第五章拉普拉斯变换前5节.docx

第五章拉普拉斯变换前5节.docx

《第五章拉普拉斯变换前5节.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章拉普拉斯变换前5节.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第五章拉普拉斯变换前5节

第五章：

拉普拉斯变换

§5.1定义、存在性（《信号与系统》第二版（郑君里）4.2）问题的提出：

信号ft的傅里叶变换存在要求：

ft卢L1丨，但有些信号不绝

对可积，例如sgntL1。

当时的处理方法是乘以双边指数函数，把符号函数

“拉”下来，使相乘以后的信号绝对可积

因此，便考虑将纳入积分核，使非绝对可积信号可以做频谱分析。

为使问题简化，仅考虑t>0的情形，即因果信号、单边变换。

」对因果信号ft=ftut，

FLftft訂e-jtdt二；：

fte—」dt

I〜0（5-1）

=ofte*二L：

ft』

J定义信号ft的（单边）拉普拉斯变换为：

FsLift］；；：

iofte^dt，s-y-（5-2）

f（t戸=知:

矿5八叫山」张

令s-•j「，二为常数，ds二jd「

"FseSs

（4-2）式和（4-3）式是一对拉普拉斯变换式，ft称为原函数，Fs称为像函数。

J定义（指数阶函数）：

指ft分段连续（存在有限个第一类间断点），且

前>0,T>0,使f-Me°t，对

注：

ft=0e:

ot

丄F（S）存在：

F（s$。

J命题：

指数阶信号的拉氏变换存在。

证明：

，对pt>T>0

F

（sj=

1

-best

J0f（t）e_dt

=

Tstst

Jof（tp—dt+Jtf（t）e"dt

T

st

dbo

st

<

0f（t）e—dt+

Jtf

（t）e_dt

T

Mj0|f（tje"dt+A|f（t）Bdt

23

注：

1）£,£,…，t_0为非指数阶信号。

2）pte：

t为指数阶信号，其中pt为多项式3）二0为收敛坐标，过二0垂直于匚轴的垂线为收敛轴，匚:

-匚0为收敛

域（已知收敛域）。

4）指数阶函数是衡量信号拉氏变换存在的标准，并指定了收敛轴。

在收敛轴右边拉氏变换收敛，并不意味着其左边一定不收敛。

例1:

fU^ut

ut-1e,

0-即收敛

■be

Lte_stdt=

e©：

：

「01

|0―

-SS

（5-4）

例2:

负指数信号

■■■St

y甘『醴一「

0二

（5-5）

例3:

幕次信号

L外二：

fe』dt二nLf

S

1

n=0,L:

ut

s

n=1,LItut2sn=n,Lfut唁s

J积分下限：

当ft在t=0处是第一类间断点时，亦有

Fs二LIfti；=「fte^dt

=o「fte』dt

=,：

：

fte』dt

（5-6）

（5-7）

（5-8）

（5-9）

但是，此时「t：

t，ft「t。

因此，在用拉氏变换方

法解微分方程时，积分下限宜取零负，以便于处理初值问题，豁免从零负求零正之苦难。

后续讨论拉氏变换微分性质，即可进一步理解此良苦用心！

§5.2性质（《信号与系统》第二版（郑君里）4.3）

-代数性质：

线性：

fn1n

L'：

ifit八：

iLtfit1（5-10）

.imid

卷积:

Lf1tf2ti；.；=F1sF2s

（5-11）

川f），

tl

耳（s）

爭状摆响应

土⑴*云⑴=丁卩）

H（如=g松（f计=码⑻

A（f）=£（r）

图5-2

像卷积（s域卷积）：

1

L:

f1tf2tF1sF2s

2兀J

1；丁上：

F1zF2s-zdz

（5-12）

乘

■

f1t

2「j

f2t

图5-3

f1tf2t

J拓扑性质（微/积分性质）：

微分：

此处容易混淆，各版本书叙述不一样，务必提高警惕!

LIftt0_，sFs-f0_

L：

ftt0f=sFs-f0.

（5-13）

证明：

L£ft

te^dt二fte」t|。

：

二s。

二一fte^dt二sFs-f0二

注1:

由（5-9）式易知，上式兰色项相等；因此，只需式中红色的零负与零正分别对应即可，而不管信号在零点是否有跳变！

注2:

对于因果信号，有

f0_=0，则Lfpft，sFs，p~s~j-，

者的作用等价，即：

pft二

sFs二j’FiQ］。

此时，积分下限可以是0+、0-、

0均可，象函数完全相同，即

L曹

dt

此时，更有

L

ft二sFs-f0干AsFs-f0

（5-14）

二s||_sFs-f0」-f0_

（5-15）

=s2Fs-sf0_-f0_

特别地，当f0」=0,f0」=0,,f20」=0时，有

（5-16）

pnft=snFs

积分:

-L：

fJ0ut?

+L：

0f.d.?

Jf'0Lf.dJ

■1tt严〔旳t1

二-―e」.0fd.-0fte」dt=-Fs

_S-os—s

111J1

Lftf0Fs

IPJs'丿s'』

像微分（s域微分）：

-J

LJtfts■：

pFs（5-18）

像积分：

f1:

:

L[ft二sFzdz（5-19）

证明：

Fzdz=dzeJtftdt

、s*LsJ0

=0fts『'dzdt

1st1I

ftedt=Lft

0tt

J其他性质：

平移（延时）：

LCft-t。

ut-t。

e赵LCft1（5-20）

延时切

图5-4

口诀：

时延'负旋转像平移（调制）：

（5-21）

L:

fte'r}=Fs-y.i口诀：

正旋转:

-频移。

例：

已知L「ut，则有

s

相似（尺度变换）

（5-22）

初值定理：

若L「fts存在，L:

ft/存在,

所以，当s—；•:

:

:

时，e't—；0,ae，两点除外

注2:

若ft在t=0处有跳变：

f0.—f0_=厶，可有

sFs-fLfft"0fte-stdt

「°fte』dt0fte』dt

0.st：

：

st

-.0tedt0ftedt

te』dt

取极限有：

lim|sFs-f0_=limofte_stdt

即：

fo._f0_

注3:

若ft在t=0有冲激：

ft二k「.tf1t，贝U

Fs]=kFis,f0/=fi0g=limsFis

终值定理：

若L〈ft[.；=Fs存在，Lft/存在，sFs在除原

点外的二,（右半闭平面）解析（相当与实变函数的光滑），贝U

证明：

sF（s）=f（0十）+[f^t）e^tdt

limsF（s）=f（O+）+limJfC）（t）e_stdt

s0s]0■0+

COd

…Tftdt

二f0f：

：

-f0=f：

：

注：

1）应用:

图5-6

希望输出能够再现输入，即timJytLvt=0=]：

0

2）Sr0,s-；j,必然二）0,0,（慢变信号）

3）

二e：

tut0，右半平面有一极点，不满足定理条件

§5.3拉普拉斯逆变换

-极点、零点：

（《信号与系统》第二版（郑君里）4.4）

Fs二L

Fs的极点口=F口「：

；当N与D互素时，口即Ds的零点

F（s）的零点召二F（z）=0;当N与D互素时，z即N（s）的零点。

已知Fs，求ft:

;「j:

:

st

Fseds,-~0=maxRep（最右边极点）

图5-8

1J口出处stststI

ft'.j—FsedscrFseds-“Fsed'

（5-26）

1■stst‘

石\卩丁seds'rFseds；

1

二葛JcFses沁

二'ResFsest[ut

ii

Fs=Ns，若degN:

:

degD，贝U（5-27）式成立;D（s）

5）

1?

当Fs不是有理函数时，需考察—crFsestds=O

N（s\

8）Fs,degN=degDq

D（s）

N0（s）

F—Cs冇,Dos=Ds

=、。

Cs也

i=0D0s

解：

f（t）=Res#（sjest‘出+Res#（s）es^s^

32_L_L_t

=2+—te+2te十2eIL2

J部分分式展开：

N（s）Fs，degN:

:

degD

D（s），gg

Fs二

（S—P1）（S—Pr卅厂（S—Pn）

P1:

r阶，Pr1=…=Pn一阶

Ci二Res「Fs爲

Gr二Res'Fs爲

=P1

加$-pirFs

r-1!

ILdss®

ut'GePitut

1

（5-31）

§5.4系统函数（《信号与系统》第二版（郑君里）4.6,4.7）

-问题的提出：

输入vt，求iit,iot,yt

输入iit，求vt,i。

t,yt

叩Y（t）

图5-9

A（t）

Xt）

输入/输出

图5-10

ht为系统的冲击响应

系统函数：

（5-32）

图5-11

零状态响应:

yt二L“Ys2L“HsX<（5-33）

■I系统的几种描述形式：

竺_.A（t）—竺

图5-12

yt=Hpxt

Hs]=L：

ht?

Ys二HsXs

形式d

Hs二HPlsm，p二二，s•收敛域

dt

注：

若写为yti；=Hsxt，则s表示微分算子;

但不能写作Ys二Hsxt。

系统的多种输入输出描述：

冲击响应拦系统算子拦系统函数訂微分方程描述

h（t）H（p）H（s）

*

零状态响应

零状态响应非零状态响应

丄Hs零、极点与ht的波形特征：

Hs=Ns，n与D互素，degN:

:

degDD（s）

Ci.C^-

S—P1S一Pr1…S—PnyS—P1'id1S—Pi

frn

（5-34）

ht=LJ:

Hs4。

狀‘甩皿一二CiePitutLi#“

注：

1）

2）

3）

ePlt,tePlt,…，tr4ePlt,eP£…，ePnt线性无关，与极点有关，称为模态。

Gi,…，Gr，Gr1,…,Cn决定于HS的零极点分布。

H（s）是s的实系数有理函数，对于p中的共轭对:

口=aj°、p2=Pi=a-jo,

Pi与P2共同产生输出：

eatsin-.otut

4）对H（s），若p严Rep<0，模态渐近于0，ePit70

Pi是一阶极点，模态ePit单调渐近于0

Pi是重极点，模态tmePlt当tT时单调渐近于0

5）若Rep=0，即极点在虚轴上，有两种情况：

图5-13

虚轴上的共轭极点对应单边正弦：

L‘202」sin「°tut

IS+矶J

原点处的单重极点对应单位阶跃：

L4-二ut

一阶p^j，sin0tut，模态等幅；

二阶P^j，tsin0tut，模态线性增幅。

6）若口•芥，RePi0，模态发散。

渐近丁0

播数发散

'寢减越来越慢

（指数｝发散越来越快

AA

-lJ:

-Pl

严

r"

0

等幅、线性增幅、增幅

图5-14

虚轴附近的极点所决定的模态是慢变的，起支配作用

」Ys=HsVs零极分布与响应:

图5-15

yzst=ResfYsesL极点J]Res（丫s$极点卩」

自由响应

强迫响应

零输入响应=自由响应，与Hs极点有关，与Hs零点无关;

瞬态响应=Ys在二「上极点贡献=渐近于0，t、：

:

稳态响应:

二丫s在二「上极点贡献快变响应二远离虚轴极点贡献

慢变响应:

二虚轴附近极点贡献

§5.5线性定常系统频率响应（《信号与系统》第二版（郑君里）4.8）

J正弦稳态响应、特征函数：

叩）二严

—►T:

H（s）

图5-16

二ResiYsest?

料占'』H（s极点Pi

K.J

HsBIBO稳定>0

才0

yzst二Res：

Ys

-11二s-jsHs-est

-—J'。

s

因此：

yst二Hj'0ej0t，称为正弦稳态响应

H（j%）=H（s）|sj厂H（j%|eJ%）ys（t）=H（j%宦鬧咖％

注：

1）对矩阵A,Rn,为特征向量，■为属于的

特征根。

对应（5-35）式有：

ej0t为特征函数，Hj0为系统针对输入特征函数的特征根’-谱。

2）

vt=Acos0t二0

（5-36）ys（t）=|H（jcoo>Acos（^ot+日0（⑷o））

vt=Asinot兀

（5-37）ys（t）=|H（jcoojAsin（C0ot+To+0（^0”

J频率响应：

输入频率变化的单频信号时输出的响应。

当"跑遍-：

:

，•:

：

时，Hj-即系统的频率响应（谱）。

H（j©）=|Hjje如｝,

其中，H（j国'为系统的幅频特性（响应），幅度谱；

'■为系统的相频特性（响应），相位谱。

BIBO稳定系统的传递函数等价性：

系统BIBO稳定uJ”h（t）dt£^uH（s）极点乏兀「（5-38）

此时，Hs|sj=Hr=F:

h^=H■

反例（积分器）：

；Hid=ftut

1

-积分器的单位冲激响应为ht=ut=Hs=-

s

t

►fdT►

J-o0

图5-17

…」1Hj=Hsl^jj国

而F•■二F"ht'=丄•—•，因此两者不等。

j时

J确定频率特性的几何方法:

m

Ns心【s—Zj

Hs=d~£

（s）n（s-Pi）

i4

m

m…

K［【「7Ki||Nke「k

hj

丨丨」■-口

i=1

m

Kit

_kF

jk

Nke^

n

j

Hj•ej■--

（5-39）

I丨Mie

i咼

m

K【Nk

Hj-nkd

nMi

i=1

mn

j八耳j#im

注：

差矢量是与正实轴的夹角：

逆时针为正，顺时针为负例：

考虑图5-18的情况

Hj=K

Nkjk

MM