直线平面平行的判定与性质考点与题型归纳.docx

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直线平面平行的判定与性质考点与题型归纳

直线、平面平行的判定与性质考点与题型归纳

一、基础知识

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理❶

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行）

∵l∥a，a⊂α，

l⊄α，∴l∥α

性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）

∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理❷

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”）

∵a∥β，

b∥β，

a∩b＝P，a⊂α，

b⊂α，

∴α∥β

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

二、常用结论

平面与平面平行的三个性质

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

（2）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．

（3）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

考点一　直线与平面平行的判定与性质

考法

（一）　直线与平面平行的判定

[典例]　如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：

MN∥平面BB1C1C.

[证明]　如图，连接A1C.在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．

又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．

因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.

又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，

所以MN∥平面BB1C1C.

考法

（二）　线面平行性质定理的应用

[典例]　（2018·豫东名校联考）

如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点（不包括A，D两点），平面CEC1与平面BB1D交于FG.

求证：

FG∥平面AA1B1B.

[证明]　在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，

所以CC1∥平面BB1D.

又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，

所以CC1∥FG.

因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.

因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，

所以FG∥平面AA1B1B.

[题组训练]

1．（2018·浙江高考）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（　　）

A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A　∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．

2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.

求证：

BM∥平面PAD.

证明：

法一：

如图，过点M作MN∥CD交PD于点N，连接AN.

∵PM＝2MC，∴MN＝

CD.

又AB＝

CD，且AB∥CD，

∴AB綊MN，

∴四边形ABMN为平行四边形，

∴BM∥AN.

又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，

∴BM∥平面PAD.

法二：

如图，过点M作MN∥PD交CD于点N，连接BN.

∵PM＝2MC，∴DN＝2NC，

又AB∥CD，AB＝

CD，

∴AB綊DN，

∴四边形ABND为平行四边形，

∴BN∥AD.

∵BN⊂平面MBN，MN⊂平面MBN，BN∩MN＝N，

AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD＝D，

∴平面MBN∥平面PAD.

∵BM⊂平面MBN，∴BM∥平面PAD.

3.

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.

求证：

PA∥GH.

证明：

如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点，

又M是PC的中点，∴PA∥MO.

又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，

∴PA∥平面BMD.

∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，

PA⊂平面PAHG，

∴PA∥GH.

考点二　平面与平面平行的判定与性质

[典例]　如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

[证明]　

（1）∵GH是△A1B1C1的中位线，

∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，

∴EF∥BC，

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，

∴平面EFA1∥平面BCHG.

[变透练清]

1.

在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：

平面A1BD1∥平面AC1D.

证明：

如图所示，连接A1C，AC1，

设交点为M，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴M是A1C的中点，连接MD，

∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.

∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，

∴DM∥平面A1BD1.

又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，

∴四边形BDC1D1为平行四边形，

∴DC1∥BD1.

又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，

∴DC1∥平面A1BD1，

又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，

∴平面A1BD1∥平面AC1D.

2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：

（1）BE∥平面DMF；

（2）平面BDE∥平面MNG.

证明：

（1）如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，

则AE必过DF与GN的交点O.

连接MO，则MO为△ABE的中位线，

所以BE∥MO.

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，

所以DE∥GN.

又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN.

又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG.

又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，

所以平面BDE∥平面MNG.

A级

1．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的关系为（　　）

A．平行　　　　　　　　　B．相交

C．直线b在平面α内D．平行或直线b在平面α内

解析：

选D　依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．

2．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中

（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一与a平行的直线

解析：

选A　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.

3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．在平面内D．不能确定

解析：

选A　如图，由

＝

得AC∥EF.

又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，

所以AC∥平面DEF.

4．（2019·重庆六校联考）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

解析：

选D　对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B、C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.

5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值；

③棱A1D1始终与水面所在平面平行；

④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．

其中正确命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选C　由题图，显然①是正确的，②是错误的；

对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，

∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH，

∴A1D1∥平面EFGH（水面）．

∴③是正确的；

对于④，∵水是定量的（定体积V），

∴S△BEF·BC＝V，即

BE·BF·BC＝V.

∴BE·BF＝

（定值），即④是正确的，故选C.

6.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.

解析：

∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，

则

＝

，∴AB＝

＝

＝

.

答案：

7．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：

①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.

如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（填序号）．

解析：

由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.

答案：

①或③

8．在三棱锥PABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．

解析：

如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形（平面EFMN为所求截面），且EF＝MN＝

AC＝2，FM＝EN＝

PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.

答案：

8

9.如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：

（1）EG∥平面BB1D1D；

（2）平面BDF∥平面B1D1H.

证明：

（1）如图，取B1D1的中点O，连接GO，OB，

因为OG綊

B1C1，BE綊

B1C1，

所以BE綊OG，

所以四边形BEGO为平行四边形，

故OB∥EG，

因为OB⊂平面BB1D1D，

EG⊄平面BB1D1D，

所以EG∥平面BB1D1D.

（2）由题意可知BD