北邮版概率论答案2.docx
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北邮版概率论答案2
2,3,4,5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只X的分布律.
⑶
【解】
习题二
X
3,4,5
P（X
1
3）-r0.1
c；
P（X
3
4）-r0.3
c；
2
P（X
5）C30.6
c；
故所求分布律为
1•一袋中有5只乒乓球，编号为1,球中的最大号码，写出随机变量
【解】
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
2•设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样,以X表示取出的次品个数，求：
（1）X的分布律；
2）X的分布函数并作图；
133
P{X-},P{1X-},P{1X},P{1X2}.
222
X0,1,2.
P（X
P（X
P（X
0）
1）
2）
C3
22
C；5
35.
de：
12
C35
35
C3
丄
C?
535
22
35
故X的分布律为
X
0
1
2
P
22
12
1
35
35
35
（2）当x<0时，F（x）=P（Xwx）=0
当0wx<1时，F（x）=P（X当1wx<2时,
F（x）=P（Xwx）=P（X=0）+P（X=1）=34
35
当x>2时，F故X的分布函数
（x）=P（Xwx）=1
0,
22
F（x）35
34
35
1,
P（X
2）
P（1
P（1
F（〔）竺,
235
33
f）p（x
F
（1）
34
35
1）P（1X
P（1
2）F
（2）
F
（1）P（X
34°
0
35
3、12
）
235
341
2）10.
3535
0.8，求3次射击中击中目标的次数的
P（X2）
P（X2）P（X3）0.896
设X表示击中目标的次数
•则X=0,1,2,3.
故X的分布律为
P（X
P（X
P（X
P（X
0）
1）
2）
3）
（0.2）30.008
C；0.8（0.2）20.096
C3（0.8）20.20.384
3
（0.8）0.512
X
0
1
2
3
0.008
0.096
0.384
0.512
3次射击，每次击中率为
3次射击中至少击中2次的概率.
3•射手向目标独立地进行了
分布律及分布函数，并求
【解】
P
分布函数
0,
0.008,
F（x）0.104,
0.488,
1,
4.
（1）设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a-,
k!
其中k=0,1,2,…，入〉0为常数，试确定常数a.
（2）设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N，
k=1,2,…，N，
试确定常数a.
【解】
（1）由分布律的性质知
1
P（Xk）a
k
age
k0
k0k!
故
a
e
（2）由分布律的性质知
N
Na
1P（Xk）
a
k1
k1N
即
a1.
5•甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
（1）两人投中次数相等的概率；
（2）甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，贝UX~b（3，0.6）Y~b（3,0.7）
⑴P（XY）P（X0,Y0）P（X1,Y1）P（X2,Y2）
P（X3,Y3）
331212
（0.4）（0.3）C30.6（0.4）C30.7（0.3）+
C3（0.6）20.4C3（0.7）20.3（0.6）3（0.7）3
0.32076
（2）P（XY）P（X1,Y0）P（X2,Y0）P（X3,Y0）
P（X2,Y1）P（X3,Y1）P（X3,Y2）
C；0.6（0.4）2（0.3）3Cf（0.6）20.4（0.3）3
332212
（0.6）（0.3）C3（0.6）0.4C30.7（0.3）
（0.6）3C；0.7（0.3）2（0.6）3c3（0.7）20.3
=0.243
6•设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各
飞机降落是相互独立的•试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降
落而没有空闲跑道的概率小于0.01（每条跑道只能允许一架飞机降落）？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b（200,0.02），设机场需配备N条跑道，
则有
P（XN）0.01
200
即Ck00（0.02）k（0.98）200k0.01
kN1
利用泊松近似
np2000.024.
e44k
P（XN）B0.01
kn1k!
查表得N>9•故机场至少应配备9条跑道.
7•有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为
0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利
用泊松定理）？
【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000,0.0001）
P（X2）1P（X0）P（X1）
0.1
e
0.1
0.1
e
8•已知在五重伯努利试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p,则
14223
C5P（1P）C5P（1P）
故
所以
P（X4）C：
（1）42
10
243
9•设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号
（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；
（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
【解】
（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5,0.3）
5
P（X3）c：
（0.3）k（0.7）5k0.16308
k3
（2）令Y表示7次独立试验中
A发生的次数，则Y~b（7，0.3）
7kk7k
P（Y3）C7（0.3）（0.7）0.35293
3
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分
布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）
（1）
求某
天中午
12时至下午
3时没收到呼救的概率；
（2）
求某
天中午
12时至下午
5时至少收到1次呼救的概率.
【解】
（1）
P（X
3
0）e2
5
（2）P（X1）1P（X0）1e^
11•设P{X=k}=C：
pk（1p）2k,k=0,1,2
P{Y=m}=C：
pm（1p）4m,m=0,1,2,3,4
5
分别为随机变量X,Y的概率分布，如果已知P{X>1}=，试求P{Y>1}.
9
54
【解】因为P（X1），故P（X1）-.
而P（X1）P（X0）（1p）
99
故得
（1p）2
4
9,
即
p
1
3
从而
P（Y1）1P（Y0）1（1
p）4
65
0.80247
81
12.某教科书出版了
2000册，因装订等原因造成错误的概率为
0.001，试求在这2000册书中
2
恰有5册错误的概率•
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b（2000,0.001）.利用泊松近似计算
np20000.0012
P（X
5）e225
5!
0.0018
31
13.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的次
44
数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.
【解】X1,2,L,k,L
P（X
k）G）k
4
13
4
P（X2）P（X4）L
P（X2k）L
（1）
（1）
2k
14•有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险•在一年中每个人死亡
的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金•求：
（1）保险公司亏本的概率；
（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
（1）在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元.设1年中死亡人数为X,则X~b（2500,0.002），则所求概率为
P（2000X30000）P（X15）1P（X14）
由于n很大，p很小，入=np=5，故用泊松近似，有
14e55k
P（X15）10.000069
k0k!
⑵P（保险公司获利不少于10000）
P（300002000X10000）P（X10）
105k
0.986305
e5
k0k!
即保险公司获利不少于
10000元的概率在98%以上
P（保险公司获利不少于20000）
P（300002000X20000）P（X5）
5^5k
e5
0.615961
k0k!
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X的密度函数为
f（x）=Ae|x|,g求：
（1）A值；
（2）P{0【解】
（1）
f（x）dx1得
Ae|^dx
0Ae&
2A
1
p（0X1）-
xdx
e1）
当x<0时，F（x）
当x>0时，F（x）
1X,1
edxe
22
x
1|x|
edx
2
1x
e
2
0」exdx
2
x1x
edx
02
1x
2e,
‘1x
x0
F（x）
x0
1e
2
16.
X的密度函数为
设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命
f（x）=
100
0,x
x100,
100.
求：
（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率;
（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率;
（3）
【解】
F（x）
（1）P（X150）
150哆dx1.
100x23
P1[P（X150）]3（|）327
（2）p2C3-（-）2
33
⑶当x<100时F（x）=0
x
当x>100时F（x）f（t）dt
100x
f（t）dt加艸
x100-.
100
dt1
100t2
x
100
1
x100
F（x）
x
0,
x0
17.在区间]0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在]0,a]
中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求
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