中国科技大学算法导论第二次实验报告.docx
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中国科技大学算法导论第二次实验报告
第二次实验报告红黑树
1.红黑树
1.1需求分析
本实验要求实现红黑树各种操作如SEARCH，PREDECESOR，SUCCESSOR，
MINIMUM，MAXIMUM，INSERT，DELETE等。
红黑树是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途
是实现关联数组。
它是在1972年由RudolfBayer发明的，他称之为"对称二叉B树"，它现
代的名字是在LeoJ.Guibas和RobertSedgewick于1978年写的一篇论文中获得的。
它是
复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的:
它可以在O（log
n）时间内做查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。
红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色或红色或黑色。
在二叉查找树强
制一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求:
1.每个结点或红或黑。
2.根结点为黑色。
3.每个叶结点（实际上就是NULL指针）都是黑色的。
4.如果一个结点是红色的,那么它的周边3个节点都是黑色的。
5.对于每个结点,从该结点到其所有子孙叶结点的路径中所包含的黑色结点个数都一
样。
这些约束强制了红黑树的关键性质:
从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能
路径的两倍长。
结果是这个树大致上是平衡的。
因为操作比如插入、删除和查找某个值的最
坏情况时间都要求与树的高度成比例，这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都
是高效的，而不同于普通的二叉查找树。
要知道为什么这些特性确保了这个结果，注意到属性5导致了路径不能有两个毗连的红
色节点就足够了。
最短的可能路径都是黑色节点，最长的可能路径有交替的红色和黑色节点。
因为根据属性4所有最长的路径都有相同数目的黑色节点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。
在很多树数据结构的表示中，一个节点有可能只有一个子节点，而叶子节点包含数据。
用这种范例表示红黑树是可能的，但是这会改变一些属性并使算法复杂。
为此，本文中我们使用"nil叶子"或"空（null）叶子"。
1.2算法设计
操作SEARCH,，PREDECESOR，SUCCESSOR，MINIMUM，MAXIMUM与二查检索
树的对应操作几乎相同。
这里只介绍旋转、插入、删除。
1.2.1旋转
由于插入、删除操作对树作了修改，结果可能违反红黑树的五个性质。
为保持这些性质，
就要改变树中某些结点的颜色以及指针结构。
指针结构的修改通过旋转来完成。
当在某个结点x上做左旋时，假设它的有孩子y不是nil[T]，左旋以x与y之间的链为
“支轴”进行。
它使y成为该子树新的根，x成为y的左孩子，而y的左孩子成为x的孩
子。
右旋与左旋对称。
左旋代码如下：
voidRBLeftRotate（RBTree*T,RBTreeNode*x）
{
RBTreeNode*y=x->right;
x->right=y->left;
if（y->left!
=T->NIL）
y->left->parent=x;
y->parent=x->parent;
if（x->parent==T->NIL）
T->root=y;
elseif（x->parent->left==x）
x->parent->left=y;
else
x->parent->right=y;
y->left=x;
x->parent=y;
}
1.2.2插入
向一颗含n个结点的红黑树插入一个结点z的操作可在O（lgn）时间完成。
利用二叉查找
树的Tree_Insert过程，将z插入树内，并将其着红色。
为保证红黑树的性质，调用
RB_INSERTT_FIXUP来对结点重新着色并旋转。
RB_INSERTT_FIXUP代码如下：
voidRBTreeInsertFixup（RBTree*T,RBTreeNode*z）
{
RBTreeNode*y;
if（z->parent==T->NIL）//z是根节点
{
z->color=BLACK;
return;
}
if（z->parent->color==BLACK）//这种情况下是平衡的
{
return;
}
//一直循环，直到z的父节点的颜色为黑色
while（z->parent->color==RED）
{
if（z->parent==z->parent->parent->left）//当z的父节点是z祖父节点的左孩子时
{
y=z->parent->parent->right;//y是z的叔叔
//case1:
z的叔叔y的颜色为红色
if（y->color==RED）
{
z->parent->color=BLACK;
y->color=BLACK;
z->parent->parent->color=RED;
z=z->parent->parent;
}
else
{
if（z==z->parent->right）//case2:
z的叔叔y的颜色为黑色并且z是它父节点的右孩子
{
z=z->parent;
RBLeftRotate（T,z）;
}
//case3:
z的叔叔y的颜色为黑色并且z是它父节点的左孩子
z->parent->color=BLACK;
z->parent->parent->color=RED;
RBRightRotate（T,z->parent->parent）;
}
}//当z的父节点是z祖父节点的右孩子时
else//如果z的父节点是其祖父节点的右孩子
{
y=z->parent->parent->left;//y是z的叔叔节点
if（y->color==RED）//case1：
z的叔叔节点为红色，则z的父节点BLACK，祖父节点RED，叔叔节点BLACK均变色
{
z->parent->color=BLACK;
y->color=BLACK;
z->parent->parent->color=RED;
z=z->parent->parent;
}
else
{
if（z==z->parent->left）//case2:
z的叔叔y的颜色为黑色并且z是它父节点的左孩子
{
z=z->parent;
RBRightRotate（T,z）;
}
//case3:
z的叔叔y的颜色为黑色并且z是它父节点的右孩子
z->parent->color=BLACK;
z->parent->parent->color=RED;
RBLeftRotate（T,z->parent->parent）;
}
}
}
T->root->color=BLACK;
}
当调用RB_INSERTT_FIXUP（T，z）时，while有三种情况：
Case1）：
z的叔叔y是红色
只有在p[z]和y都是红色的时候才会执行case1。
既然p[p[z]]是黑色的，可以将p[z]和
y都着黑色，再将p[p[z]]着红色保持性质5，然后z=p[p[z]]来重复while循环。
Case2）：
z的叔叔y是黑色，且z的为p[z]的右孩子
Case3）：
z的叔叔y是黑色，且z的为p[z]的左孩子
Case2与case3如上图。
Case2中z是p[z]的右孩子，利用左旋把case2转化为case3，
因为z与p[z]都是红色的，左旋对结点黑高度和性质5每影响。
在case3下可以通过改颜
色和旋转的方式到达平衡，并且不再出现红色警戒，因为无需往上遍历。
首先我们将红父
变成黑色，祖父变成红色，然后对祖父进行右旋转。
这样我们可以看到，整颗树的黑高
-4-
不变，并且这颗树的左右子树也达到平衡。
新的树根为黑色。
1.3结果分析
根据每次从文件中读的数据，调用RB_Insert（）。
理论上红黑树结构应为下图，
由实验运行结果知，程序是正确的。
/*
*copyright@nciaebupt转载请保留此标记
*所有代码已经在linuxg++下编译通过，直接拷贝运行即可如有问题欢迎指正
*红黑树（red-blacktree）是许多“平衡的”查找树中的一种。
*红黑树的性质:
*１、每个结点或是红的，或是黑的。
*２、根结点是黑的。
*３、每个叶结点（NIL）是黑的。
*４、如果一个结点是红的，则它的两个儿子都是黑的。
*５、对每个结点，从该结点到其子孙的所有路径上包含相同数目的黑结点。
*红黑树的结点比普通的二叉查找树的结点多了一个颜色属性。
*/
#include
#include
usingnamespacestd;
//将RED,BLACK颜色值定义成枚举类型
enumRBCOLOR{RED,BLACK};
//定义红黑树节点的数据结构
structRBTreeNode
{
intkey;
RBCOLORcolor;
RBTreeNode*left;
RBTreeNode*right;
RBTreeNode*parent;
};
//定义红黑树的数据结构
structRBTree
{
RBTreeNode*root;
RBTreeNode*NIL;
};
voidRBTreeInsertFixup（RBTree*T,RBTreeNode*z）;
//实现红黑树的左旋操作
voidRBLeftRotate（RBTree*T,RBTreeNode*x）
{
RBTreeNode*y=x->right;
x->right=y->left;
if（y->left!
=T->NIL）
y->left->parent=x;
y->parent=x->parent;
if（x->parent==T->NIL）
T->root=y;
elseif（x->parent->left==x）
x->parent->left=y;
else
x->parent->right=y;
y->left=x;
x->parent=y;
}
//实现红黑树的右旋操作
voidRBRightRotate（RBTree*T,RBTreeNode*x）
{
RBTreeNode*y=x->left;
if（x->left==T->NIL）
return;
x->left=y->right;
if（y->right!
=T->NIL）
{
y->right->parent=x
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