1、第五章拉普拉斯变换前5节第五章:拉普拉斯变换5.1定义、存在性(信号与系统第二版(郑君里)4.2) 问题的提出:信号f t的傅里叶变换存在要求:f t卢L1丨,但有些信号不绝对可积,例如sgn t L1。当时的处理方法是乘以双边指数函数, 把符号函数 “拉”下来,使相乘以后的信号绝对可积因此,便考虑将纳入积分核,使非绝对可积信号可以做频谱分析。 为使问题简化,仅考虑t 0的情形,即因果信号、单边变换。对因果信号ft = f t u t ,F Lf t f t 訂 e-jtdt 二;:f t edtI 0 ( 5-1)=o f t e* 二 L : f t J定义信号f t的(单边)拉普拉斯变换
2、为:F s Lift;: io f t edt,s - y- ( 5-2)f(t戸=知:矿5八叫山张令 s - j,二为常数,ds 二 jdF seSs(4-2)式和(4-3)式是一对拉普拉斯变换式,f t称为原函数,F s 称为像函数。J定义(指数阶函数):指ft分段连续(存在有限个第一类间断点),且前 0, T0,使 f -Met,对注:f t =0 e:ot丄 F (S )存在:F (s $ 。J命题:指数阶信号的拉氏变换存在。证明:,对 ptT 0F(s j =1-be stJ0 f(t)e_dt=T st stJo f (t pdt + Jt f (t )edtTstdbost0 f
3、(t)edt +Jt f(t )e_ dtTMj0|f(t jedt + A |f(t)Bdt2 3注:1) ,,t_0为非指数阶信号。2) p t e:t为指数阶信号,其中p t为多项式 3)二0为收敛坐标,过二0垂直于匚轴的垂线为收敛轴,匚:-匚0为收敛域(已知收敛域)。4)指数阶函数是衡量信号拉氏变换存在的标准, 并指定了收敛轴。在 收敛轴右边拉氏变换收敛,并不意味着其左边一定不收敛。例 1: f Uu tu t -1 e,0 - 即收敛beL t e_stdt =e :01|0 -S S(5-4)例2:负指数信号 Sty甘醴一0 二(5-5)例3:幕次信号L 外二:fedt 二nLfS
4、1n=0, L :u tsn=1, L Itu t 2 s n=n, L fu t 唁 sJ积分下限:当f t在t=0处是第一类间断点时,亦有F s 二 L If ti;=f t edt=of t edt= ,:f t edt(5-6)(5-7)(5-8)(5-9)但是,此时t: t,f t t。因此,在用拉氏变换方法解微分方程时,积分下限宜取零负,以便于处理初值问题,豁免从零 负求 零正之苦难。后续讨论拉氏变换微分性质,即可进一步理解此良苦用心!5.2性质(信号与系统第二版(郑君里)4.3)-代数性质:线性:f n 1 nL : ifi t 八:i L tfi t 1 (5-10).i m
5、i d卷积:L f1 t f2 t i;.; = F1 s F2 s(5-11)川f),tl耳(s)爭状摆响应 土*云=丁卩)H (如=g松(f计=码A(f)=(r)图5-2像卷积(s域卷积):1L : f1 t f2 t F1 s F2 s2兀J1 ;丁上:F1 z F2 s-z dz(5-12) 乘 f1 t2j j:f2 t图5-3f1 t f2 tJ拓扑性质(微/积分性质):微分:此处容易混淆,各版本书叙述不一样,务必提高警惕!L If t t0_,sF s -f 0_L :f t t 0 f=sF s - f 0 .(5-13)证明:L f tt edt 二 f t et |。:二
6、s。二一 f t edt 二 sF s - f 0二注1:由(5-9)式易知,上式兰色项相等;因此,只需式中 红色的零负与零正 分别对应即可,而不管信号在零点是否有跳变!注2:对于因果信号,有f 0_ =0,则 L fpf t,sF s , p s j -,者的作用等价,即:pf t二sF s二jFiQ 。此时,积分下限可以是0+、0-、0均可,象函数完全相同,即L曹dt此时,更有L p2f t 丄 L pf t /f t 二 sF s - f 0干AsF s - f 0(5-14)二 s|_sF s - f 0-f 0_(5-15)= s2F s -sf 0_ - f 0_特别地,当f 0=
7、0,f 0=0, , f 2 0=0时,有(5-16)pnf t = snF s积分:-L : f J 0 u t ?+ L : 0 f . d . ?J f 0 Lf . d J 1 t t 严旳 t 1二 -e.0 f d. - 0 f t edt =-F s_ S - o s s11 1 J 1L f t f 0 F sIP J s 丿 s 像微分(s域微分):-JL Jtf t s : pF s (5-18)像积分:f 1 :L ft 二 s F z dz ( 5-19)证明: F z dz = dz eJtf t dt、s * Ls J0= 0 ft sdz dt1 st 1 If
8、t e dt = L f t0 t tJ其他性质:平移(延时):L Cf t-t。u t -t。,e赵 L Cf t 1 (5-20) 延时切 图5-4口诀:时延 负旋转 像平移(调制):(5-21)L : f t e r = F s - y. i 口诀:正旋转:-频移。例:已知L u t , 则有s相似(尺度变换)(5-22)初值定理:若Lf ts存在,L : f t /存在,所以,当s; :时,et; 0, ae,两点除外注2:若f t在t = 0处有跳变:f 0 . f 0_ =厶,可有sF s - f L ff t 0 f t e-stdt f t edt 0 f t edt0 . s
9、t : : st-.0 t e dt 0 f t e dtt edt取极限有:lim |sF s - f 0_ = lim o f t e_stdt即:f o. _f 0_注3:若ft在t = 0有冲激:f t二k. t f1 t,贝UF s=k Fi s , f 0/= fi 0g=lim sFi s终值定理:若Lf t.; = F s存在,L f t /存在,sF s在除原点外的二,(右半闭平面)解析(相当与实变函数的光滑),贝U证明:sF (s )= f (0十)+ f t )etdtlim sF (s )= f (O+)+lim J fC)(t)e_stdts 0 s 0 0+CO d
10、Tf tdt二 f 0 f : -f 0 = f :注:1)应用:图5-6希望输出能够再现输入,即timJy t Lv t =0= : 02) Sr 0, s-; j ,必然二)0, 0,(慢变信号)3)二e:tu t 0,右半平面有一极点,不满足定理条件5.3拉普拉斯逆变换- 极点、零点:(信号与系统第二版(郑君里)4.4)F s 二 LF s的极点口 = F 口:;当N与D互素时,口即D s的零点F(s)的零点召二F(z)=0 ;当N与D互素时,z即N(s )的零点。已知F s,求ft :;j: stF s e ds , - 0 = max Re p (最右边极点)图5-81 J 口出处
11、st st st If t .j F se ds crF se ds- “F s e d(5-26)1 st st 石卩丁 s e ds rF s e ds;1二葛 JcF ses沁二 ResF s est u ti iF s = N s,若 deg N : deg D,贝U( 5-27)式成立; D(s)5)1 ?当F s不是有理函数时,需考察 crF s estds = ON (s 8) F s , deg N = deg D qD(s)N0(s)FCs 冇,Dos=Ds=、。Cs 也i =0 D0 s解:f (t )= Res# (s jest 出 + Res# (s )ess3 2 _
12、L _L _t=2 + t e + 2 te十 2 e IL 2J部分分式展开:N(s) F s , deg N : deg DD(s ), g gFs 二 (S P1 ) (S Pr 卅厂(S Pn )P1 : r 阶,Pr 1 =Pn 一阶Ci 二 ResF s 爲Gr 二 ResF s 爲=P1加 $ - pi r F sr -1 ! ILds su t GePit u t1(5-31)5.4系统函数(信号与系统第二版(郑君里)4.6, 4.7)-问题的提出:输入 v t,求 ii t ,io t ,y t输入 ii t ,求 v t ,i。t ,y t叩 Y(t)图5-9A(t)Xt)
13、输入/输出图 5-10h t为系统的冲击响应系统函数:(5-32)图 5-11零状态响应:y t 二 L “Y s 2 L “H s X (5-33)I系统的几种描述形式:竺_. A(t)竺图 5-12y t =H p x tH s = L :h t ?Y s 二H s X s形式 dH s 二 H Plsm,p 二二,s 收敛域dt注:若写为y t i;=H s x t ,则s表示微分算子;但不能写作Y s二H s x t。系统的多种输入输出描述:冲击响应拦系统算子拦系统函数 訂微分方程描述h(t) H(p) H(s)*零状态响应零状态响应 非零状态响应丄H s零、极点与h t的波形特征:H
14、 s = N s , n 与 D 互素,deg N : deg D D(s)Ci . C-S P1 S 一 Pr 1 S Pn y S P1 id 1S Pif r n(5-34)h t = L J :H s 4。狀甩皿一二 CiePit u t Li# “注:1)2)3)ePlt,tePlt,,tr4ePlt,eP,ePnt线性无关,与极点有关,称为模态。Gi,,Gr,Gr 1,Cn决定于H S的零极点分布。H (s )是s的实系数有理函数,对于p中的共轭对:口 = a j 、p2 = Pi = a - j o,Pi与P2共同产生输出:eat sin- .ot u t4) 对 H (s ),
15、若 p严 Rep 0才0yzs t 二 Res:Y s- 1 1 二 s-j s H s - est- J。 s因此:ys t二H j 0 ej 0t,称为正弦稳态响应H (j%)=H(s)|sj厂 H(j%|eJ%) ys(t )= H (j% 宦鬧咖 注:1)对矩阵A, Rn ,为特征向量,为属于的特征根。对应(5-35)式有:ej 0t为特征函数,H j 0为系统针对输入特 征函数的特征根-谱。2)v t = Acos 0t 二0(5-36) ys(t ) = |H (jcoo Acos(ot +日0 (o )v t = Asin ot 兀(5-37) ys(t )=|H (jcoo j
16、Asin(C0ot+To +0(0 ”J频率响应:输入频率变化的单频信号时输出的响应。当跑遍-::,::时,H j-即系统的频率响应(谱)。H (j )=|H j je如,其中,H(j国 为系统的幅频特性(响应),幅度谱;为系统的相频特性(响应),相位谱。BIBO稳定系统的传递函数等价性:系统 BIBO 稳定u J”h(t)dtu H(s )极点乏兀 (5-38)此时,H s |sj = H r = F :h = H 反例(积分器):; H id = f t u t1-积分器的单位冲激响应为h t =u t = H s =-st f dT J-o0图 5-17 1 H j = H s lj j国而F 二F h t =丄,因此两者不等。j时J确定频率特性的几何方法:mN s 心【s ZjH s =d (s)n (s- Pi)i 4mm K【7 Ki |Nkekh j 丨丨 - 口i =1mKit_ kFjkNkenjH j ej -(5-39)I 丨 Miei咼mK【NkH j - nkdn Mii =1m nj 八耳 j# im注:差矢量是与正实轴的夹角:逆时针为正,顺时针为负 例:考虑图5-18的情况H j =KNkjkMM
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