用线性规划，则目标函数在点 时取得最大值，此时 52. 53. 【解析】 可变形为 ，即 ，由题意可知 ，所以两边可同除以 当 时，可得 ，所以 ，即 ，所以 或 ，又 ，所以 当 时，可得 ，因为 ，所以 不可能恒成立综上所述 54. 或 【解析】在直角坐标系内作出 的图象，如下图所示：因为对任意的 ，都有 成立，所以可知 由图象可知 方法一，由绝对值的几何意义可知 所以令 ，解得 或 方法二，当 时， 当 时， ， 综上所述，所以令 ，解得 或 55. 【解析】先由正弦定理，得 ；再由余弦定理，得 ，然后结合均值定理，得 （当且仅当 时取等号）；最后由三角形面积公式，得 56. 【解析】 当 ， 时，取得最小值 由 ，解得 57. 【解析】当 时，